【推荐】江苏13大市2013年高三历次测验数学试题分类汇编6：数列

【推荐】江苏13大市2013年高三历次测验数学试题分类汇编6：数列
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【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编6：数
列
一、填空题
1 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）如图所示:矩形
的
一边在轴上,另两个顶点、在函数的图像上,若点
的坐标为
),矩形
的周长记为
,则
____.
【答案】216
2 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）已知数列{n a }的通项公式为
72n a n =+,数列{n b }的通项公式为2n b n =.若将数列{n a },{n b }中相同的项按从小
到大的顺序排列后看作数列{n c },则9c 的值为_____.
【答案】961
3 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知n S 是等差数列{}n a 的前n
项和,若77S =,1575S =,则数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前20项和为____.
【答案】55;
4 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）在等比数列
中,为其前项和,
已知,,则此数列的公比为______.
【答案】 3;
5 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）各项均为正数的等比
数列{}n a 中,若11a ≥,22a ≤,33a ≥,则4a 的取值范围是_________
【答案】⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡8,2
9
6 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在1和9之间插入三
个正数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的和为______.
【答案】433+
7 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）观察下列等式:
31×2×12=1-122, 31×2×1
2
+
42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-14×2
3,,由以上等式推测到一个一
般的结论:对于n ∈N *
,
31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×1
2
n =______. 【答案】()n
n 211
1⋅+-
8 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）过点
(1 0)P -，作曲线C :e x y =的切线,切点为1T ,设1T 在x 轴上的投影是点1H ,过点1H 再作
曲线C 的切线,切点为2T ,设2T 在x 轴上的投影是点2H ,,依次下去,得到第1n +()n ∈N 个切点1n T +.则点1n T +的坐标为______.
【答案】()
e n n ，
9 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）已知
实数a 1,a 2,a 3,a 4满足a 1+a 2+a 30=,a 1a 42
+a 2a 4-a 20=,且a 1>a 2>a 3,则a 4的取值范围是
______.
【答案】
()
1515 2
2
---+，
10．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）设n S ,n T 分别是等差数列
{}n a ,{}n b 的前n 项和,已知
21
42
n n S n T n +=
-,*n N ∈, 则
1011
318615
a a
b b b b +=++_______.
【答案】
41
78
11．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）某厂去年的产值为1,若计划
在今后五年内每年的产值比上年增长10%,则从今年起到第五年这五年内,这个厂的总产值约为_________.(保留一位小数,取
)
【答案】6.6
12．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）若S n 为等差数列{a n }的前n 项
和,S 9=-36,S 13=-104,则a 5与a 7的等比中项为________.
【答案】答案:42±.
本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算.
法一 用性质.S 9=9a 5= -36,S 13= 13a 7= -104,于是a 5= -4,a 7= -8,等比中项为42±. 法二 用基本量.S 9=9a 1+36d = -36,S 13=13a 1+78d = -104,解得a 1=4,d = -2.下同法一.
13．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列
{}n a 满足
143a =,()*
11226n n a n N a +-=∈+,则11n
i i
a =∑=______. 【答案】232
4
n n ⋅--
14．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）等差数列{a n }的公差为-2,且
a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 20=_______________.
【答案】30-
15．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）已知数列{a n }的通项公式为a n =-n +p ,
数列{b n }的通项公式为b n =2n -5
.设c n =⎩⎨⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n ＞b n ，
若在数列{c n }中,c 8>c n (n ∈N*,n ≠8),
则实数p 的取值范围是________.
【答案】(12,17)
16．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）在等差数列
{}n a 中, 若
9
753=++a a a , 则其前9项和的值为 .
【答案】27
17．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）正项等比数列{a n }
中,311a a =16,则22212log log a a +=______.
【答案】4;
18．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知等比数列}
{n a 的前n 项和为n S ,若62,256382-==S a a a a ,则1a 的值是_____.
【答案】2-
19．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）设数列{n a }是公差不为0的等
差数列,S 为其前n 项和,若2222
1234a a a a +=+,55S =,则7a 的值为_____.
【答案】9
20．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）各项
均为正数的等比数列{}n a 中,211a a -=.当3a 取最小值时,数列{}n a 的通项公式
a n =______.
【答案】12n -
21．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设数列{a n }满
足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____.
【答案】14
22．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知数列
{}n a 的通
项公式为21n a n =-,则数据1a ,2a ,3a ,4a ,5a 的方差为_____.
【答案】8
23．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）若等比数列{}n a 满足4
3=-m a 且2
44a a a m m =-(*N m ∈且4>m ),则51a a 的值为________.
【答案】16
24．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）数列
满足
,
,且 =2,则的最小值
为____.
