数理方法复习提纲

复变函数论
复数平面：在直角坐标平面xOy 上，把复数iy x z +=用坐标为),(y x 的点来表示，这个直角坐标平面xOy 叫做复数平面。

复数平面
复数的模：复数iy x z +=的对应点),(y x 的极坐标的极径或矢量→
Oz 的长度ρ称为复数z 的模z ，记做22y x z +==ρ。

复数的辐角：复数iy x z +=对应点),(y x 的极坐标的极角或向量→
Oz 与x 轴正方向的夹角θ称为z 的辐角，记做θ=Argz 。

一个复数iy x z +=的辐角可以取无穷多个值，并且彼此相差π2的整数倍，通常把满足条件ππ≤<-Argz 或π20<≤Argz 的一个特定值，称为辐角的主值，表示为z arg ，则z 的任意辐角可表示为： ,...)2,1,0(2arg ±±=+==k k z Argz πθ
复数iy x z +=的三角式： )sin (cos θθi r iy x z +=+= 复数iy x z +=的指数式：
θ
θ
θθθθi i re z i e i r iy x z =⇒⎭
⎬⎫+=+=+=)(sin cos )sin (cos 欧拉公式 复数)sin (cos θθi r iy x z +=+=的n 次乘方的三角和指数形式：
θθθin n n n e r n i n r z =+=)sin (cos
复数)sin (cos θθi r iy x z +=+=的n 次方根的三角和指数形式：
)1,...1,0(2arg ,)sin (cos -=+==+==n k k z e r n
i n r z w n i
n
n
n
π
θθ
θθ
复变函数：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 中的每一点z ，按照一定的规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则说在点集E 上定义了一个复变函数，记作：)(z f w =，
点集E 叫作函数的定义域
令：iv u z f w +==)(，并将iy x z +=代入，则有：
),(),()()(y x iv y x u z f w iv u z f w iy x z +==⇒⎭
⎬⎫
+==+=
初等复变函数：
指数函数：)sin (cos y i y e e e e e x iy x iy x z +===+ 例题：)2
2
22()4sin 4(cos 334
3i e i e e
i
+=+=--+-πππ
三角函数： ()
iz iz e e i z --=
21sin , z z z cos sin tan =, z
z z sin cos cot = 1）因为z z sin )2sin(=+π，z z cos )2cos(=+π，所以z sin ，z cos 具有实周期π2 2）z sin ，z cos 为无界函数。

3）212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±
212121s i n c o s c o s s i n )s i n (z z z z z z ±=± 1c o s s i n
22
=+z z 双曲线函数：()
z z e e shz --=
21 ， ()
z z e e chz -+=21 ， chz
shz
thz = 因为shz i z sh =+)2(π，chz i z ch =+)2(π，所以shz ，chz 有纯虚数周期π2i 注意：双曲函数与三角函数的关系为
)sin(iz i shz -=，)cos(iz chz =，)tan(iz i thz -=
对数函数：指数函数的反函数，当有指数函数z e w =，则称复数z 为w 的对数函数，记作
Lnw z =。

设：iArgw iy x iy x z e w e e e e w ====+， 则可得：w x w e x ln =⇒=，Argw y =
所以有： i A r g w
w L n w iy x z +==+=ln 复变函数)(z f w =通常取z 为自变量，w 为函数值，则可写出对数函数：
iArgz z Lnz iv u w +==+=ln
例题. ,...)2,1,0(2)1(2±±=+==-+k k i i Lne Ln k i i ππππ 幂函数：为复常数）
（αααααArgz
i z Lnz e e e z ln == 一般指数函数：为复常数）
（ααα
ααziArg z zLn z e e e ln == 复变函数的极限：如果对任意一个0>ε，总可找到一个0>δ，使得所有在0z 的δ邻域内
的点，其所对应的点w 都在0w 的ε邻域内，即如果有不等式δ<-<00z z （0z 本身可以除外），必可得出ε<-0)(w z f ，我们说当0z z →时，函数)(z f w =的极限存在且为0w ，表示为：0)(lim 0
w z f z z =→。

由定义可见，极限值与0z z →的方式无关，换句话说，当z 以不同
的方式趋近于0z 时，如果函数)(z f w =的极限值不一样，则其极限不存在。

如果令：000iy x z +=，000iv u w +=，则复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==的极限等价为如下两个极限：0),(lim 0
u y x u y y x x =→→，0),(lim 0
0v y x v y y x x =→→
特别：当000000(,),(,)u u x y v v x y ==时，称函数)(z f w =在0z 点连续，记作： )()(lim 00
z f z f z z =→ ⇔ ),(),(lim 000
0y x u y x u y y x x =→→，),(),(lim 000
0y x v y x v y y x x =→→
复变函数的导数：设函数)(z f w =是在区域E 上定义的单值函数，对于E 上的某点z ，如果极限z
z f z z f z w z z ∆-∆+=∆∆→∆→∆)
()(lim lim
00存在，则称函数)(z f w =在点z 处可导，此极限叫作
函数)(z f w =在点z 处的导数，表示为:
)()()()(lim lim
00z f dz
z df z z f z z f z w
z z '==∆-∆+=∆∆→∆→∆
复变函数可导的充要条件：复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导的充要条件是偏导数
x y x u ∂∂),(，y y x u ∂∂),(，x y x v ∂∂),(，y
y x v ∂∂)
,(存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即： y y x v x y x u ∂∂=∂∂),(),(，x
y x v y y x u ∂∂-=∂∂)
,(),( 解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数)(z f 在0z 点及其邻域内处处可导，那么称)(z f 在0z 点解析。

