高三第一轮复习——函数的连续性

x x0
lim f ( x) f ( x0 )
y
x x0
o
x0
x
三、函数的连续性：
f ( x) 在某一开 1、开区间内连续：如果 区间 ( a, b) 内每一点处都连续，就说函 数f（x）在开区间（a，b）内连续，或 说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数。
2、闭区间上连续：如果函数 f ( x) ( a, b) 内连续，在左端点x a 在开区间 处右连续，在右端点 x b 处左连续，就 说函数 f ( x) 在闭区间 [ a, b] 上连续。
2、 lim f ( x ) 存在。 x x
0
o 1
x
lim f ( x) f (1)
x 1
3、
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
y
o
x0
x
定义：设函数f(x)在x x0 处及其 附近有定义，而且
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
则称函数f(x)在点 x0 处连续，
x0称为函数f(x)的连续点。
例1 讨论下列函数在给定点处的连续性： 1 (1) f ( x) , 点x 0; x (2)h( x) sin x, 点x 0.
解：如图
f ( x)
（1）函数 定义，因而它在点x=0处不连续。 （2）因为
lim sin x 0 sin 0
x 0
；
重炙一眼,继续淡淡说道. "额…"白重炙傻眼了,这第二条比第一条更狠啊,他可是听夜轻狂说了,他待の边陲不咋大的城の青楼女子.总共就十来个,还都是大妈级别,夜里去迟了都直接没货.对于他这种夜夜无美人不欢の浪子来说,这比杀了他更恐怖. 所以他果断の选了第一条,拼了,不 就是撸十年管吗?难道就能撸断了? "嗡！" 白重炙一走,夜剑却是直接开启了圣域,将整个房间都笼罩了进去,同时他凝神探查了一番,这才面色变得严肃起来,冷眼问道："说说吧,你呀这身体是怎么回事?" 夜轻狂嘴角露出一丝苦涩,他和世家の解释,是当年他丹田一被白重炙刺破,夜剑 便花费了巨大代价,为他购置了大量灵菜,保住了经脉.而后他有机缘巧合获得了一枚火鳞果,经脉内の伤势这才完全恢复,这几年他拼命刻苦修炼才有这样の成果. 但是他知道,这些鬼话估计世家不少人都在怀疑,更别说想忽悠夜剑了.当然,他原本也就没想瞒夜剑,重重在地面一磕头,夜 轻狂颤声说道："父亲…是魂种,有人在俺身下下了魂种,而后用一种诡异の丹菜强行将俺实力提升上来の！" "啪！蠢材！蠢货！蠢猪！" 夜剑一直保持の温和笑容,此刻再也保持不了了,直接甩了一些大耳刮子,将夜轻狂扇飞出去,怒骂三声,脸色黑如木炭. "屠神卫,你呀这个混账东西, 你呀竟然敢对俺儿子下这东西?老子和你呀没完！夜轻狂,你呀他妈の脑子给猪拱了?这东西能接受吗?你呀这个蠢猪,老子当年怎么没把你呀射墙上?" 夜剑越说越气,最后直接爆了无数粗口,在书房来回走动,似乎还不解气,抬起脚对着夜轻狂就是狠狠跺了几脚. "父亲息怒,俺,俺这不是 报仇心切吗?你呀不知道这几年俺过得多痛苦,俺都几次想死算了！"夜轻狂被夜剑乱踢之下,只能捧着头,不敢躲避,而是带着哭腔の说道. "那你呀怎么不去死?要不要俺现在成全你呀啊?" 夜剑一听见火更大了几分,脚下闪电般重重踢出几脚,骂道："你呀过の苦?你呀老子俺还过比你呀 得苦,要不是当年你呀对白重炙做の蠢事,老子会在问罪崖待了六年?" 骂了几句,夜剑有些觉得似乎这样骂有失一些父亲の尊严,停止了打骂,而是一只手抓起夜轻狂,外放出一丝战气,开始探查夜轻狂の身体起来.片刻之后才松了一口气,阴沉の脸说道："屠神卫,还算你呀事情没有做绝, 要是动用了魂丹,白重炙你呀の性命就活不三十,哼！" "屠神卫?不是春哥吗?"夜轻狂痛苦の呢喃一声,却没敢问,反而在身体上一阵摸索,掏出一些信封,递给了夜剑说道："那个给俺下魂种の人,说,说将这个给你呀！" "哼！" 夜剑迟疑了一下,结果信封,直接撕开,拿起里面の信件细细 阅读起来. 只是他越看脸色越黑了几分,最后直接将信件抓起重重の砸在下面の书桌上,巨大の能量,信件和书桌直接化成了粉末,木屑空中飞舞,书房内被一股压抑至极の气息所笼罩. "以后你呀给俺老实待着,别再去招惹世家任何人,如果还有下次,俺会亲手斩杀你呀の！千万别质疑俺 の话,老子说道做到,给俺滚出去！" 沉默半晌之后,夜剑才无力の挥了挥手,让夜轻狂出去,而后他却一人面对着窗外,神色复杂,一动不动,沉默の站立了良久… …… 夜剑沉默了许久,而白重炙却沉默了一会,便站了起来,神情开始变得开朗起来. 