专题03 动点引起的相似三角形存在性问题(解析版)

专题04 动点引起的相似三角形存在性问题
【相似三角形存在性】
以A 、B 、C 为顶点的三角形与已知△DEF 相似，其中，∠ABC =∠DEF 分类讨论：①△ABC ∽△DEF ；②△CBA ∽△DEF 可得到：
AB BC DE EF =；AB BC EF DE
=，
特殊地，当∠ABC =∠DEF =90°时，可借助tan ∠BAC =tan ∠DFE 或tan ∠BCA =tan ∠DFE 解答问题.
【一题多解 · 典例剖析】
例题1. （2021·山东省济宁市中考）如图，直线13
22
y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，过点A 的抛物线
2y x bx c =-++与x 轴的另一交点为C ，与y 轴交于点()0,3D ，抛物线的对称轴l 交AD 于E ，连接OE 交AB
于点F ．
（1）求抛物线解析式； （2）求证：OE AB ⊥；
（3）P 为抛物线上的一动点，直线PO 交AD 于点M ，是否存在这样的点P ，使以A ，O ，M 为顶点的三角形与ACD △相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y =－x 2+2x +3；（2）见解析；（3）存在，点P 113
-±或±3 【解析】解：（1）∵直线13
22
y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B
∴A （3,0），B （0，
3
2
）， 又抛物线经过A （3，0），D （0，3），
∴22
033300b c c ⎧=-++⎨=-++⎩
， 解得：2
3b c =⎧⎨=⎩
即抛物线的解析式为y =－x 2+2x +3；
（2）由y =－x 2+2x +3得，抛物线对称轴为x =1 设直线AD 的解析式为：y =kx +a ， 将A （3，0），D （0，3）代入得：
303k b b +=⎧⎨
=⎩
， 解得1
3k b =-⎧⎨=⎩
即直线AD 的解析式为：y =－x +3， ∴E （1，2），G （1，0），
在Rt △OEG 中，知tan ∠OEG =1
2
OG EG = ， 在Rt △OAB 中，tan ∠BAO =1
2
OB OA =， ∴∠OEG =∠BAO ， ∵∠OEG +∠EOG =90° ∴∠BAO +∠EOG =90° 即OE ⊥AB . （3）存在.
∵A （3，0），抛物线的对称轴为直线x =1，
∴C （－1，0）， ∴AC =3－（－1）=4， ∵OA =OD =3，∠AOD =90°， ∴232AD OA ==，
设直线CD 解析式为y =mx +n ，则：
03m n n -+=⎧⎨
=⎩，解得3
3m n =⎧⎨=⎩
∴直线CD 解析式为y =3x +3， 易知，∠MAO =∠COD ， 分类讨论：
①当△AOM ∽△ACD 时，
方法一：解析式法
欲求P 点坐标，需求直线OP 的解析式，再与抛物线解析式联立即可. 可知，OM ∥CD
即直线OP 的解析式为：y =3x ， 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x 113
-±即P 113
-±方法二：比例法 易知
AM AN AD OA =,AM AO
AD AC
=,
∴=AN AO
OA AC 即
3
=34
AN ∴AN =94，ON =3
4
即M （34，9
4
）
∴直线OM 解析式为：y =3x 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x =
113
2
-±. 方法三：设参数法
设M （m ，－m +3），0<m <3，A （3,0） 易知，AM AO
AD AC =，即
3432AM = 即AM =
92
4
∴（3－m ）2+（－m +3）2=（
924
）2
解析：m =34或m =21
4（舍）
即M （34，9
4
）
∴直线OM 解析式为：y =3x 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x =
113
2
-±. ②当△AMO ∽△ACD 时，
方法一：比例法
易知AM AO
AC AD =, 即432AM = ∴AM 2
由△AMN 为等腰直角三角形，知MN =AN =2， ∴ON =1，即M （1,2） ∴直线OM 的解析式为y =2x ， 联立y =2x ，y =－x 2+2x +3得： x =±3方法二：设参数法 设M （m ，－m +3），0<m <3
由AM 2得：（m －3）2+（－m +3）2=（22 解得：m =1或m =5（舍） ∴直线OM 的解析式为y =2x ， 联立y =2x ，y =－x 2+2x +3得： x =±3综上所述，点P 113
-±±3 【一题多解 · 对标练习】
练习1．（2021·湖南省邵阳市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()2
0y ax bx c a =++≠经过点()
1,1和()4,1．
（1）求抛物线C 的对称轴．
（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．
②设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，
E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）x=2.5；（2）①y=－x2+x+2；②1
1+33
【解析】解：（1）∵抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，
∴抛物线对称轴为：x=（1+4）÷2=2.5；
（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（－1,0），（2,0），将点（－1,0），（2,0），a=－1，
代入抛物线解析式得：
y=－x2+x+2.