如果)(z f 在区域E 内每一点都解析，那么称)(z f 在E 内解析，或称()f z 为E 内的一个解析函数。

注：)(z f 在某点0z 解析⇒在该点可导⇒该点连续⇒该点有极限
区域解析⇔区域可导，即解析函数是函数在一个区域上的性质，而不是在一些孤立点上的性质。

解析函数在定义域内的和、差、积、商（分母不为零）仍然为解析函数. 复变函数的积分归结为两个实变函数的曲线积分：
⎰⎰⎰⎰
++-=++=C
C
C
C
dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u idy dx y x iv y x u dz z f ),(),(),(),())](,(),([)(
复变函数积分的计算方法：
曲线C 由参数方程)(t x x =，)(t y y =，21t t t ≤≤给出
则有dt t y i dt t x dt t z idy dx dz )()()('+'='=+=，可得积分的计算公式
dt
t y t y t x u t x t y t x v i dt t y t y t x v t x t y t x u dt
t y i t x t y t x iv t y t x u dt
t z t y t x iv t y t x u dt t z t z f dz z f t t t t t t t t t t C
})()](),([)()](),([{)}()](),([)()](),([{)]()()]}[(),([)](),([{)()]}(),([)](),([{)()]([)(2
1
21
2
1
2
1
21
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
'+'+'-'='+'+='+=''=由复变函数积分的定义可得积分的一个重要性质：设)(max z f M =为复变函数)(z f 在曲线C 上的最大值，又设l 为曲线C 的长度，则有：
Ml dz z f C
≤⎰
)(
证明：已知∑∑∑===∆≤∆≤∆n
i i i n
i i i n
i i z M z f z f 0
1
)()(ζζ，在上式两边取∞→n 的极限，并考虑
复变函数积分的定义，以及l z n
i i n =∆∑=∞
→0
lim ，即可得不等式
Ml dz z f C
≤⎰
)(
例题. 计算回路积分⎰
-C n
z z dz
)(0
，其中n 为任意整数，如图，曲线C 是以0z 为圆心，r 为半
径的圆。

解：设000iy x z +=，则：圆周的参数方程为φcos 0r x x +=，φsin 0r y y +=
πφ20≤≤。

n n n i r z z )sin (cos )(0φφ+=-
⎰
⎰⎰-+-=++-=--π
πφφφφφφφφ20
1
200])1sin()1[cos(1)sin (cos )cos sin ()(d n i n r i d i r i r z z dz n n
n C n
⎩
⎨
⎧≠==-+-=-⎰
⎰-1,01
,2])1sin()1[cos(1
)(20
1
0n n i d n i n r i z z dz n C n πφφφπ
单连通区域的柯西定理：如果函数)(z f 在单连通区域E 内是解析的，则在区域E 内的任何分段光滑封闭曲线C 上的回路积分为零，即0)(=⎰C
dz z f
复连通区域的柯西定理：（不失一般性，图中只画出了C ，1C ，2C ）
如果函数)(z f 在复连通区域E 内是解析的，在E 上是连续的，那么它沿着这区域的边界的积分等于零：
0)()(1
=+∑⎰⎰
=n
k C C
k
dz z f dz z f
如图：式中C 为区域E 的外边界，k C 分别为区域E 的各个内边界，在通过这些边界时，积分均沿边界的正方向进行，即C 取逆时针方向，各个k C 取顺时针方向
原函数：若)(z f 是解析函数)(z F 的导数，即)()(z f z F ='，则称)(z F 为)(z f 的原函数。

定理：如果)(z F 为函数)(z f 的任何一个原函数，则有：)()()(00z F z F d f z
z -=⎰ζζ
单连通区域的柯西公式：如果函数)(z f 在单连通区域E 内是解析的，在闭单连通区域E 上是连续的，C 为E 的边界，对于区域E 内的任一点0z ，则有：⎰
-=
C
dz z z z f i z f 0
0)
(21
)(π
复连通区域的柯西公式：如图，以C ，1C ，2C ，n C 为边界的复连通区域（不失一般性，图中只画出了C ，1C ，2C ），沿边界C ，1C ，2C ，n C 的积分路径均取正方向。

则有： ∑⎰
⎰
=-+-=
n
k C C
k
dz z z z f i dz z z z f i z f 1
00)
(21
)(21)(π
π
高阶导数公式：设)(z f 在区域E 内是解析的，在闭区域E 上是连续的，C 为E 的边界，对于区域E 内的任一点z ，)(z f 可以求导任意多次，第n 阶导数可表示为：
ζζζπ
d z f i n z f C n n ⎰+-=
1)()()
(2!)( 上式可看作在柯西公式⎰-=
C d z f i z f ζζζπ
)
(21)(对z 求n 次导，其中等式右边在积分号内关于
z 求n 次导。

注意：解析函数可以求导任意次，即在其定义域内存在任意阶的导数 幂级数： +-+-+=-∑∞
=n n n n n z z c z z c c z z c )()()(001000
其中：系数n c 和固定点0z 都是复常数，z 是一个复变量 幂级数收敛半径的比值判别法（达朗贝尔判别法）： R c c n n n =+∞
→1
lim
幂级数收敛半径的根式判别法（柯西判别法）： []1
lim -∞
→=n n
n c R
幂级数收敛半径的奇点法：幂级数中心0z 到最近奇点的距离即为收敛圆的半径R
例题：由达朗贝尔判别法判断∑∞
=0!n n
n z 的收敛半径： ∞===∞
→+∞→n R c c n n n n lim lim 1
由达朗贝尔判别法判断∑∞
=02n n n
z 的收敛半径：1)1(lim lim 22
1=+==∞→+∞→n n R c c n n n n 幂级数的性质：
● 幂级数的和n n n z z c z f )()(00-=∑∞
=在收敛圆内也是一个解析函数。

