2.3几种重要的离散型分布

C
n N
.
规范性： k
pk
k
C C k nk M NM
C
n N
k
C C k nk M NM
C
n N
C
n N
C
n N
1.
例2.13 N件产品，含M件是次品，随机地从这Ｎ
件产品中抽取n件产品，求恰有k 件次品的概率。
15
注：我们用符号(n︱c )表示：随机抽取了n件
产品，其中的次品数≤c的方案。
9
例2.10 某城市每天发生火灾的次数 X ~ P 1 ,
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率．
2
解 P X 3 1 P X 3 1 P X k k0
对立事件公式 1 2 1k e1 1 0.920 0.08.
k0 k !
查泊松分布 表（附表1）
10
泊松分布有一个非常实用的特性——二项分
10 1k e1
k3 k !
0.0803.
二项分布的泊松 近似
查泊松分布 表（附表1）
它与例2.9的结果相比较，近似效果是良好的．
如果p较大，那么二项分布不宜转化泊松 分布，该如何办的问题将在§5.3中回答．
13
例2.12 某出租汽车公司共有出租汽车500辆， 设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.01，试求 一天内出现故障的出租汽车不超过10辆的概率．
布的泊松近似．具体地讲，设 X ~ Bn, p , Y ~ P , 其中 n 较大，p 很小，而 np,
如果要计算
PX
k
C
k n
pk
1
p nk ,
那么可近似计算 P Y k k e . 即
k!
Cnk pk
1 p
nk
n很大, p很小
k
e
.
np k !
11
这个结论可叙述为：
☎ 在 n 较大， p 很小的条件下，参数为 n,
例2.14 设有一批产品，批量为1000件，假 定该批产品的次品率为1℅．若采用抽样方案 （150︱2），求接受这批产品为合格的概率．
解 此例中， N 1000 , M 1000 0.01 10, n 150, 接受产品为合格的概率是
P X 2 P X 0 P X 1 P X 2
X ~ B3, 0.4 . 于是，所求概率为 P X 1 1 P X 0
1 C30 0.40 0.63 0.784 .
5
例2.8 设随机变量X服从参数为 n, p 的二
项分布，已知 P X 1 19 , 求 P X 2.
27
解 19 P X 1 1 P X 0 1 1 p3
16
0 150
C C C C C C 10 990 150
C C C 1000
1 149 10 990
150 1000
2 148 10 990
150 1000
0.1953 0.3483 0.2774 0.821,
即当采用（150︱2）方案时，在每100批这样产品
中，约有82批被判定是合格的.
n
n
pk Cnk pkqnk p q n 1.
k0
k0
此即二项分布的命名依据.
特例：B1, p 3
例2.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗，在各交通岗遇到红灯是相互独立的， 其概率均为0.4，求途中遇到红灯的概率.
交通岗1
交通岗２
交通岗３
4
解 考察在每个交通岗是否遇到红灯相当于 作一次试验，每次试验有两个可能结果：遇到红 灯或没有遇到红灯，即成功或失败．用Ｘ表示途 中遇到红灯的次数，则Ｘ就是在每次成功概率为 0.4的3重伯努利试验中恰好成功的次数，从而
整理得 P X 1 P X 2 2P X 3 1 ,
将(2.6)式代入，解得 p 1 . 2
20
几何分布的无记忆性：设 X ~ G p , 则对
任意的正整数 m 与 n 有
P X m n X m P X n .
概率意义：伯努利试验序列中，在前 m 次试验 都没有成功的条件下，再做 n 次试验都还没有成 功的概率与直接做 n 次试验没有成功的概率相等． 似乎忘记了前 m 次试验结果，这就是无记忆性．
几何分布为什么有无记忆性呢？
21
证明很简单：因为
P
X
n
1
k n1
p k1
p
1 pn p 1 1 p
1
pn
,
所以由条件概率的定义， X m nX n
的习惯写法
P
X
m
n
X
m
P X m n, X PX m
n
P X m n PX m
1 p mn 1 pm
1
pn
PX
n
.
22
p 的二项分布的概率计算问题可以转化成参数
为 np 的泊松分布的概率计算问题．
例2.11 在例2.9中，根据二项分布我们已 经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅， 现在我们利用二项分布的泊松近似重新计算认 为新药有效的概率．
12
10
解 P X 3 C1k0 0.1k 0.910k k3
X ~ B 1, p P x k pkq1k p q 1,k 0,1 .
0,
x 0,
分布函数：F x 1 p, 0 x 1 .
1,
x 1.
2
三、二项分布（伯努利分布）Bn, p
X ~ Bn, p P X k Cnk pkqnk
其中，k 0,1 , n， 正参数 p q 1.
下面我们把二项分布与超几何分布作一比较．
N件
M件次品 N-M件正品
17
◆ 如果每抽一件产品放回后，再抽下一件
产品，如此有放回地随机地抽取n件，这是n重
伯努利试验，那么所抽的n件产品的次品数 X ~
Bn, p ,
其中 p M N
表示次品率.
◆ 如果产品数量足够多，不放回与放回抽
样对下一次抽到次品还是正品影响甚微．于 是，当Ｎ很大，而 n 较小时，超几何分布可用
一、单点分布
视常数C为随机变量，则该随机变量只有一 个取值,它应当服从单点分布．
PX C1,
分布函数为
F
x
0, 1,
x x
C, C.
1
二、两点分布 B 1, p
如果一个随机变量Ｘ只有两个可能取值，则
称Ｘ服从两点分布．
为方便起见，Ｘ常取值0，与1，故又称X服从 参数为0-1的分布.用下面数学语言表达：
27
得 p 1, 3
故
X
~
B
3,
1 3
,
于是
P
X
2
C32
1 2 3
2 3
2. 9
6
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人
中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率．
N 二项分布去近似．即
C C k nk M NM
C
n N
Cnk pk
1 p nk .
18
*六、几何分布 G p
在一个每次成功概率为p的伯努利试验序列中，
用X表示首次成功时的试验次数，则有：
X ~ G p P X k 1 p k1 p , k 1, 2, ,
规范性：
k 1
pk
解 设X是每天内出现故障的出租汽车数，则
X ~ B500,0.01，
10
P X 10 P X k
k0
10
C
k 500
0.01k
k0
0.99500k
10 k0
5k e5 k!
0.986.
14
*五、超几何分布 H n, M, N
X
~
H
n, M, N
PX
k
C C k nk M NM
1
k 1
p k1
p
p
1 1
p
1.
“几何分布”的命名依据：pk 1 p k1 p.
ห้องสมุดไป่ตู้
19
例2.15 某人独立重复地做一个试验，已知
前两次都失败的概率是前三次都失败的概率的2
倍，求每次试验成功的概率．
解 设每次试验成功的概率为 p, Ｘ表示首次
成功时的试验次数，则 X ~ G p .
从而
P X 2 2P X 3 ,
解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表
示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B10, 0.1.
于是，所求概率为
2
P X 3 1 C1k0 0.1k 0.9 10k 0.0702. k0 7
四、泊松分布 P .
作为二项分布的极限分布——泊松分布是由法 国数学家和物理学家, 1837年发现的．
X ~ P P X k k e , k 0, 1, 2, ,.
k!
其中，参数 0 .
规范性：
k0
pk
k e
k0 k !
e
k0
k
k!
e
e
1.
8
服从或近似服从泊松分布的例子是大量存在： ◎服务系统在单位时间内来到的顾客数； ◎击中飞机的炮弹数； ◎大量螺钉中不合格品出现的次数； ◎数字通讯中传输数字中发生的误码个数； ◎母鸡在一生中产蛋的只数．