【答案】
二、解答题
25．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）设数列
{}n a 的各项均为正
数,其前n 项的和为n S ,对于任意正整数m ,n ,222(1)1m n m n S a S +=+-恒成立.
(1)若11a =,求2a ,3a ,4a 及数列{}n a 的通项公式; (2)若4212(1)a a a a =++,求证:数列{}n a 成等比数列.
【答案】
26．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知数列
16n a n =-,(1)15n n b n =--,其中*n N ∈
(1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合 (2)n ≠16,求数列
n
n
b a 的最大值和最小值 (3)记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ,求所有满足22m n S S =(m<n)的有序整数对(m,n)
【答案】(1)a n +1=|b n |,n -15=|n -15|,当n ≥15时,a n +1=|b n |恒成立,
当n <15时,n -15=-(n -15) ,n =15 n 的集合{n |n ≥15,n ∈N *}
(2)n
n a b =1615)1(---n n n
(i)当n>16时,n 取偶数
n n a b =1615--n n =1+16
1-n 当n=18时(
n n a b )max =23
无最小值 n 取奇数时
n n a b =-1-16
1-n
n=17时(
n
n
a b )min =-2无最大值 (ii)当n<16时,n n
a b =16
)15()1(---n n n
当n 为偶数时
n n a b =16)15(---n n =-1-16
1-n n=14时(
n n a b )max =-21(n n a b )min =-14
13 当n 奇数
n n a b =1615--n n =1+161-n , n=1 , (n n a b )max =1-151=15
14
, n =15,(
n
n
a b )min =0 综上,
n n a b 最大值为2
3
(n =18)最小值-2(n =17) (3)n≤15时,b n =(-1)n-1
(n-15),a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0
,n >15
时,b n =(-1)n
(n -15),a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0,其中a 15b 15+a 16b 16=0 ∴S 16=S 14 m =7, n =8
27．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列{}n a 是等差数
列,12315a a a ++=,数列{}n b 是等比数列,12327b b b =.
(1)若1243,a b a b ==.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;
(2)若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列,求3a 的最大值.
【答案】解:(1)由题得2
25,3a b ==,所以123a b ==,从而等差数列{}n a 的公差
2d =,所以21n a n =+,从而349b a ==,所以13n n b -=
(2)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,则15a d =-,13
b q
=
,35a d =+,33b q =. 因为112233,,a b a b a b +++成等比数列,所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=.
设1133a b m a b n
+=⎧⎨+=⎩,*,m n N ∈,64mn =, 则3553d m q d q n ⎧
-+=⎪
⎨⎪++=⎩
,整理得,2()5()800d m n d m n +-++-=.
解得2(10)36
2
n m m n d -++--=(舍去负根).
35a d =+,∴要使得3a 最大,即需要d 最大,即n m -及2
(10)m n +-取最大
值.*,m n N ∈,64mn =,
∴当且仅当64n =且1m =时,n m -及2
(10)m n +-取最大值.
从而最大的63761
2d +=
, 所以,最大的373761
2
a +=
28．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知数列
{}n b 满足
112b =
,11
2(2,*)n n
b n n N b -+=≥∈. (1)求2b ,3b ,猜想数列{}n b 的通项公式,并用数学归纳法证明;
(2)设n n x b =,1
n n y b +=,比较x x 与y
y 的大小.
【答案】[来源:学科网]
29．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知数列{}n a 满
足:12(0)a a a =+≥,12
n n a a
a +=
+,*n ∈N . ⑴若0a =,求数列{}n a 的通项公式;
⑵设1n n n b a a +=-,数列{}n b 的前n 项和为n S ,证明:1n S a <.
