福建省龙海第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段性考试数学试题

福建省龙海第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段性
考试数学试题
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，若()1,2,m k =u r 对应点M ，(),2,3n k k =--r ，若M 关于平面xOy 的
对称点为()1,2,1-，则m n ⋅=u r r
（ ）
A ．2
B ．2-
C ．5
D ．5-
2．若平面α外的直线l 的方向向量为()1,0,2a =-r ，平面α的法向量为()8,1,4m =-r
，则（ ）
A ．l α⊥
B ．//l α
C ．//a m r r
D ．l 与α斜交
3．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A ．若向量a r ，b r
，c r 共面，则它们所在的直线共面
B ．已知OP xOA yOB zO
C =++u u u r u u u r u u u r u u u r
，若P ，A ，B ，C 四点共面，则1x y z ++=
C ．()1,1,1a =r 为单位向量
D ．已知向量()9,4,4a =-r ，()1,2,2b =r ，则a r 在b r
上的投影向量为()1,2,2
4．已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则实数a =（ ） A ．1-
B ．1
C ．2
D ．3
5．若函数2
11
()ln (0)f x a x a x x =-+≠既有极大值也有极小值，则a 的取值范围是（ ） A ．1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
6．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1DD 的中点，则点B 到平面1AB E 的距离为（ ）
A B C ．23
D ．13
7．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段AB 上的点，且3AE
EB
=，点P 在线段1D E 上，则点P 到直线AD 距离的最小值为（ ）
A B C ．35
D ．34
8．设0.02e 1a =-，0.012(e 1)b =-，sin 0.01tan 0.01c =+，则（ ） A ．c a b >>
B ．a b c >>
C ．c b a >>
D ．b a c >>
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ） A ．ππsin cos 44'⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．2cos sin cos x x x x x x '--⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．设函数()ln f x x x =，若()02f x '=，则0e x =
D ．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2
32ln f x x xf x '=++，则()924
f '=-
10．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是,AB BC 的中点，以A 为顶点的三条棱长都是112,60A AD A AB BAD ∠∠∠===o
，则下列说法正确的是（ ）
A ．EF //平面11AC D
B ．1A
C ⊥平面1A BD
C ．1AC =
D ．1AC 与AC 11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,,
E
F
G 分别为棱11,,AD AB B C 的中点，以下说法正确的是（ ）
A ．三棱锥A EFG -的体积为2
3
B ．直线EG 与面11ABB A 所成角的余弦值为1
C ．1B
D u u u u r 在AD u u u r
方向上的投影向量为BC u u u r
D ．过点,,
E
F
G 作正方体的截面，所得截面的面积是
三、填空题
12．已知(),1,2A x ，()2,3,4B ，且AB =x 的值是.
13．已知()()()()1f x x x a x b =+++为奇函数，则()y f x =在0x =处的切线方程为 14．对于函数()y f x =和()y g x =，及区间D ，存在实数,k b 使得()()f x kx b g x ≥+≥对任意x D ∈恒成立，则称()y f x =在区间D 上优于()y g x =.若()()1f x ax x =-在区间()0,∞+上优于()ln g x x =，则实数a 的取值范围是
四、解答题
15．已知函数()43
f x x ax =+，x ∈R ．
(1)若函数在点 1,f 1 处的切线过原点，求实数a 的值； (2)若4a =-，求函数()f x 在区间[]1,4-上的最大值．
16．如图：三棱柱111ABC A B C -中，11,,,1CA a CB b CC c CA CB CC ======r r u u u r u u u r u u r
u u r ，
2ππ,,,,,32
a b a c b c N ===r r r r r r 是AB 的中点．
(1)在线段BC 上是否存在一点T ，使得四边形11NTC A 为梯形说明理由；
(2)若点M 是棱11C B 所在直线上的点，设111,C M tC B t =∈R u u u u r u u u u r
，当A M C B ⊥时，求实数t 的值．
17．某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工x 万件玩具，需要流动成本()C x 万元.当年加工量不足15万件时，()1212ln(1)C x x x =-+；当年加工量不低于15万件时，256
()212002
C x x x =+
--.通过市场分析，加工后的玩具以每件20元的价格，全部由总厂收购. (1)求年利润()f x 关于年加工量x 的解析式；（年利润=年销售收入-流动成本-年固定成本） (2)当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据:
ln 20.69≈）.
18．如图，已知在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，D ，E 分别在CC 1与AA 1上，AE ＝2，CD ＝1．
（1）在线段BE 上找一点P 使得DP ⊥平面ABB 1A 1，并写出推理证明过程； （2）求二面角C 1﹣BE ﹣A 1的余弦值．
19．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处的()*
n n ∈N 阶导
数都存在时，()()()()(
)
()(
)
()32
3000002!
3!
!
n n f f f f x f f x x x x n =++
+
+''⋅⋅⋅+
'+⋅⋅⋅．注：()f x ''表
示()f x 的2阶导数，即为()f x '的导数，()
()()3n f x n ≥表示()f x 的n 阶导数，该公式也称
麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算1
sin 2
的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：246
cos 12!4!6!x x x x =-+-+⋅⋅⋅．当0x ≥时，试比较cos x 与212
x -的大小，并
给出证明（不使用泰勒公式）； (3)设*
n ∈N ，证明：()1
1
11
42tan
n
k n n n k n k
=>-
+++∑
.。