2025年高考数学一轮复习-第九章-第七节-抛物线【课件】

程是(
)
1
2
A.x = y或y2=-4x
2
B.y2=-4x或x2=2y
1
2
C.x =- y
2
D.y2=-4x
【解析】选A.当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=-2px(p>0).
因为抛物线过点(-1,2),记为点P,如图,
所以22=-2p·(-1),所以p=2,所以抛物线的方程为y2=-4x;
心率也相同.(
√
)
提示:(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同
的,都为2,离心率也相同.
2.(弄错焦点位置)抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5,则该抛物
线的方程为(
)
A.x2=12y
B.x2=10y
C.x2=8y
D.x2=6y
(1)原点都在抛物线上;
(2)焦点都在坐标轴上;
(3)准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等
1
2
于一次项系数的绝对值的 ,即 = .
4
4 2
常用结论


2
1.焦半径:抛物线y =2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F( ,0)的距离|PF|=x0+ .
标准方程
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
(p>0)
(p>0)
(p>0)
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点坐标
对称轴
O(0,0)
______
x轴
y轴
焦点坐标

F( ,0)
______


F(- ,0)
_______

离心率

F(0, )
______


F(0,- )
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.抛物线的定义
相等
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.
焦点
准线
点F叫做抛物线的______,直线l叫做抛物线的______.
微点拨 若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
_______

e=1
准线方程

x=_____


x=
_____


y=_____


y=
____

范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
微思考 开口向上或向下的抛物线的切线的斜率利用什么知识解决较简单?
提示:利用导数求解较简单.
微点拨 四种不同抛物线方程的共同点
【解析】方法一:依题意可知,抛物线的焦点F(2,0),设N(0,t),由中点坐标公式得

M(1, ),|MF|=2+1=3,所以|FN|=2|MF|=6.
2
方法二:如图,过M,N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1,N1,设抛物线的准线与
x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.
方法二:由题意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2,抛物线通径为4,
所以|AF|=2为通径的一半,所以AF⊥x轴,
所以|AB|= 22 + 22 =2 2.
(2)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为(
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.圆
)
【解析】选A.由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C
则 = ,F(0,1), =1, + = + ,
易知当Q,P,H三点共线时, + 的值最小,
且最小值为1+1=2,所以△PQF的周长最小值为3,
1
1
此时xP=1,yP= ,即P(1, ).
4
4
【加练备选】
1.(2024·杭州模拟)顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2),则它的方
数学运算、逻辑推理、直观想象.
【命题说明】
考向
考法
抛物线的方程与性质是高考常考内容,多以选择题或填空题的形
式出现,直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现,试题
难度中等.
预计2025高考抛物线的标准方程、几何性质仍会出题.一般在选
预测 择题或填空题中出现,直线与抛物线的考查比较灵活,各种题型
都可能涉及.
2

2

|| ||

3
所以 = ,即 = ,解得p=3,所以C的准线方程为x=- .
2
|| || 6
解题技法
应用抛物线几何性质的技巧
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶
点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合的思想.
对点训练
1. (2021·新高考 Ⅱ 卷)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为 2,则
B.x=-1
C.x=-2
D.x=-4
)

2
【解析】选B.抛物线y =2px(p>0)的焦点F( ,0),
2
由y2=16p,可得y=±4 ,不妨令P(8,4 ),
1
则S△OFP= × ×4
2 2
=p =2 2,解得p=2,则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点.抛物线上有M,N两点,若
【解析】选B.方法一:由题意可知F(1,0),准线方程为x=-1,设A( ,y0),
4
02
由抛物线的定义可知|AF|= +1,又|BF|=3-1=2,
4
02
由|AF|=|BF|,可得 +1=2,解得y0=±2,所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),
4
故|AB|= (1−3) 2 + (2−0) 2 =2 2.
线内,过点P作抛物线准线l的垂线段,垂足为点P',过点A作AH⊥l于点H.由抛物线的
定义得|PF|=|PP'|,
所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥|AH|,当且仅当点P是线段AH
与抛物线的交点(即A,P,H三点共线)时取等号.