● 幂级数n n n z z c z f )()(00
-=∑∞
=在收敛圆内任一点R R z z <=-10可逐项求导n 次。

● 幂级数n n n z z c z f )()(00
-=∑∞
=可以沿收敛圆内的分段光滑曲线C 逐项积分
可以证明幂级数逐项求导n 次、逐项积分所得到的新幂级数的收敛半径不变
泰勒级数：定理：设函数)(z f 在区域E 上是解析的，0z 为区域E 内任一点，在区域E 内的圆R z z C <-0:中，)(z f 可以展开为泰勒级数：
∑
∑∞
=∞
=-=-=000)
(0
0))((!
1)()(n n n n n
n z z z f n z z c z f 泰勒级数的收敛半径R 为0z 到区域E 的边界的最短距离 将函数展开为泰勒级数的方法 1．直接计算系数)(!
10)
(z f n c n n =
：例题. 以00=z 为中心，将z e z f =)(展开为泰勒级数。

解：z e z f =)(的各阶导数为z n e z f =)()(，!
1
!
1)0(!10
0)(0n e n z f n c z z z n n ====
==
所以：∑∞
==+++++=02!
!!21n n
n z
n z n z z z e
类似地，可以得到： ∑
∞
=++-=++-=01
253)!
12()1(!5!3sin n n n n z z z z z ∑
∞=-=++-=0
242)!2()1(!4!21cos n n
n n z z z z 2. 换元法：例题. 试分别以00=z 及10=z 为中心将函数1
1
)(+-=
z z z f 展开成Taylor 级数，并指出其收敛半径.
解：利用级数∑∞
==-0
11
n n z z ，1<z 来展开)(z f
以00=z 为中心，则有：1,
)(21)(12
112111)(0
<--=---=+-+=+-=∑∞
=z z z z z z z z f n n
)(z f 的奇点是1-=z ，从中心00=z 到1-=z 的距离为1，所以收敛半径1=R 。

3. 在收敛圆内逐项求导法(求积分法) 例题. 以00=z 为中心， 将函数2
)1(1
)(z z f -=
展开为Taylor 级数
解：已知∑∞
==-0
11
n n z z ，1<z ，等式左边对z 求导，右边对z 逐项求导可得：
∑∑∞
=∞=-+==-='-0
112
)1()1(1)11(n n
n n z n nz z z ，1<z 例题. 以10=z 为中心， 将函数z z f ln )(=展开为Taylor 级数
解： ∑∑∞=∞=--=-=--=0
0)1()1()1()1(111n n n n n
z z z z ，11<-z
取多值函数z ln 的01ln =所在的单值分支，对上式两边取积分可得：
∑∑⎰
⎰
∞
=+∞
=-+-=--==010
1
1
)1(1
)1()1()
1(1
ln n n n
n z
n
n
z
z n d d z ζζζζ
罗朗级数：若函数)(z f 在环形区域201R z z R <-<内解析，则)(z f 可在环形区域内任一点
z 展开为罗朗级数，其形式为：n n
n n
z z c
z f )()(0-=
∑∞
-=
其中展开系数为： ⎰+-=
C n n d z f i c ζζζπ
10)()
(21
积分路径C 为环形区域内绕0z 的任一简单闭合曲线。

罗朗级数中n
n n z z c z f )()(001-=∑∞
=称为展开式的正则部分，n n n
z z c
z f )()(01
2-=
∑--∞
=称为主要部
分。

罗朗级数n n n
z z c
z f )()(0-=
∑∞
-∞
=在环形区域201R z z R <-<内绝对且一致收敛
罗朗级数展开方法举例
例题. 将函数2)(z
e z
f z
=在以00=z 为中心的环形区域∞<<z 0内展开为罗朗级数。

解：∑∑∞
=-∞
====02
02
2!!1
)(n n n n z n z n z z z e z f 在上式中令l n =-2，再把l 写成n 可得：∑∞
-=+==22)!
2()(n n
z n z z e z f
例题. 已知函数1
1
)(2
-=z z f ，以10=z 为中心将函数()f z 展开成罗朗级数 解：已知1
1
21112111)(2+--=-=
z z z z f 上式中的第二项1
1
21+-
z 有一个奇点1-=z ，所以在10=z 为圆心的圆周21<-z 内，1
1
21+-z 可以展开为泰勒级数：n
n n z z z )21()1(41)
2
1(1141211210---=----=+--
∑∞= 所以有：n n n n z z z z z z f )1(2
1
)1(11211121112111)(202----=+--=-=+∞
=∑，210<-<z
孤立奇点：若函数)(z f 在0z z =不可导(或无定义)，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称点0z z =是)(z f 的一个孤立奇点。

孤立奇点的分类及其判定
(1) 可去奇点：若极限)(lim 0
z f z z →存在，则称0z 为)(z f 的可去奇点。

(2) 极点.
零点：不恒为零的解析函数)(z f 如果能表示成)()()(0z z z z f m ϕ-=
其中m 为正整数，)(z ϕ在点0z 点解析，且0)(0≠z ϕ，那么0z 为)(z f 的m 阶零点。

零点判定定理：如果函数)(z f 在0z 点解析，那么0z 为)(z f 的m 阶零点⇔ 0)(,0)()()(0)(0)1(00≠=='=-z f z f z f z f m m
例如：1=z 为1)(3-=z z f 的一阶零点
极点：如果函数)(z f 在其孤立奇点0z 邻域内的罗朗级数中的主要部分为有限项
+-++-++-++-+-=-=-----∞
-=∑n n m m m m m n n
n z z c z z c c z z c z z c z z c z z c z f )()()()()()()(001001
1
)1(00 则称0z 为函数)(z f 的m 阶极点。

上式也可表示为m
z z z P z f )()
()(0-=
，其中
+-+-+-+=-----m m m m z z c z z c z z c c z P )()()()(001010)1(
对于)(z P ，有0)(0≠z P 且为0z 邻域内的解析函数 例如：1=z ，21-
=z 分别为有理分式3)
12)(1(14)(+-+=z z z z f 的一阶和三阶极点 注：若0z 为函数)(z f 的m 阶极点，那么点0z 就为
)
(1
z f 的m 级零点，反之亦然。