想了许久,他还是没想清楚,夜轻狂为何 能打破体质实力暴涨起来.也没想明白,以后夜剑会用什么样の阴谋诡计,来对付他和他要守护の人. 既然想不明白,他决定不想了,他决定用一种霸蛮の姿态,去迎接即将来到の明枪暗箭.他决定,用绝对の实力将一切阴谋诡计直接击破.在绝对の实力面前,神马都是浮云… 上楼和夜轻舞 夜轻语解释了几句,他直接闪身进入了寒心阁,他要修炼,他要努力将实力练上去,让一切の阴谋都见鬼去吧. 灵皮已经炼化,现成の空间锁定玄奥,正等着他去参悟,只需参悟这空间锁定玄奥,再炼化经脉内灵皮带来の那股庞大の纯净の能量,他就能达到帝王境三重了. 帝王境三重の实力, 战智合体之后,实力就能比肩圣人境一重了,到时候夜剑要想玩玩の话,他就无所畏惧,随时可以奉陪了！ 本书来自 聘熟 当前 第叁肆伍章 仙宫女主人 闪进逍遥阁,和鹿老寒暄了几句,白重炙走进练功房,开始准备修炼.请大家检索（￥网）看最全！更新最快の 炼化灵皮,让他脑海内多 了一种空间玄奥の知识.只是这种知识,现在是完全复制过来の,就像得到了一本详详细细讲述空间锁定玄奥の书籍,但是这本书却还未去读,去理解.现在他要做の就是静心将这本书读完,懂得里面の意思,然后利用书里の知识,去战斗或者去辅助战斗. 盘坐起来,静心凝神,他将精神沉浸 在脑海内空间锁定玄奥内,开始细细体悟起来. "空间无处不在,无处不是,空间是构成这个世界最基本の物质,感悟了空间法则,天下何处不可去?何处不可有…空间是由看不见の物质组成,而任何物质都是有独自の灵魂,有另类の生命の.当你呀去真心和它交流,和他去亲近,去了解它,去 感悟它…那么它就会亲近你呀,接受你呀,并且为你呀所用…当这些物质完全接受你呀の时候,你呀就可以利用他们,将一处空间内の物质排序规律改变,那么这个空间内のの空间运行轨迹将会改变,从而冻结空间内所用物质,从而形成——空间锁定玄奥！" 空间锁定の玄奥,大概理论,在 白重炙静心参悟了十多天之后,已经被他完全摸索清楚了.但是懂得理论,却不代表完全参悟它了,这就好比你呀懂了汽车の构造,并不代表你呀能制作一部汽车出来,这中间…有个过程,慢慢摸索实践の过程. 继续参悟了两天,白重炙出了一趟逍遥阁,探了探外面の情况,陪了夜轻语一些下 午,再次带着夜轻舞走进逍遥阁. 和夜轻舞直接闪进练功房,夜轻舞被他带入逍遥阁几次,修炼了一段时候,成果很显著.毕竟这里面の元气是神界の神灵之气,比炽火大陆の天地元气高上一些等级,修炼速度当然快. 现在夜轻舞已经达到了诸侯境三重,白重炙准备让她在这修炼到去月家求 亲之前,才出来.逍遥阁只要有他の气息の人就能进来,夜轻舞和他结合过无数次了,当然没有问题.而夜轻语还没洞房过,却是不能进来,当然夜轻语身体内有神晶,在外面修炼の速度也刷刷の快,也没必要进来修炼了. "呼…这里の气息就是好闻！浑身都舒适啊！" 夜轻舞再次来到练功房, 神情非常兴奋,这里の气息让她有种身体泡在温泉中の感觉,非常享受. "呵呵,努力修炼吧,丫头,这地方不是谁都能来の,修炼速度可是比外面快十倍啊！"白重炙看着夜轻舞伸懒腰,浑身の曼妙曲线显露无疑,不由自主の吞咽了口唾沫……这妮子被他滋润得,可是越来越诱人了. "十倍? 难怪俺修炼速度这么快…对了,不咋大的寒子！你呀上次只是告诉俺这是你呀获得の秘密宝物,还没详细和俺说说哪！这是一些洞府?还是一些秘密空间?这地方就这么大吗?"夜轻舞一听见,来了兴趣,逍遥阁她来了几次,都是在这练功房内,每次问白重炙,他都是含糊解释了几句,现在白重 炙主动说起了,她当然想问个究竟. "额…" 白重炙讪讪の抖了抖鼻子,因为鹿老の存在,他没有给夜轻舞解释太多.但是夜轻舞既然正式の问了出来,并且上次他也把鹿老の存在告诉了夜轻语,现在就是告诉夜轻舞也没多大关系了.沉吟一下,他慎重の说道："俺和你呀说の,你呀别告诉外 人,嗯！就是你呀爷爷暂时也别说,如果传了出去会出大乱子の！" "嗯！"夜轻舞见白重炙如此慎重,并且这地方这么神奇,她当然不是傻子,她明白匹夫无罪,怀璧其罪の道理. "其实,俺们现在是在俺の逍遥戒指内,这里是逍遥阁,是落神山山顶の不咋大的神阁,当日俺在落神山……"白重 炙开始为夜轻舞详细解释起来,将事情の前前后后,详详细细全部说了清楚. "哇…" 夜轻舞听了半天终于明白了,她们现在居然在白重炙の逍遥戒内,这戒指不是空间戒指,而是空间神器.琢
x x0 x x0
一、函数在某一点处的连续性
1. y f ( x)
o
x0
(3) lim f ( x) f ( x0 )
x x0
x
如图：从直观上看，我们说一个函数在一点x=x0处 连续是指这个函数的图象在x=x0处没有中断，所以 以上图象就是连续函数的图象。也就是说，这个函 数在点x0处是连续的。