故|PA|+|PF|的最小值为|AH|=3+ =4.
2
解题技法
1
(0, )
16
D.(0,a)
1 2
【解析】选B.抛物线x= y 可化为y2=4ax,它的焦点坐标是(a,0).
4
4. (2023·全国乙卷)已知点A(1, 5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为
9
4
________.
【解析】由题意可得:( 5) 2 =2p×1,则2p=5,抛物线的方程为y2=5x,准线方程为
因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,
由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,
从而|FN|=2|FM|=6.
考点二 抛物线的几何性质
[例2](1)已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标
原点,若△OFP的面积为2 2,则该抛物线的准线方程为(
1
A.x=2
=
3
,
3
解得t=6p.所以|MN|=4 3p.
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上
一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为
3
x=______________.
2

【解析】由题易得|OF|= ,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF,
是(
)
A.|BF|=3
B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2=12x
【解析】选BC.根据题意,作出满足题意的几何图形如图所示,
由抛物线及圆的定义可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等边三角形,故B正确;
由△ABF的面积为

根据抛物线的定义可知4+ =5,p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.
2
2.(2024·北京模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-1的距离
为3,则|MF|=(
)
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选A.如图所示:
根据题意可得抛物线的准线方程为x=-2,
若M到直线x=-1的距离为MM2=3,
2
2
2.通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
3
2
4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称.(
×
)
提示:(1)抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形;
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(
的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹
是一条抛物线.
(3)(2024·沈阳模拟)已知P为抛物线y2=4x上的任意一点,F为抛物线的焦点,点A坐标
为(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为(
A.4
)
B.3
C.2 2
D. 13
【解析】选A.由拋物线y2=4x知p=2,则F(1,0),准线l方程为x=-1.如图所示,点A在抛物
√
提示:(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心;
)
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(
√
)
提示:(3)所有抛物线的离心率为1,所以抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心
率都相同;
(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离
4 3p
△MON为正三角形,则△MON的边长为________.
【解析】因为△MON为正三角形,
所以|OM|=|ON|=|MN|,由抛物线对称性可知MN⊥x轴,设MN:x=t,则y2=2pt,
解得y1= 2,y2=- 2.所以|MN|=2 2,
1
2
所以tan 30°=
||

=
2

p=(
A.1
)
C.2 2
B.2
【解析】选B.抛物线的焦点坐标为
其到直线x-y+1=0的距离d=
解得p=2(p=-6舍去).

2
−0+1
1+1

,0
2
= 2,
D.4
,
2.(多选题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|
为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,且△ABF的面积为9 3,则下列选项正确的
【解析】选A.因为抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5,

则根据抛物线的定义可得2+ =5,解得p=6,
2
所以抛物线的方程为x2=12y.
1 2
3.(人A选择性必修第一册P138习题3.3T1变条件)抛物线x= y 的焦点坐标
4
为(
)
A.
1
( ,0)
16
B.(a,0)
C.
(2)因为未知数只有p,所以只需利用待定系数法确定p的值.
对点训练
1.(2024·青岛模拟)设抛物线C:x2=2py的焦点为F,M(x,4)在C上,|MF|=5,则C的方程
为(
)
A.x2=4y
B.x2=-4y
C.x2=-2y
D.x2=2y
【解析】选A.抛物线x2=2py的开口向上,由于M(x,4)在C上,且|MF|=5,
第九章
直线与圆、圆锥曲线
第七节
抛物线必 备 知 识 · 逐 点 夯 实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的几何性质.(范围、对称性、
顶点、离心率)
2.通过抛物线与方程的学习,进一步体会数形结合思想.
3.了解抛物线几何性质的简单应用.
【核心素养】
5
5 9
x=- ,点A到C的准线的距离为1-(- )= .
4
4 4
核心考点·分类突破
考点一 抛物线的定义及标准方程
[例1](1)(一题多法)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),
若|AF|=|BF|,则|AB|=(
)
A.2
B.2 2
C.3
D.3 2
02
1.利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为
抛物线.
(2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题
中利用两者之间的关系相互转化.
2.求抛物线的标准方程的方法
(1)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
则M到抛物线的准线x=-2的距离为MM1=4,
利用抛物线定义可知MF=MM1=4.
1 2
3. (2023·岳阳模拟)已知抛物线y= x 的焦点为F,P为抛物线上一动点,点Q(1,1),
4

(1, )
当△PQF的周长最小时,点P的坐标为________.

【解析】如图,设l:y=-1是抛物线的准线,过P作PH⊥l于H,作QN⊥l于N,
当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=2py(p>0).
因为抛物线过点(-1,2),
1
1
2
2
所以(-1) =2p·2,所以p= ,所以抛物线的方程为x = y.
4
2
2.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的
6
中点,则|FN|=________.