(3)本性奇点：函数)(z f 在其孤立奇点0z 邻域内的罗朗级数中的主要部分有无限项 留数概念(Residue)：
若点0z 是函数)(z f 的一个孤立奇点，函数)(z f 在环形区域R z z <-<00内解析，则在此环形区域内，)(z f 可展开成罗朗级数
+-++-++-+-+=-=
----∞
-∞
=∑n n n n n n n
z z c z z c c z z c z z c z z c
z f )()()()()()(010*******罗朗级数n n n z z c
z f )()(0-=
∑∞
-∞
=的10
)(--z z 项的系数dz z f i c C
⎰
=-)(21
1π
叫作函数)(z f 在0z 点
的留数（或残数），记作]),([Re 0z z f s 。

留数定理：设函数)(z f 在简单闭合曲线C 所围区域E 内除有限个孤立奇点n z z z ,,21外处处解析，在闭区域E 上除n z z z ,,21外连续，则有：∑⎰==n
k k C
z z f s i dz z f 1]),([Re 2)(π
其中沿曲线C 的积分方向为逆时针方向。

留数的计算
(1) 若0z 为)(z f 的可去奇点，0z 为中心的罗朗级数中不含负幂次项，则：0]),([Re 0=z z f s (2). 若点0z 为)(z f 的一阶极点：)]()[(lim ]),([Re 0100
z f z z c z z f s z z -==→-
若函数)(z f 可以表示为)
()
()(z Q z P z f =
的特殊形式，其中函数)(z P 和)(z Q 都在0z 点解析，点0z 为)(z Q 的一阶零点（0)(0=z Q ）
，且0)(0≠z P ，点0z 必为)
()
()(z Q z P z f =的一阶极点，则有公式：)
()(])()()
([
lim )]()[(lim ]),([Re 000
0000
z Q z P z z z Q z Q z P z f z z z z f s z z z z '=
--=-=→→ (3). 若0z 为)(z f 的m 阶极点，则函数)(z f 在环形区域R z z <-<00内的罗朗级数展开式为： +-++-++-+-=
--+--)()()
()()(01001
1
010z z c c z z c z z c z z c z f m m m m 可容易得到计算)(z f 在点0z 的留数的公式：
)]()[(lim )!1(1]),([Re 011
100z f z z dz
d m c z z f s m m m z z --==--→-
(4). 若0z 为)(z f 的本性奇点，求留数采用罗朗级数展开法或直接计算围道积分。

留数定理的应用举例：
1.
计算积分dz e z z ⎰
=-111
解：令11)(-=z e z f ，则
1)
(1
-=z e z f 已知0)1(0=-=z z e ，01)1(0
≠=='-=z z
z e e ，所以0=z 为
1)
(1
-=z e z f 的一阶零点，可知0=z 必为1
1
)(-=
z
e z
f 的一阶极点。

可得留数：1)1(1
]11)0[(lim ]0,11[Re ]0),([Re 00='
-=--=-==→z z z z z e e z e s z f s 已知1
1
)(-=z e z f 在圆周1=z 内只有一个奇点0=z ，由留数定理可得：
ππ2]0,1
1[Re 2111i e s i dz e z z z =-=-⎰= 2．计算积分dz z z
z ⎰=13
cos 解：令3cos )(z
z
z f =，可知其在圆周1=z 内只有0=z 一个三阶极点
可得留数：21
]cos [)!12(1lim ]0,cos [Re ]0),([Re 332203-=-==→z
z z dz d z z s z f s z 由留数定理可得：ππi z
z
s i dz z z z -==⎰=]0,cos [Re 2cos 313
积分变换
傅里叶变换：函数)(x f 在区间),(∞-∞上满足条件： 1．)(x f 在任何有限区间内满足狄里克莱条件； 2．)(x f 在区间),(∞-∞上绝对可积，即无穷积分dx x f ⎰
∞
∞
-)(存在；
则表达式： ⎰∞∞
--=dx e x f f x i ωω)()(
称为)(x f 的傅里叶变换式，记作：)]([)(x f F f =ω。

函数)(ωf 称为)(x f 的傅里叶变换，简称傅氏变换，函数)(ω为)(x f 的像函数。

变换式： ⎰
∞
∞
-=
ωωπ
ωd e f x f x i )(21)(
称为)(x f 的傅里叶逆变换式，记作：)]([)(1ωf F x f -=，函数)(x f 为)(ωf 的像原函数。

傅里叶变换对：)()(ωf x f ↔。

傅里叶积分收敛定理：
⎪⎩
⎪
⎨⎧
-++=⎰⎰
∞∞
-∞
∞
--的间断点为的连续点为)(,2)
0()0()(),(])([21x f x x f x f x f x x f d e dt e
x f x
i x
i ωπ
ωω 例题. 求如图所示函数⎩⎨
⎧>≤=ττ
x x x f ,
0,
1)(的傅里叶变换
解：)(x f 的傅里叶变换为：ω
ωτ
ωτ
τ
ωωsin 2
)()(===⎰⎰
--∞
∞
--dx e dx e x f f x i x i
由傅里叶积分收敛定理可得：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎰⎰
∞∞-∞
∞
-τ
ττωωωτπωωπ
ωωx x x d e d e f x i x
i ,0,2
1,1sin 221)(21
在上式中令0=x 可得：
ππωτωτ
ωτ
π
ωω
ωτ
π
ωτ=⇒==
=
⎰⎰⎰
⎰
∞∞-∞
∞-=∞
∞
-∞
∞
-dt t t dt t t
d d t sin 1sin 1
)(sin 1
sin 2
21
)
(
δ函数：如果一个函数在),(∞-∞∈x 上满足下列条件：
(1) ⎩⎨⎧=∞≠=-00
0,,0)(x x x x x x δ
(2)
⎩⎨
⎧<<><=-⎰
)1)
,(,0)(0000b x a x x b a dx x x b
a
（，
，或都都δ
这样的函数)(0x x -δ称为δ函数。