【答案】⑴若0a =时,12a =,12
n n a a +=
,所以2
12n n a a +=,且0n a >. 两边取对数,得1lg 22lg lg n n a a +=+, 化为11lg lg2(lg lg2)2
n n a a +=++, 因为1lg lg22lg2a =+,
所以数列{lg lg2}n a +是以2lg2为首项,
1
2
为公比的等比数列 所以11lg lg22()lg22
n n a -=+,所以221
2n n a --=
⑵由12
n n a a a +=
+,得2
12n n a a a +=+,① 当2n ≥时,212n n a a a -=+,②
①-②,得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+, 由已知0n a >,所以1n n a a +-与1n n a a --同号
因为21a a =+,且0a >,所以22
2212
(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立, 所以210a a -<,所以10n n a a +-< 因为1n n n b a a +=-,所以1()n n n b a a +=--, 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----++
+
11111()n n a a a a a ++=--=-<
30．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）如图，一颗棋子从三棱柱的一个
顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为1
3，刚开始时，棋子在上底面点A 处，若移
了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n ．
（1）求p 1，p 2的值； （2）求证：i =1∑n
14P i －1＞n 2
n ＋1
．
【答案】解（1）p 1＝23
，
A
B
C
D
E
F
（第23题）
p 2＝23×23＋13×(1－23)＝5
9． ……………………
2分
（2）因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ，故落在下底面顶点的概率为1－p n ．
于是移了n ＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为p n +1＝23p n ＋13(1－p n )＝13p n ＋13．
…………………… 4分 从而p n +1－12＝13(p n －1
2
)．
所以数列{p n －12}是等比数列，其首项为16，公比为1
3
．
所以p n －12＝16×(13)n －1．即p n ＝12＋12×1
3n ． (6)
分
用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，左式＝14×23－1＝35，右式＝12，因为35＞1
2，所以不等式成立．
当n ＝2时，左式＝14×23－1＋14×59－1＝7855，右式＝43，因为7855＞4
3，所以不等式成
立．
②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即i =1∑k
14P i －1＞k 2
k ＋1
．
则n ＝k ＋1时，左式＝i =1∑k
14P i －1
＋14P k +1－1＞k 2k ＋1＋14(12＋12×13k +1)－1＝k 2
k ＋1＋
3k +1
3k +1＋2
．
要证k 2k ＋1＋3k +1
3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2，
只要证3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2－k 2
k ＋1．
只要证3k +1
3k +1＋2≥k 2＋3k ＋1 k 2＋3k ＋2．
只要证2 3k +1≤1
k 2＋3k ＋1．
只要证3k +1≥2k 2＋6k ＋2．
因为k ≥2，
所以3k +1＝3(1＋2)k ≥3(1＋2k ＋4C 2
k )＝6k 2＋3＝2k 2＋6k ＋2＋2k (2k －3)＋1＞2k 2＋6k
＋2，
所以k 2k ＋1＋3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2．[来源:Z#xx#]
即n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由①②可知，不等式i =1∑n
14P i －1＞n 2
n ＋1对任意的n ∈N *都成立． (10)
分
31．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知数列{a n }中,a 2=1,前n 项和为S n ,且
1()
2n n n a a S -=
. (1)求a 1;
(2)证明数列{a n }为等差数列,并写出其通项公式; (3)设1
lg 3n n n
a b +=
,试问是否存在正整数p ,q (其中1<p <q ),使b 1,b p ,b q 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p ,q );若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)令n =1,则a 1=S 1=
111()
2
a a -=0 (2)由1()2n n n a a S -=,即2n n na
S =, ① 得 1
1(1)2
n n n a S +++=
. ② ②-①,得 1(1)n n n a na +-=. ③ 于是,21(1)n n na n a ++=+. ④ ③+④,得212n n n na na na +++=,即212n n n a a a +++=
又a 1=0,a 2=1,a 2-a 1=1,
所以,数列{a n }是以0为首项,1为公差的等差数列. 所以,a n =n -1
(3)假设存在正整数数组(p ,q ),使b 1,b p ,b q 成等比数列,则lg b 1,lg b p ,lg b q 成等差数列,
于是,
21333p q
p q =+ 所以,213()33
q p p q =-(☆). 易知(p ,q )=(2,3)为方程(☆)的一组解
当p ≥3,且p ∈N*时,112(1)224333p p p p p p +++--=<0,故数列{23p
p
}(p ≥3)为递减数列, 于是
2133p p -≤3231
33
⨯-<0,所以此时方程(☆)无正整数解.
综上,存在唯一正整数数对(p ,q )=(2,3),使b 1,b p ,b q 成等比数列
注 在得到③式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列的,亦相应评分.但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的,扣1分.
本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算,考查创新能力.两个基本数列属C 能要求,属高考必考之内容,属各级各类考试之重点.
第(3)问中,若数列{a n }为等差数列,则数列{n a k }(k >0且k ≠1)为等比数列;反之若数列{a n }为等比数列,则数列{log a n a }(a >0且a ≠1)为等差数列.
第(3)问中,如果将问题改为“是否存在正整数m ,p ,q (其中m <p <q ),使b m ,b p ,b q 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(m ,p ,q );若不存在,说明理由.”那么,答案仍然只有唯一组解.此时,在解题时,只须添加当m ≥2时,说明方程组无解即可,其说明思路与原题的解题思路基本相同.
对于第(2)问,在得到关系式:1(1)n n n a na +-=后,亦可将其变形为11n n a
n a n +=-,并进
而使用累乘法(迭乘法),先行得到数列{a n }的通项公式,最后使用等差数列的定义
证明其为等差数列亦可.但需要说明n ≥2.
