高三文科数学一轮复习课时作业(十五) 利用导数研究函数的极值与最值

课时作业(十五) 利用导数研究函数的极值与最值
[对应学生用书P 214]
1．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图像如图所示，则函数f (x )( )
A ．无极大值点、有四个极小值点
B ．有三个极大值点、一个极小值点
C ．有两个极大值点、两个极小值点
D ．有四个极大值点、无极小值点
C [设f ′(x )的图像与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x 1，x 2，x 3，x 4.当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点．]
2．函数f (x )＝1
3 x 3－4x ＋4的极大值为( )
A ．283
B ．6
C ．26
3
D ．7
A [f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的极大值为f (－2)＝28
3
.]
3．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )
A ．1百万件
B ．2百万件
C ．3百万件
D ．4百万件
C [y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大．]
4．函数y ＝x
e x 在[0，2]上的最大值是( )
A ．1
e
B ．2e 2
C ．0
D ．1
2e
A [易知y ′＝1－x e x ，x ∈[0，2]，令y ′>0，得0≤x <1，令y ′<0，得2≥x >1，所以函数y ＝x
e x 在
[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y ＝x e x 在[0，2]上的最大值是y |x ＝1＝1
e
.]
5．(2020·安徽毛坦厂中学联考)已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )
A ．2
B ．－5
2
C ．3＋ln 2
D ．－2＋2ln 2
B [由题意得，f ′(x )＝2
x ＋2ax －3，因为f (x )在x ＝2处取得极小值，所以f ′(2)＝4a －2＝0，解
得a ＝12 ，所以f (x )＝2ln x ＋12 x 2－3x ，f ′(x )＝2
x ＋x －3＝（x －1）（x －2）x
，
所以f (x )在(0，1)，(2，＋∞)上是单调递增的，在(1，2)上是单调递减的， 所以f (x )的极大值为f (1)＝12 －3＝－52
.]
6．若x ＝1是函数f (x )＝x 3＋a
x 的一个极值点，则实数a ＝________．
3 [f ′(x )＝3x 2－a
x
2 ，f ′(1)＝3－a ＝0，得a ＝3.经检验，符合题意．]
7．(2021·河南新乡模拟)设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．
(2，6) [由题意得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2的两个零点x 1，x 2满足x 1<2<x 2. 所以f ′(2)＝12－8a ＋a 2<0，解得2<a <6.]
8．(2021·安徽亳州模拟)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x
x －1（x >0），h （x ）（x <0），
则函数h (x )的最大值为________．
1－e [当x >0时，f ′(x )＝e x （x －1）
x 2
，∴x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，函数单调递减，x ∈(1，＋∞)时，
f ′(x )>0，函数单调递增，∴x ＝1时，函数取得极小值即最小值，为e －1，∴由已知条件得h (x )的最大值为1－e.]
9．(2020·天津卷改编)已知函数f (x )＝x 3＋6 ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数． (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数g (x )＝f (x )－f ′(x )＋9
x 的单调区间和极值．
解 (1)因为f (x )＝x 3＋6 ln x ，
所以f ′(x )＝3x 2＋6
x
.可得f (1)＝1，f ′(1)＝9，
所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝9(x －1)，即9x －y －8＝0. (2) 依题意，g (x )＝x 3－3x 2＋6 ln x ＋3
x ，x ∈(0，＋∞).
从而可得g ′(x )＝3x 2－6x ＋6x －3
x 2 ，
整理可得：g ′(x )＝3（x －1）3（x ＋1）
x 2 ，
令g ′(x )＝0，解得x ＝1.
当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
g ′(x ) －
0 ＋
g (x )
极小值
所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)； g (x )的极小值为g (1)＝1，无极大值．
10．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1，2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取得极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取得极大值 C [当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1， f ′(1)≠0，
∴x ＝1不是f (x )的极值点；
当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)， 显然f ′(1)＝0，且在x ＝1附近的左侧f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝1处取得极小值．]
11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ).若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是( )
D [因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.]
12．(2020·陕西汉中模拟)函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图像如图所示，则x 21 ＋x 2
2 ＝
________．
16
9
[函数f (x )的图像过原点，所以d ＝0.又f (－1)＝0且f (2)＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －2，由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23 ，x 1x 2＝－23 ，所以x 21 ＋x 2
2 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49 ＋4
3 ＝169
.]
13．(2021·河南百校联盟模拟)已知函数f (x )＝e x －ax ， a >0.
(1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值；
(2)若对任意实数x ，恒有f (x )≥0，求f (a )的最值范围． 解 (1)函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，
易知当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，
所以函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值，g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a . g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ，
当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0，1)上单调递增； 当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减．
所以a ＝1是函数g (a )在(0，＋∞)上的极大值点，也是最大值点，所以g (a )max ＝g (1)＝1. (2)显然，当x ≤0时，e x －ax ≥0(a >0)恒成立． 当x >0时，由f (x )≥0，即e x
－ax ≥0，得a ≤e x
x
.
令h (x )＝e x
x ，x ∈(0，＋∞)，
则h ′(x )＝e x x －e x x 2 ＝e x （x －1）
x 2
，
当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0， 故h (x )的最小值为h (1)＝e ，所以a ≤e ， 故实数a 的取值范围是(0，e].
f (a )＝e a －a 2，a ∈(0，e]，f ′(a )＝e a －2a ， 易知e a －2a ≥0对a ∈(0，e]恒成立，
故f (a )在(0，e]上单调递增，所以f (0)＝1<f (a )≤f (e)＝e e －e 2，即f (a )的取值范围是(1，e e －e 2].
14．(背景创新)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N ＋)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( )
A ．2折函数
B ．3折函数
C ．4折函数
D ．5折函数
C [f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2.易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图像，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点．又e
－2≠3(－2)＋2＝－4，∴函数
y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数．]
15．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的．这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm 且以每秒1 cm 等速率缩短，而长度以每秒20 cm 等速率增长．已知神针的底面半径只能从12 cm 缩到4 cm 为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大．假设孙悟空将神针体积最小时形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为______ cm.
4 [设神针原来的长度为a cm ，t 秒时神针的体积为V (t ) cm 3，则V (t )＝π(12－t )2·(a ＋20t )，其中0≤t ≤8，所以V ′(t )＝[－2(12－t )(a ＋20t )＋(12－t )2·20]π.
因为当底面半径为10 cm 时其体积最大，
所以10＝12－t ，解得t ＝2，此时V ′(2)＝0，解得a ＝60，所以V (t )＝π(12－t )2·(60＋20t )，其中0≤t ≤8.
V ′(t )＝60π(12－t )(2－t )，当t ∈(0，2)时，V ′(t )>0，当t ∈(2，8)时，V ′(t )<0，从而V (t )在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V (0)＝8 640π，V (8)＝3 520π，所以当t ＝8时，V (t )有最小值3 520π，
此时金箍棒的底面半径为4 cm.]。