δ函数的性质
1． δ函数是偶函数，则它的导数为奇函数，即：)()(x x δδ=-，)()(x x δδ'-=-'
2． 由δ函数的定义可证明如下积分：⎩⎨⎧><==⎰∞
-0
,10
,0)()(x x dt t x h x δ
函数)(x h 称为单位阶跃函数。

从上式可得出)(x δ为单位阶跃函数)(x h 的导数，即：
dx
x dh x )
()(=
δ 3．设)(x f 在),(∞-∞上连续，则有：)()()()(000x x x f x x x f -=-δδ
δ函数的广义傅里叶变换：0)(0x i e x x ωδ-↔- 00
)()()]([)(0x i x x x
i x i x
i e e dx e x x dx e
x f x f F f ωωωωδω-=-∞
∞--∞
∞--==-===⎰⎰
)(2121
)(21
)]([)(0)(1
00
x x d e d e
e
d e
f f F x f x x i x
i x i x
i -==
⇒
=
=⎰
⎰
⎰
∞
∞
--∞
∞
--∞
∞
--δωπ
ωπ
ωωπ
ωωωωω
傅里叶变换的性质
(1). 线性性质：设)]([)(11x f F f =ω，)]([)(22x f F f =ω，α和β均为常数，则有：
)()()]([)]([)]()([212121ωβωαβαβαf f x f F x f F x f x f F +=+=+ )()()]([)]([)]()([212111211x f x f f F f F f f F βαωβωαωβωα+=+=+---
(2). 延迟性质：若)()(x f f ↔ω，即)]([)(x f F f =ω，)]([)(1ωf F x f -=则有：
)()]([00ωωf e x x f F x i -=-
证明： dx e x x f x x f F x i ω-∞
∞-⎰-=-)()]([00
令t x x =-0，做积分变量替换可得：
)()()()]([00
00ωωωωωf e dt e t f e
dx e
x x f x x f F x i t i x i x
i --∞
∞
---∞
∞
-==-=-⎰
⎰
注：延迟性质表明当一个函数或信号沿时间轴移动0x 后，它的各个频率成份的大小不发生改变，但相位发生变化，相位附加变化0x i e ω-。

(3). 位移性质：若)()(x f ↔ω，则有：)()]([00ωωω-=x f e F x i 证明：)()()()]([0)(000ωωωωωωω-===⎰⎰∞
∞
---∞
∞
--f dx x f e dx e
x f e
x f e
F x i x
i x
i x
i
从上式可得：)]([)()]([10100ωωωωωF e x f e F x i x i --==-
(4).相似性质(坐标缩放性质)： 若)]([)(x f F =ω，则对0≠∀a 有：)(1)]([a
F a ax f F ω=
(5). 傅里叶变换的微分性质：若∞→x ，0)(→x f ，且)]([)(x f F f =ω，则有：
)]([)]([x f F i x f F ω='
证明：)]([)()()()]([x f F i dx e x f i e x f dx e x f x f F x i x
i x i ωωωωω=+='='⎰⎰∞
∞
--∞
∞
--∞
∞
--
进一步可以证明：若满足)1,,2,1,0(0)(lim )(-==∞
→n k x f k x ，则有：
)]([)()]([)(x f F i x f F n n ω=
若)(x f 和)(x f x n 可积，则有： )]([)()()(x f x F i f n n n -=ω 说明：已知⎰∞
∞--==dx e x f x f F x i ωω)()]([)(
上式两边同时对ω求n 次导，等式右边求导在积分号内进行，则可得：
)]([)()()
()]([)()
(x f x F i dx e x f x i x f F f
n n x i n n
n -=-==⎰
∞
∞
--ωω
(6). 傅里叶变换的积分性质：
设⎰∞
-=x
dt t f x g )()(，且有0)(lim =∞
→x g x ，)]([)(x f F =ω，则有：)]([1
)]([x f F i x g F ω
=
(7).卷积定理
卷积定义： 设)(x f ，)(x g 在),(∞-∞有定义，若广义积分⎰∞
∞
--τττd x g f )()(对任何实数x 都
收敛，则称其为函数)(x f 和)(x g 的卷积，记作
⎰∞
∞
--=*τττd x g f x g x f )()()()(
卷积定理： 设有)]([)(x f F f =ω，)]([)(x g F g =ω，则可得： )()()]([)]([)]()([ωωg f x g F x f F x g x f F ⋅=⋅=*
拉普拉斯(Laplace)变换:
设实函数)(x f 是定义在),0[∞的实值函数，如果对于复数ωβi s +=，积分⎰∞
-0)(dx e x f sx 在
复数平面s 的某个区域内收敛，则称)(s f 为函数)(x f 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记作： ⎰∞
-==0)()]([)(dx e x f x f L s f sx
相应的称)(x f 为)(s f 拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换，记作：
⎰∞+∞
--=
=i i sx
ds e s f i s f L x f ββπ)(21)]([)(1
拉氏变换对： )()(s f x f ↔
拉氏变换的存在定理：若实值函数)(x f 满足下列条件： (1) 当0≥x 时， )(x f 在任一有限区间上分段连续；
(2) 当∞→x 时，)(x f 的增长速度不超过某一指数函数，即)(x f 是指数阶函数，满足
px Me x f ≤)(（0,0≥>p M ）
则拉氏变换)]([)(x f L s f =在半平面p s >)Re(上存在且解析。