考虑到这是全市的第一次大考,又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检测,因而在评分标准的制定上,始终本着让学生多得分的原则,例如本题中的第(1)问4分,不设置任何的障碍,基本让学生能得分.
32．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）已知数列}{n a 满足
21=a ,)1(1
1+-=++n a a n n n .
(1)证明:n a n >(3≥n );
(2)证明:24323
4<++++n n .
盐城市2013届高三年级第二次模拟考
【答案】(1)因为122,2,a a ==所以3
3235 3.a a =-=>
假设当1n k =+时,因为1
12922k k k
a k k k k k ++>>⋅≥>+,
所以,1
11 1.k k k a a k k ++=-->+由数学归纳法知,当3n ≥时n a n > (2)由(1)知,10,n
n n a a n -=->得1n n a n ->,
所以1.n n a n ->所以()121,n n n a n n ---->即()121,n n
n a n n -->-+
所以1
21n n n a n n -->-+,以此类推,得3412234n a n =>+++
+,问题得
证
33．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）设n S 是各项均为非零实数的
数列{}n a 的前n 项和,给出如下两个命题上:
命题p :{}n a 是等差数列;命题q :等式
1
113221111+++=+++n n n a a b
kn a a a a a a 对任意n (*N n ∈)恒成立,其中b k ,是常数. ⑴若p 是q 的充分条件,求b k ,的值;
⑵对于⑴中的k 与b ,问p 是否为q 的必要条件,请说明理由;
⑶若p 为真命题,对于给定的正整数n (1>n )和正数M,数列{}n a 满足条件
M a a n ≤++2
121,试求n S 的最大值.
【答案】解:(1)设
}{n
a 的公差为d ,则原等式可化为
1223
111
1111111,n n n kn b d a a a a a a a a ++⎛⎫+-+-++
-= ⎪
⎝⎭所以11111n n nd kn b d a a a a +++⋅=, 即()10k n b -+=对于n N *∈恒成立,所以1,0.k b ==
(2)当1,0k b ==时,假设p 是否为q 的必要条件,即“若
1223
111
11
1n n n n
a a a a a a a a +++++
=①对于任意的()n n N *∈恒成立,则}{n a 为等差数列”. 当1n =时,
1212
11a a a a =显然成立
当2n ≥时,
1223
111
1111
n n
n n a a a a a a a a -+-+++
=
②,由①-②得, 111111n n n n n n a a a a a ++⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
,即()111n n na n a a +--=③. 当2n =时,1322a a a +=,即1a 、2a 、3a 成等差数列,
当3n ≥时,()()1112n n n a n a a ----=④,即112n n n a a a -+=+.所以}{
n a 为等差数列,即p 是否为q 的必要条件
(3)由22
11n a a M ++≤,可设11cos ,sin n a r a r θθ+==,所以r M ≤
.
设
}
{n
a 的公差为d
,则11sin cos n a a nd r r θθ
+-==-,所以
sin cos r r d n
θθ
-=
,
所
以
sin cos sin n r r a r n
θθ
θ-=-
,()()()11cos 1sin 22n n a a n n n S r θθ+++-==
()()
()2
2
2112
12
2
n n M M n ++-≤
⋅=
+,所以n S 的最大值为()22
12
M n +
34．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）一位幼儿园老师给班上(3)k k ≥个小朋友
分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为0a ,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的
12分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的1
3
分给第二个小朋友;,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的
1
1
n +分给第(1,2,3,)n n k =个小朋友.如果设分给第n 个小朋友后(未加入2块
糖果前)盒内剩下的糖果数为n a .
(1) 当3k =,012a =时,分别求123,,a a a ;
(2) 请用1n a -表示n a ;令(1)n n b n a =+,求数列{}n b 的通项公式;
(3)是否存在正整数(3)k k ≥和非负整数0a ,使得数列{}n a ()n k ≤成等差数列,如果存在,请求出所有的k 和0a ,如果不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)当3k =,012a =时, ()()722
1
2001=+-
+=a a a , ()()6231
2112=+-
+=a a a ,()()624
12223=+-+=a a a (2)由题意知:()()()21211
2111++=++-+=---n n n n a n n a n a a ,
即()()n na a n a n n n n 22111+=+=+--, (1)n n b n a =+,12,n n b b n -∴-=
112102,22,2.
n n n n b b n b b n b b ---∴-=-=--=
累加得()()12
220+=+=
-n n n n b b n , 又00
a b
=,∴()01a n n b n ++=
(3)由()01a n n b n ++=,得1
++
=n a n a n , 若存在正整数(3)k k ≥和非负整数0a ,使得数列{}n a ()n k ≤成等差数列, 则1322a a a +=, 即00001(1)32202
43a a a a ⎛⎫
+++
=+⇒= ⎪⎝
⎭, 当00=a 时, n a n =,对任意正整数(3)k k ≥,有{}n a ()n k ≤成等差数列 [注:如果验证012,,a a a 不能成等差数列,不扣分]
【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推
理论证能力;考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力.本题还可以设计:如果班上有5名小朋友,每个小朋友都分到糖果,求0a 的最小值.