②根据①中的函数关系式，可得:
A（2,0），B（－1,0），C（0,2），D（m，－m2+m+2），其中0<m<2
可知∠BOC=∠DEO=90°，
以点O，D，E为顶点的三角形与△OBC相似有两种情况，
（i）当△ODE∽△BCO时，
方法一、比例法
则OE DE
OB OC
=，即
2
-++2
=
12
m m m
，
解得m=1或－2（舍），方法二、三角函数
tan∠BOC=tan∠ODE
即OB OE
OC DE
=，
2
1
=
2-++2
m
m m
解得：m=1或－2（舍），
（ii）当△ODE∽△CBO时，方法一、比例法
则OE DE
OC OB
=，即
2
-++2
=
21
m m m
，
解得：
1+331-33
44
=或（舍）m
方法二、三角函数tan∠BOC=tan∠DOE
即OB DE
OC OE
=，
2
1-++2
=
2
m m
m
解得：
1+331-33
44
=或（舍）m
综上所述，满足条件的m的值为1或1+33
4
．
【多题一解·典例剖析】
例题2．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且2
OA=，4
OB=，8
OC=，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，（1,2）或
17 1,
2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2,0）、B（4,0）、C（0,8），
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∴84201640c a b c a b c =⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩ 解得：812c a b =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
∴二次函数的解析式为y =－x 2+2x +8；
（2）存在以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似， 理由如下：
由（1）知抛物线对称轴为直线：x =1，
设直线BC 的解析式为y =kx +t ，将点B 、C 坐标代入可得：
40
8k b b +=⎧⎨
=⎩
， 解得：28a b =-⎧⎨=⎩
，
∴直线BC 的解析式为y =－2x +8， ∴点M （1,6），N （1,0），
∴BN =3，MN =6，BM =35，CM =5， 由∠BMN =∠CMP 知，分两种情况讨论： ①当∠CPM =∠MNB =90°时，如图所示：
易知CP ∥x 轴，
∴点P 坐标为（1,8）.
②当∠PCM =∠MNB =90°时，如图所示：
∴cos ∠CMP =cos ∠MNB 即
CM MN
PM BM
=， 535
=
∴PM =5
2
，
即点P 坐标为171,2⎛⎫
⎪⎝⎭
.
综上所述，符合要求的P 点坐标为（1,8）或171,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【多题一解 · 对标练习】
练习2．（2021·四川省遂宁市中考）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，－3），对称轴为直线1x =-，直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ．
（1）求抛物线的解析式和m 的值；
（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.
【答案】（1）y =（x +1）2－4；m =2；（2）存在，（0,12）或（0,14.5）.
【解析】解：（1）∵二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，对称轴为直线x =－1， ∴A （1，0），
设二次函数解析式为：y =a (x －1)(x +3)， 把C （0，－3）代入得： －3=a (0－1)(0+3)， 解得：a =1，
即二次函数解析式为：y = (x －1)(x +3)，即：y =（x +1）2－4， ∵直线y ＝－2x ＋m 经过点A ， ∴0=－2×1+m ，解得：m =2；
（2）由（1）得：直线AF 的解析式为：y =－2x +2， 又直线y =－2x +2与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ， ∴当x =0时，y =2，即D （0，2），
联立()2
2214y x y x =-+⎧⎪⎨=+-⎪⎩
，解得：11512x y =-⎧⎨=⎩，2210x y =⎧⎨=⎩， ∵点E 在第二象限， ∴E （－5，12），
以D 、E 、P 为顶点的三角形与△AOD 相似，由∠EDP =∠ADO 知，分两种情况讨论. ①当∠EPD =∠AOD =90°时， 过点E 作EP ⊥y 轴于点P ，
此时P （0，12）；
②当∠PED =∠AOD =90°时，
过点E 作EP ’⊥AE ，
则tan ∠ADO =tan ∠PEP’， ∴OA PP OD EP '=，即：125
PP '=， 解得：PP ’=2.5，
此时P’（0，14.5），
综上所述：点P 的坐标为（0，12）或（0，14.5）.
练习3. （2021·四川省泸州市中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442
y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点
（1）求证：∠ACB =90°
（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；
②点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．
【答案】（1）（2）①9；②（4,6）或（3，25
4）．
【解析】解：（1）在21
3
442y x x =-++中，当x =0，y =4
即C （0,4）
当y =0时，即21
3
4042x x -++=
解得：x =－2或x =8
即A (－2,0)，B （8,0）
∴AB =10，AC 5BC 5则102=（52+（52
即AB 2=AC 2+BC 2
∴∠ACB =90°
（2）①设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，将（0,4），（8,0）代入得： 80
4k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k =－0.5，b =4
即直线BC 解析式为y =－0.5x +4
设D （m ，21
3
442m m -++），
则BF =8－m ，DE =21
24m m -+
∴DE +BF =21
24m m -++8－m =()21
294m --+ ∵1
4-<0
∴当m =2时DE +BF 取最大值，最大值为9.
②∵点G 是AC 的中点，
在Rt △AOC 中，OG =AG 5即△AOG 为等腰三角形，
∵∠CAO +∠ACO =∠ACO +∠OCB =90°
∴∠CAO =∠OCB
又OC ∥DF
∴∠OCB =∠CED
∴∠CAO =∠CED
设D （m ，213442m m -++），则E （m ，－0.5m +4），DE =21
24m m
-+ 当以点C ，D ，E 为顶点的三角形与△AOG 相似， 分两种情况讨论：
①△ECD ∽△AOG 则CE
DE
AO AG =， 即2
1
2425
m m
CE -+=
∴CE 21
425
m m -+
又OC ∥DF ∴CE
OF
BC OB =845m
=
∴CE 5m
21
425m m -+5m
解得：m =0（舍）或m =3
即D （3，25
4）
②△EDC ∽△AOG ，
则CE DE
AG OA
=，
2
1
2
4
2
5
m m
-+
=，
∴CE=
2
1
2
45
2
m m
-+
又OC∥DF，知，CE
5m
∴
2
1
2
45
2
m m
-+5m
解得：m=0（舍）或m=4 即D（4,6）
综上所述，D点坐标为（3，25
4
）或（4,6）．。