拉普拉斯变换的性质
1. 线性性质：设)]([)(11x f L s f =，)]([)(22x f L s f =，其中α，β为常数，则有：
)]([)]([)]()([2121x f L x f L x f x f L βαβα+=+
)]([)]([)]()([2111211s L s L s s L ---+=+βαβα
例题. 求函数kx sin 的拉氏变换][sin kx L ，其中k 为实常数 解：)(21sin ikx ikx
e e i
kx --=
，所以：
0)Re(]11[21][21
][21)](21[
][sin 22>+=+--=-=-=--s k s k ik s ik s i e L i
e L i e e i L kx L ikx ikx ikx ikx
2. 微分性质
（1）导数的像函数：若)]([)(x f L s f =，则有：)0()()0()]([)]([f s f s f x f sL x f L -=-=' 一般的有：)0()0()0()()]([)1(21)(-----'--=n n n n n f f s f s s f s x f L 常用的二阶导数的拉氏变换为：)0()0()()]([2)2(f sf s f s x f L '--=
（2） 像函数的导数：若)]([)(x f L s f =，则有：n
n n
n
ds s f d x f x L )
()1()]([-=
例题：求拉氏变换]sin [kx x L ，其中k 为实常数 解：已求出0)Re(][sin )]([)(2
2>+=
==s k s k kx L x f L s f ，则有：
2
2222)
(2][)(]sin [k s sk
k s k ds d s f ds d kx x L +=+-=-
= 3. 积分性质
(1). 积分的像函数：若)]([)(x f L s =，则有：)(1
])([0s f s
dt t f L x
=
⎰ 由数学归纳法可证明一般的有：)(1
])([0
s f s dx x f dx dx L n
x x x
=
⎰⎰⎰ (2). 像函数的积分：若)]([)(x f L s f =，则有：])
([
)(x
x f L ds s f s
=⎰∞
例题. 计算积分dx x e x ⎰∞
-0
3sin
解：由0)Re(][sin 2
2>+=
s k k s k kx L 为实常数且可知2
11
sin s
dx xe sx +=
⎰∞
- 上式中令3=s ，可得：10
111sin 3
2
3=
+=
=∞-⎰s x s dx xe 4. 延迟定理：当0<x 时取0)(=x f ，且有)]([)(x f L s f =，则可得：
)()]()([000s f e x x h x x f L s x -=--
其中)(0x x h -为单位阶跃函数。

由延迟定理可得拉氏逆变换：)()()]([0010x x h x x f s f e L s x --=--
5. 位移定理：若)]([)(x f L s f =，则有：)()]([a s f x f e L ax -= 证明：)()()()]([0
)(0
a s f dx e x f dx e x f e x f e L x a s sx ax ax -===⎰⎰∞
--∞
-
由位移定理可得：)()]([1x f e a s f L ax =--
例题. 计算拉氏逆变换]1
[1
---s e L s
解：已知s
x h 1)(↔
，由位移定理可得：)(]11
[1x h e s L x =-- 由延迟定理可得：)1(]1
[11
-=----x h e s e L x s
6. 卷积与卷积定理
(1) 设当0<x 时有0)()(==x g x f ，定义卷积：⎰-=*x
d g x f x g x f 0)()()()(τττ
(2). 卷积定理：若)]([)(x f L s f =，)]([)(x g L s g =，则有：)()()]()([s g s f x g x f L ⋅=* 证明：⎰⎰⎰∞
-∞
--=*=*0
])()([)()()]()([dx e d g x f dx e x g x f x g x f L sx x
sx τττ
积分区域如图所示，把上式的二重积分交换积分顺序可得：
⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞--=-=*0
])()[(])()([)]()([τττττττ
d dx
e x
f
g dx e d g x f x g x f L sx sx
x
在上式中变量替换t x =-τ，则有：
)()()()(])()[(])()[(0
)(0
s g s dt e t f d e g d dt e t f g d dx e
x f g st s t s sx
⋅===-⎰⎰⎰⎰⎰
⎰∞
--∞
∞∞
+-∞
∞
-τττ
τττττττ
证毕。

由卷积定理可得拉氏逆变换：)()()]([)]([)]()([111x g x f s g L s f L s g s f L *=*=⋅---
例题. 求如下微分方程的解
⎪⎩⎪⎨⎧'='=>=+''==)0(,)0(0)
(00
2
y y y y a x f y a y x x
解：在方程两边求拉氏变换可得：
)()()0()0()()]([][][222s f s y a y sy s y s x f L y L a y L =+'--⇒=+'' 由上式可解出：2
22222)
()0(1)0()(a s s f y a s y a s s s y ++'+++=
在上式两边求拉氏逆变换可得：
])([)0(]1[)0(][
)]([)(2
21
2212211a s s f L y a s L y a s s L s y L x y ++'+++==----
已知：ax a s s L cos ][
221=+-；
ax a a s L sin 1]1[2
21=+- ⎰-=*=+*=+---x d x a f a ax a x f a s L s f L a s s L 0221
1221)](sin[)(1sin 1)(]1[)]([])([
τττ所
以
：
ax a
y ax y d x a f a x y x sin 1
)0(cos )0()](sin[)(1)(0'++-=
⎰τττ
下表列出了一些常用的拉普拉斯变换对
数理方程
分离变量法解题的一般步骤
(1) 代入试探解)()(),(t T x X t x u =，将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化 为常微分
方程的定解问题。

(2) 依据齐次边界条件，确定本征值n λλ=和本征函数)(x X n 。

(3) 求解关于)(t T 的常微分方程的通解)(t T n ，把得到的通解与本征函数相乘得到本征解
)()(),(t T x X t x u n n n =，这时本征解),(t x u n 中还包含着任意常数。