35．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）记等差数列{a n }的前n 项和为
S n .
(1)求证:数列{S n
n
}是等差数列;
(2)若a 1=1,且对任意正整数n ,k (n >k ),都有S n ＋k +S n －k =2S n 成立,求数列{a n }的通项公式;
(3)记b n =a a n (a >0),求证:b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n
2
.
【答案】解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则S n =na 1+
n (n －1)2d ,从而S n n =a 1+n －1
2
d . 所以当n ≥2时,S n n -
S n －1n －1=(a 1+n －12d )-(a 1+n －22d )=d
2
.
即数列{S n
n
}是等差数列
(2)因为对任意正整数n ,k (n >k ),都有S n ＋k +S n －k =2S n 成立, 所以S n ＋1+S n －1=2S n ,即数列{S n }是等差数列 设数列{S n }的公差为d 1,则S n =S 1+(n -1)d 1=1+(n -1)d 1, 所以S n =[1+(n -1)d 1]2
,所以当n ≥2时,
a n =S n -S n -1=[1+(n -1)d 1]2-[1+(n -2)d 1]2=2d 21n -3d 21+2d 1, 因为{a n }是等差数列,所以a 2-a 1=a 3-a 2,即
(4d 21-3d 21+2d 1)-1=(6d 21-3d 21+2d 1)-(4d 21-3d 21+2d 1),
所以d 1=1,即a n =2n -1.
又当a n =2n -1时,S n =n 2,S n ＋k +S n －k =2S n 对任意正整数n ,k (n >k )都成立, 因此a n =2n -1
(3)设等差数列{a n }的公差为d ,则a n =a 1+(n -1)d ,b n =a a n ,
所以
b n b n －1
=a a n -a n －1=a d
, 即数列{b n }是公比大于0,首项大于0的等比数列 记公比为q (q >0).
以下证明:b 1+b n ≥b p +b k ,其中p ,k 为正整数,且p +k =1+n . 因为(b 1+b n )-(b p +b k )=b 1+b 1q n -1-b 1q p -1-b 1q k -1=b 1(q p -1-1)( q k -1
-1). 当q >1时,因为y =q x
为增函数,p -1≥0,k -1≥0, 所以q p -1-1≥0,q k -1
-1≥0,所以b 1+b n ≥b p +b k . 当q =1时,b 1+b n =b p +b k .
当0<q <1时,因为y =q x
为减函数,p -1≥0,k -1≥0, 所以q p -1-1≤0,q k -1
-1≤0,所以b 1+b n ≥b p +b k . 综上,b 1+b n ≥b p +b k ,其中p ,k 为正整数,且p +k =1+n 所以n (b 1+b n )=(b 1+b n )+(b 1+b n )++(b 1+b n ) ≥(b 1+b n )+(b 2+b n -1)+(b 3+b n -2)++(b n +b 1) =(b 1+b 2++b n )+(b n +b n -1++b 1), 即
b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n
2
36．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知数列{a n }中,a 1=2,n∈N +
,a n >0,
数列{a n }的前n 项和S n ,且满足112
2
n n n a S S ++=
-.
(Ⅰ)求{S n }的通项公式;
(Ⅱ)设{b k }是{S n )中的按从小到大顺序组成的整数数列. (1)求b 3;
(2)存在N(N∈N +
),当n≤N 时,使得在{S n }中,数列{b k }有且只有20项,求N 的范围.
【答案】
37．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）已知
数列{}n a 是首项为1,公差为d 的等差数列,数列{}n b 是首项为1,公比为(1)q q >的等比
数列.
(1)若55a b =,3q =,求数列{}n n a b ⋅的前n 项和;
(2)若存在正整数(2)k k ≥,使得k k a b =.试比较n a 与n b 的大小,并说明理由.