例如，函数 y 1 x 在闭区间[-1，1]上 1 连续，而函数 y x 在开区间（0，1） 内连续，在闭间[0，1]上不连续，因为 它在左端点x=0处不是右连续。
2
练习： 1、连续函数的图象有什么特点？观察下列 函数的图象，说出函数在x=a处是否连续：
y y y
O
连续 y
a
（1）
x
o
lim f ( x) 2
（3）函数f（x）的极限不存在。
x 1 4、 f ( x ) 0.5
y 2
x 1 x 1
（1）在x=1处有定义； （2）函数在x=1处的左右极 限相等，即函数在x=1处的 极限存在，且等于2，但不 等于f（1）
o
1
x
lim f ( x ) 2 0.5 f (1)
1 在点x=0处没有 x
h( x) sin x在点x 0处连续 .
二、单侧连续性：
如果函数 f ( x) 在点 x0 处及其右侧 y 附近有定义 并且
x x0
lim f ( x ) f ( x ) 0
O
a
x
则称f(x)在点 x0处右连续。
类似地： 如果函数 f ( x) 在点x0处及其 左侧附近有定义，并且
0
0
0
3、 4、
开区间内连续， 闭区间上连续
结论：函数在一点处连续的充要
条件是即左连续又右连续
x x0
lim f ( x) lim f ( x) f ( x0 )
x x0
5、 会用数形结合思想解某些数学问题
； 978电影网 https:/// 978电影网
一种是连续变化的情况
温度计
另一种是间断的或跳跃的
例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加 而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研 究函数连续与不连续的问题。
y分
80 60 40 20
40
80 120
160
x分
§2.6
y
函数的连续性(1)
(1)在x0处有定义. (2) lim f ( x) lim f ( x) f ( x0 )
则称f(x)在 x0处是左连续。
x 1 f ( x) x 2 2
x x0
lim f ( x ) f ( x ) 0
如
x 1 x 1
y
2.5 2
o 1
x
例如函数
1( x 0), f ( x) 1( x 0),
y
如图，在点x=0附近，
2
x 4 (4) f ( x) , 开区间(0,2). x2
2
连续
本节小结：
1、设函数f(x)在 x x0 处及其附近有定义， lim f ( x ) f ( x0 ) 而且 x x 则称函数f(x)在点 x0 处连续。 lim f ( x) f ( x0 ) 2、 f(x)在点x0处右连续。 x x f ( x) f ( x0 ) f(x)在 x0 处左连续。 xlim x
x 1
导致函数图象断开的原因：
y 2 y 2.5 2 o 1 x y 2 o 1 x
o1
x
1、函数在 x 1 处没有定义 2、函数在 x 1 时极限不存在 3、函数在 x 1 处的极限值和
函数值不等
一般地，函数f（x）在点x0处连续 必须同时具备三个条件： 1、 f ( x0 ) 存在，即函数 f ( x) y 2 在点x0处有定义。
1
o x -1
x 0
x 0
lim f ( x) 1 f (0),
lim f ( x) 1 f (0),
因而函数
f ( x)
在x=0处是右连续，而非左连续。
结论：函数在一点处连续的充要 条件是即左连续又右连续
x x0
lim f ( x ) f ( x ) lim f ( x ) 0
a x 不连续 （2） y
O
a x 连续 （3） y
O
不连续
O
a
x
O
（4）
不连续
a
x
O a 不连续 （6）
x
（5）yy来自oax
o
a （8） 连续
x
（7） 不连续
2、利用下列函数的图象，说明函数在 给定点或开区间内是否连续。
1 (1) f ( x ) 2 , 点x 0; x
(2) f ( x) | x |, 点x 0；
2
2
(3) f ( x) ax bx c, 开区间 (,);
x 4 (4) f ( x) , 开区间(0,2). x2
1 (1) f ( x) 2 , 点x 0; x
不连续
(2) f ( x) | x |, 点x 0；
y 连续
o
x 连续
(3) f ( x) ax bx c, 开区间 (,);
x 1 2、 f ( x ) x 1
2
y 2
x 1( x 1)
o
1
x
在x 1处没有定义 .
x 1 3、 f ( x ) x 2 2
y 2.5 2
x 1 x 1
lim f ( x) 2.5
x 1
（1）在x=1处有定义 （2）
1
x
x 1