(4) 利用叠加原理，求出定解问题的解∑∞
==1),(),(n n t x u t x u 。

(5) 应用本征函数的正交性以及初始条件确定任意常数。

例题：求细杆的导热问题，杆长为l ，两端保持为摄氏零度，初始温度分布为：
2
)
(l x l x u
t -=
=。

解：本题的定解问题为：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧<<-=>==><<∂∂=∂∂===)0(,)
(),()0(,0),(,0),()0,0(,2
002
2
2l x l x l x t x u t t x u t x u t l x x u a t u t l x x 应用分离变量法，设)()(),(t T x X t x u =，代入到泛定方程和边界条件可得：
① ⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0
)()(l X X x X x X λ
② 0)()(2=+'t T a t T λ
① 式的本征值),2,1,0(,)(
2 ===n l
n n πλλ，本征解为x l n A x X n n πsin )(=
② 式的解为：2
)()(l
a n n n e
B t T π-=
则本题的本征解为x l
n e C t T x X t x u t l
a n n n n n ππsin
)()(),(2
)(-== 其中待定常数n n n B A C =。

本题的解),(t x u 表示为本征解),(t x u n 的线性叠加：
∑∑∞
=-∞===1
)(
1
sin
),(),(2
n t l
n n n n x l
n e
C t x u t x u ππ 代入初始条件可得： ∑∞==-=1
2
s i n )()0,(n n x l n C l x l x x u π
展开系数为：),2,1,0()12(80sin )(233122202 =⎪⎩⎪⎨⎧
+==⇒-=++⎰k k C C xdx l n l x l x l C k k l n ππ
所以问题的解为：∑∞
=+-
++=0
)12(3
3
2
2
22)12(sin )12(8),(k t
l a k xe l k k t x u ππ
π
二阶线性常微分方程的标准形式为：
0)()()
()()(2
2=++x y x q dx x dy x p dx
x y d 在某个区间],[b a 内为实函数，而对方程级数解法的讨论需要在复数z 平面上进行。

不失一般性，我们讨论复变函数)(z w 的二阶线性常微分方程
0)()()
()()(2
2=++z w z q dz z dw z p dz z w d (1)
在满足初始条件00)(C z w =，10)(C z w ='下的级数解，其中0C ，1C 为任意给定的复常数。

方程的常点：如果方程(1)的系数函数)(z p 和)(z q 在选定的0z 点的邻域内都是解析的，则称点0z 为方程(1)的常点。

● 方程常点邻域内的级数解：
定理：如果)(z p 和)(z q 在圆R z z <-0内是单值解析的，则方程(1)在这圆内存在唯一的解析解)(z w 满足初始条件00)(C z w =，10)(C z w ='，其中0C ，1C 为任意给定的复常数。

既然方程(1)在常点0z 的邻域R z z <-0内存在唯一的解析解)(z w ，则)(z w 可表示为此邻域上的泰勒级数：)(,)()(000R z z z z a z w n n n <--=∑∞
=
其中系数 ,,,210a a a 待定。

例如：勒让德方程01)1(122
222=-++--y x
n n dx dy x x dx y d 其中212)(x x x p --
=，2
1)1()(x n n x p -+=，则0=x 为其常点，根据常点邻域内级数解的定理，
勒让德方程在0=x 的邻域内具有泰勒级数形式的解∑∞
==0
)(k k k x a x y 。

● 方程正则奇点邻域内的级数解：
在二阶线性常微分方程(1)中常见的奇点为正则奇点。

正则奇点：如果)()(0z p z z -和)()(20z q z z -在圆R z z <-0内解析，则称0z 为二阶线性常微分方程(1)的正则奇点。

如果0z 为正则奇点，则)(z p ，)(z q 可表示为如下的罗朗级数
n
n n
z z p
z p )()(01
-=
∑∞
-=， n n n
z z q
z q )()(02
-=
∑∞
-=
定理：如果0z 为二阶线性常微分方程(1)的正则奇点，则两个线性无关的解可表示为：
① n n n
z z a
z z z w )()
()(00011
∑∞
=--=ρ
和 ② n n n
z
z b z z z w )()
()(0
022
∑∞=--=ρ
或 ③ n n n z
z b z z z z z gw z w )()
()ln()()(0
00122
∑∞
=--+-=ρ
其中①和②适用于整数≠-21ρρ的情况，①和③适用于整数=-21ρρ的情况，而1ρ和2ρ为指标方程0)1(21=++---q p ρρρ的两个根，2ρ为较小的那一个。

例如：贝塞尔方程：0)()(1)(2
2
2=-+'+''x y x
n x x y x x y ，容易判断0=x 为方程的正则奇点，根据正则奇点邻域内的级数解定理，可把∑∞
=+=0
)(k k k x a x y ρ形式的级数解代入贝塞尔方程，
令ρ+k x 的系数相等，可确定系数的递推关系式，进而确定方程的解。

勒让德多项式的微分表示（罗德里格斯公式）：
n
n
n n n x dx
d n x P )1(!21)(2-= 勒让德多项式为勒让德方程0)1(2)1(222
=Θ++Θ
-Θ-n n dx d x dx
d x 满足自然边界条件，即 在两端点1±=x 处为有限值的本征解。

勒让德多项式的正交性：作为SL 本征值问题的正交关系的例子，勒让德多项式在区间[]1,1-上满足如下正交关系：
n m dx x P x P m n ≠=⎰
-,0)()(1
1
，
1
22
)()(2
1
1
+=
=⎰
-n N dx x P x P n n n 把x 变回到变量θcos =x ，则可得正交关系：
n m d P P m n ≠=⎰
,0sin )(cos )(cos 0
θθθθπ
，1
22
sin )(cos )(cos 20
+==⎰n N d P P n
n n θθθθπ
傅里叶—勒让德级数
定理：，若任意函数)(x f 在区间]1,1[-内分段光滑，则)(x f 可展开为傅里叶—勒让德级数： ∑∞
==0)()(n n n x P a x f
其中展开系数： ⎰-+=
1
1
)()(212dx x P x f n a n n 当x 为)(x f 的连续点时，则级数收敛于)(x f ；当x 为)(x f 的间断点时，则级数收敛于
)]0()0([2
1
-++x f x f 。