【答案】解:(1)依题意,5145511381a b b q -===⨯=,
故51811
20514
a a d --=
==-, 所以120(1)2019n a n n =+-=-,
令2111213413(2019)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅, ① 则213 13213(2039)3(2019)3n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅, ② ①-②得,()
2121+20333(2019)3n n n S n --=⨯++⋅⋅⋅+--⋅, 13(13)
1+20(2019)313
n n n --=⨯--⋅-
(2920)329n n =-⋅-, 所以(2029)329
2
n n n S -⋅+=
(2)因为k k a b =,
所以1
1(1)k k d q
-+-=,即11
1
k q d k --=-,
故11
1(1)1
k n q a n k --=+--,
又1n n b q -=, 所以11
11(1)1k n n n q b a q
n k --⎡⎤--=-+-⎢⎥-⎣⎦
()()11
1(1)1(1)11n k k q n q k --⎡⎤=-----⎣
⎦- ()()2323
1(1)1(1)11
n n k k q k q q q n q q q k -----⎡⎤=
-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅++⎣⎦- (ⅰ)当1n k <<时,由1q >知 ()()232311()1(1)1
n n k k n n n q b a k n q q q n q q q k ------⎡
⎤-=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅+⎣⎦- 21
1()(1)(1)()1n n q k n n q n k n q k ---⎡⎤<
-----⎣
⎦- 22(1)()(1)
1
n q q k n n k ----=-
- 0<,
(ⅱ)当n k >时,由1q >知 ()()231231(1)()11
n n k k k n n q b a k q q q n k q q q k ------⎡
⎤-=-++⋅⋅⋅+--++⋅⋅⋅++⎣⎦- 12
1(1)()()(1)1k k q k n k q n k k q k ---⎡⎤>
-----⎣
⎦- 22(1)()k q q n k -=-- 0>,
综上所述,当1n k <<时,n n a b >;当n k >时,n n a b <;当1 n k =，时,n n a b =. (注:仅给出“1n k <<时,n n a b >;n k >时,n n a b <”得2分.)
[来源:学*科*网]
38．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
已知数列{a n }满足:1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N . (1)若1a =-,求数列{a n }的通项公式;
(2)若3a =,试证明:对*n ∀∈N ,a n 是4的倍数.
【答案】解:(1)当1a =-时,1
114,(1)1n a n a a -+=-=-+.
令1n n b a =-,则115,(1)n b n b b +=-=-.
因15b =-为奇数,n b 也是奇数且只能为1-, 所以,5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,
0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩
(2)当3a =时,1114,31n a n a a -+==+ 下面利用数学归纳法来证明:a n 是4的倍数. 当1n =时,1441a ==⨯,命题成立;
设当*()n k k =∈N 时,命题成立,则存在t ∈N*,使得4k a t =, [来源:学科网]
1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+,
其中,4(1)145
4443
4(1)4(1)4(1)44C 4
(1)C 4
C 4t t r r t r
t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅,
m ∴∈Z ,∴当1n k =+时,命题成立.
∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立
39．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）若数列
是首项为,
公差为6的等差数列;数列
的前项和为.
(1)求数列和
的通项公式;
(2)若数列是等比数列, 试证明: 对于任意的
, 均存在正整
数
, 使得
, 并求数列的前项和
;
(3)设数列满足, 且
中不存在这样的项
, 使得
“
与
”同时成立(其中2≥k , *
∈N k ), 试求实数的取值范
围.
南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
【答案】解: (1)因为
是等差数列,所以
而数列的前项和为,所以当时,
,
又,所以
(2)证明:因为是等比数列,所以,即,所以
对任意的,由于, 令,则,所以命题成立
数列的前项和
(3)易得,
由于当时,
,所以
①若,即,则,所以当时,是递增数列,故由题意得
,即,解得, ②若,即,则当时,是递增数列,,
故由题意得,即,解得
③若,即, 则当时,是递减数列, 当时,是递增数列,
则由题意,得,即,解得
综上所述,的取值范围是
或
40．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)
上是增函数.
(1)求实数a 的取值范围;
(2)若数列{}n a 满足1(0,1)a ∈,1ln(2)n n n a a a +=-+,n ∈N* ,证明101n n a a +<<<.
【答案】解:(1) 函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)上是增函数.