例题：求解球外静电势的拉普拉斯方程的定解问题
⎪⎩
⎪⎨
⎧≤≤+=≤≤>=∂∂∂∂+∂∂∂∂⇒=∇=)0(,cos 22)0,(,0)(sin sin 1)(102222
2
πθθπθθθθθa r u a r u r r u r r r u 参考答案：
解：应用分离变量法，设)()(),(θθΘ=r R r u ，代入泛定方程可得：
① 0)1(22
22
=+-+R n n dr dR
r dr
R d r ②
0)1()(sin sin 1=Θ++Θn n d d d d θ
θθθ
其中①式为欧拉型方程，其通解为：)1()(+-+=n n n n r B r A r R ；②式为n 阶勒让德方程，其满足自然边界条件∞<Θ=Θ)1()0(cos ，∞<-Θ=Θ)1()(cos π的本征解为勒让德多项式
)(cos )(θθn P =Θ。

本例题的本征解可表示为：)(cos ][),()1(θθn n n n n n P r B r A r u +-+= 选取无穷远处为零电势点，即0),(lim =∞
→θr u n r ，所以应当取0=n A
本例题的解),(θr u 可表示为本征解),(θr u n 的线性叠加：
∑∑∞
=+∞===01
)(cos 1),(),(n n n n
n n P r
B r u r u θθθ 代入边界条件可得： ∑∞
=+==+=0
1
2
)(c o s 1c o s 22),(n n n n
a r P a
B r u θθθ
应用比较系数法可得：
3
20232023200
234
,38)1cos 3(2
1
11)(cos 1)(cos 1 2cos 2a B a B a B a B P a B P a B ==⇒-+=+=+θθθθ
本例题的解为：)1cos 3(2
1
134138),(233-+=
θθr a r a r u 贝塞尔函数
在圆柱坐标系中分离变量已经得到)(整数=n 阶贝塞尔方程，下面讨论一般的v 实数）
(=阶贝塞尔方程的级数解 0)()(1)(0)()()()(2
222
2
2
=-+'+''⇒=-+'+''x y x
v x x y x x y x y v x x y x x y x ● 当或正整数02≠v
贝塞尔方程的两个线性无关的级数解为（第一类贝塞尔函数）
∑∑∞
=+∞
=+++Γ-==02022)2
()1(!)1()(k k v k k v
k k v x
k v k x
a x J ∑∑∞
=+-∞
=+--++-Γ-==020
22)2
()1(!)1()(k k v k k k
v k v x
k v k x
a x J 定义第二类贝赛尔函数：π
πv x J v x J x N v v v sin )
(cos )()(--=
● 当),2,1,0(,2
1
)(122 =+=⇒+=n n v n v 奇数(v 为半奇数)时
∑∑∞
=++∞
=+
++
+++Γ-====0
221
2
1222
11)2()
12
1(!)1()()()(k k
n k k n k k n v x k n k x
a x J
x J x y
∑∞
=+--+--++--Γ-===0221
)21(2)2()
12
1(!)1()()()(k k
n k n v x k n k x J x J x y 同理可知：0→x 时，0)(2
1→+
x J
n ；而∞→+-)()
2
1(x J
n ，它们线性无关。

则),2,1,0(,21
=+=n n v 阶贝塞尔方程的通解为： )()()()2
1(21x BJ x AJ x y n n +-++=
也表示为： )()()(2
12
1
x BN
x AJ
x y n n +
+
+=
其中),2,1,0(,21
=+=n n v 阶诺伊曼函数：2
1
2
1sin )(cos )()(+
=-+-=n v v v
n v x J v x J x N ππ
)()1()2
1sin()()21
cos()()()21(1)2
1(2121x J n x J n x J
x N n n n n n +-++-++-=+-+=π
π ● 当),2,1,0(,)(22 ==⇒=n n v n v 偶数(v 为整数)时 则可得贝塞尔方程的一个特解：
∑∑∞
=+∞
=++-=++Γ-===02021)2
()!(!)1()2()1(!)1()()()(k k n k k k n k n v x
k n k x k n k x J x J x y
取v 阶诺伊曼函数π
πv x J v x J x N v v v sin )
(cos )()(--=
当n v 整数→的极限，此时表达式为不定式
0，可用罗必达法则求极限，可得： π
πv x J v x J x N x N v v n
v v n
v n sin )
(cos )(lim
)(lim )(-→→-==
)(整数=n 阶贝塞尔方程的通解为： )()()(x BN x AJ x y n n +=
无论v 是否为整数，v 阶贝塞尔方程的通解均可表示为：)()()(x BN x AJ x y v v += 例题：试把方程)()25
9
4()()(22x y x x y x x y x -
+'+''的解用第一类贝塞尔函数表示出来 解：令t x =2，则)()2
()(t g t
y x y ==，可得：
)(2)
()(t g dx dt t g x y '='='， )(4)(2)(t g dx
dt t g x y ''=''='' 所以原方程可化为：0)(])53
([)()(222=-+'+''t g t t g t t g t
上式为5
3
阶贝塞尔方程，其第一类贝塞尔函数解为：
)()(5
31t J t g =，)()(5
32t J t g -=
所以原方程的第一类贝塞尔函数解为：
∑∞
=+++Γ-==0253
531)22()15
3(!)1()2()(k k
k x k k x J x y
∑∞
=+--++-Γ-==0253
532)
22()
15
3(!)1()2()(k k
k x k k x J x y。