∴()021
≥+--=
'a x x f 在区间(0,1)上恒成立, x a -≥
∴21,又()x
x g -=21在区间(0,1)上是增函数 ()11=≥∴g a 即实数a 的取值范围为1≥a
(2)先用数学归纳法证明10<<n a . 当1=n 时,1(0,1)a ∈成立, 假设k n =时,10<<k a 成立,
当1+=k n 时,由(1)知1=a 时,函数()()x x x f +-=2ln 在区间(0,1)上是增函数
∴()()k k k k a a a f a +-==+2ln 1 ∴()()()1102ln 0=<<=<f a f f k ,
即101<<+k a 成立, ∴当*∈N n 时,10<<n a 成立 [来源:学科网]
下证1+<n n a a . ()101,ln 2ln10.n n n n a a a a +<<∴-=->=
1+<∴n n a a . 综上101<<<+n n a a
41．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知数列}{n a 满
足),(12
1
21*21N n na a a n n n ∈+-=
+且.31=a (1) 计算432,,a a a 的值,由此猜想数列}{n a 的通项公式,并给出证明;
(2) 求证:当2≥n 时,.4n n
n
n a ≥
徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检
【答案】⑴24a =,35a =,46a =,猜想:*
2()n a n n =∈+N
①当1n =时,13a =,结论成立;
②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时,结论成立,即2k a k =+, 则当1n k =+时,2211111
1=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222
k k k a a ka k k k k k +=
-+-+, 即当1n k =+时,结论也成立,由①②得,数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ⑵原不等式等价于2
(1)4n n
+≥. 证明:显然,当2n =时,等号成立;
当
2
n >时,01
222222(1)C C C ()C ()n n n n n
n n n
n n n +=++++012233222C C C ()C ()n n n n n n n
+++≥ 0122
222>C C C ()54n n n
n n n
++=->, 综上所述,当2n ≥时,4n
n n
a n ≥
42．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知数列
的前项和为
.
(Ⅰ)若数列是等比数列,满足,
是
,
的等差中项,
求数列
的通项公式;
(Ⅱ)是否存在等差数列
,使对任意
都有
?若存在,
请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由. [来源:]
【答案】解:(Ⅰ)设等比数列的首项为,公比为,
依题意,有即
由得,解得或.
当时,不合题意舍;
当时,代入(2)得,所以,
(Ⅱ)假设存在满足条件的数列,设此数列的公差为,则
方法1: ,得
对恒成立,
则
解得或此时,或.
故存在等差数列,使对任意都有.其中, 或
方法2:令,,得,
令,得,
①当时,得或,
若,则,,,对任意都有
;
若,则,,,不满足.
②当时,得或
, 若
,则
,,
,对任意
都有
;
若
,则
,
,
,不满足
. 综上所述,存在等差数列
,使对任意
都有
.其中
,或
43．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知,0,0<>b a 且
,0≠+b a 令
,
,11b b a a ==且对任意正整数k ,当
≥+k k b a 时,;43,412111k k k k k b b b a a =-=
++当0<+k k b a 时,.4
3
,214111k k k k k a a b a b =+-=++ (1) 求数列}{n n b a +的通项公式;
(2) 若对任意的正整数n ,0<+n n b a 恒成立,问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列?若存在,求出b a ,满足的条件;若不存在,说明理由; (3) 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,4
3
122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式.
【答案】⑴当0n n a b +≥时,11124n n n a a b +=
- 且13
4
n n b b +=, 所以111131
()2442
n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+, [来源:学科网]
又当0n n a b +<时,11142n n n b a b +=-+且13
4
n n a a +=,
113111
()4422
n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+,
因此,数列{}n n b a +是以b a +为首项,1
2
为公比的等比数列,
所以,n n b a +1
1()2n a b -⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭
⑵因为0n n a b +<,所以n n a a 431
=+,所以1
34n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
,
1
1()2n n n b a b a -⎛⎫
=+- ⎪
⎝⎭
1
1
13()24n n a b a --⎛⎫
⎛⎫=+- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
,
假设存在a ,b ,使得{}n b 能构成等比数列,则1b b =,224b a b -=,34516
b a
b -=, 故2245(
)()416
b a b a
b --=,化简得0=+b a ,与题中0a b +≠矛盾, 故不存在a ,b 使得{}n b 为等比数列 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ,所以121222
1
41--+-=n n n b a b 所以
124
3+n b 212121212111131
42444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-
所以212121213
1()()4
4
n n n n b b a b +----=-+,
由⑴知,22
21211()2n n n a b a b ---⎛⎫
+=+ ⎪
⎝⎭
,所以22
2121132n n n a b b b -+-+⎛⎫
-=- ⎪
⎝⎭
)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b
2
4
6
24
1111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-++++
+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥
⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
, 22133()114434n n n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,
所以,1
224()11,943()1-1,4
34n n n
a b b n b a b b n -⎧⎡⎤
+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥
⎝⎭⎪⎣⎦
=⎨⎡⎤
⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩
．为奇数时,
为偶数时
44．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设无穷数列{}n a 满
足:n *∀∈Ν,1n n a a +<,n a *∈N .记*1()n n n a n a b a c a n +==∈N ，.
(1)若*3()n b n n =∈N ,求证:1a =2,并求1c 的值;
(2)若{}n c 是公差为1的等差数列,问{}n a 是否为等差数列,证明你的结论.
数学II(附加题)
【答案】【解】(1)因为n a *∈N ,所以若11a =,则113a a a ==矛盾,
若113a a a =≥,可得113a ≥≥矛盾,所以12a = 于是123a a a ==,从而121136a a c a a a +==== (2){}n a 是公差为1的等差数列,证明如下:
12n n a a n +>⇒≥时,1n n a a ->,所以11()n n n m a a a a n m -+⇒+-≥≥, ()m n <
11111(1)n n a a n n a a a a ++++⇒++-+≥,
即11n n n n c c a a ++--≥,由题设,11n n a a +-≥,又11n n a a +-≥, 所以11n n a a +-=,即{}n a 是等差数列
45．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知数列{a n }中,a 2=a (a 为
非零常数),其前n 项和S n 满足:S n =
n (a n －a 1)
2
(n ∈N*).
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)若a =2,且2
1114
m n a S -=,求m 、n 的值;
(3)是否存在实数a 、b ,使得对任意正整数p ,数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p-2项?若存在,分别求出a 与b 的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明:由已知,得a 1=S 1=
1⋅(a 1－a 1)2=0,∴S n =na n
2
, 则有S n +1=(n +1)a n +1
2
,
∴2(S n +1-S n )=(n +1)a n +1-na n ,即(n -1)a n +1=na n n ∈N*, ∴na n +2=(n +1)a n +1,
两式相减得,2a n +1=a n +2+a n n ∈N*, 即a n +1-a n +1=a n +1-a n n ∈N*, 故数列{a n }是等差数列.
又a 1=0,a 2=a ,∴a n =(n -1)a
(2)若a =2,则a n =2(n -1),∴S n =n (n -1). 由21114
m n a S -=,得n 2-n +11=(m -1)2,即4(m -1)2-(2n -1)2=43, [来源:Z 。

xx 。

] ∴(2m +2n -3)(2m -2n -1)=43
∵43是质数, 2m +2n -3>2m -2n -1, 2m +2n -3>0,
∴⎩⎨⎧2m －2n －1=12m +2n －3=43
,解得m =12,n =11 (III)由a n +b ≤p ,得a (n -1)+b ≤p .
若a <0,则n ≥
p －b a +1,不合题意,舍去; 若a >0,则n ≤p －b a
+1. ∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p-2, [来源:Z#xx#]
∴3p-2≤p －b a
+1<3p-1, 即2a-b <(3a-1)p ≤3a-b ,对任意正整数p 都成立.
∴3a-1=0,解得a =13, 此时,23-b <0≤1-b ,解得23
<b ≤1. 故存在实数a 、b 满足条件, a 与b 的取值范围是a =13,23
<b ≤1
46．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）
设数列
的前项和为,满足(). (1)若,,求证数列是等比数列,并求数列
的通项公式; (2)已知数列
是等差数列,求的值.
【答案】
47．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）已知数列{}n a 的各项都为正数,
且对任意*n N ∈,都有212n n n a a a k ++=+(k 为常数).
(1)若221()k a a =-,求证:123,,a a a 成等差数列;(2)若k=0,且245,,a a a 成等差数
列,求21
a a 的值; (3)已知12,a a a
b ==(,a b 为常数),是否存在常数λ,使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立?若存在.求出λ;若不存在,说明理由.
【答案】
48．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知等差数列
{}n a 的
公差d 不为零,且237a a =,246a a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,求满足2200n n S a -->的所有正整数n 的集合.
【答案】
49．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）空间内有n 个平面,设这n 个平面最多
将空间分成n a 个部分.
(1)求1234,,,a a a a ;
(2)写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.
【答案】解:(1)12342,4,8,15a a a a ====; (2)31(56)6
n a n n =++.证明如下: 当1n =时显然成立, 设(1,)n k k k N *=≥∈时结论成立,即31(56)6
k a k k =
++, 则当1n k =+时,再添上第1k +个平面,因为它和前k 个平面都相交,所以可得k 条互不平行且不共点的交线,且其中任3条直线不共点,这k 条交线可以把第1
k +个平面划最多分成21[(1)(1)2)]2k k +-++个部分,每个部分把它所在的原有空间
区域划分成两个区域.因此,空间区域的总数增加了
21[(1)(1)2)]2k k +-++个,
2321111[(1)(1)2)](56)[(1)(1)2)]262
k k a a k k k k k k +∴=++-++=++++-++ 31[(1)5(1)6)]6
k k =++++, 即当1n k =+时,结论也成立.
综上,对n N *∀∈,31(56)6n a n n =++.。