【K12教育学习资料】辽宁省名校2011年领航高考数学预测试卷(5)

辽宁省名校2011年领航高考数学预测试卷（5）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1.已知复数21i
z i =
+，则z 的共轭复数是
A.i -1
B.i +1
C.i
D.i -
2. 正项等比数列{}n a 中，若2298log ()4a a =，则4060a a 等于
A. -16
B. 10
C. 16
D. 256
3. 已知随机变量2(0,)N ξσ，若(20)0.2P ξ-≤≤=，则(2)P ξ≥等于
A. 0.1
B. 0.2
C. 0.3
Ｄ. 0.4
4. 若62
60126(1)mx a a x a x a x +=++++ ，且12663a a a ++
+=, 则实数m 的值为
Ａ. 1或3 Ｂ. -3
C. 1
Ｄ. 1或 -3
5．设,a b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“a b a b +=+”的
A ． 充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ． 充要条件
D ． 既不充分又不必要条件
6. 实数x 、
y 满足
1,
0,0,x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪-≥⎩
则z =x y 1
-的取值范围是
A. [－1,0] B . (－∞,0] C. [－1,+∞) D. [－1,1)
7. 过抛物线
x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
8．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是 （ ）
A ．2
()f x x =
B ．
1()f x x =
C ．()x f x e =
D ．()sin f x x =
9. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的概
率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分）
，其中a 、b (0,1)∈，已知他投篮一
正视图 侧视图
俯视图
次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为
A ．16
B ．112
C ．124
D ．132
10. 设函数
2
44,1,
()43,1,x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩ 则函数4()()log g x f x x =-的零点个数为
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
11．已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，(1)1,f -=则
(1)
(2)(3)(20f f f f
++++的值为
（ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
12. 如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.设数列{}n a 是首项为2，
公方差为2的等方差数列，若将
12310a a a a ，，，
，这种顺序的排列作为某种密码，则这
种密码的个数为
A. 18个
B. 256个
C. 512个
D. 1024个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13. 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费y （万元）
，有如下的统计资料
若由资料可知
y 和x 呈相关关系，由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的b =1.23，
据此估计，使用年限为10年时的维修费用是 万元.
（参考公式：
2
1
2
11
2
1
)
()
)((x
n x y
x n y
x x x y y x x
b n
i i n
i i
i n
i i n
i i i
--=
---=
∑∑∑∑====，x b y a -=）
14. 一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、 俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的 外接球的表面积是 .
15. 设函数()2
f x ax b =+(0a ≠)，若2
00
()2()f x dx f x =⎰，
00x >，则0x = .
16. 已知集合{
}22()()()()(),,M f x f x f y f x y f x y x y R
=-=+⋅-∈,
有下列命题
①若
11,0,()1,0,x f x x ≥⎧=⎨
-<⎩ 则1()f x M ∈；②若2()2,f x x =则2()f x M ∈； ③若
3(),f x M ∈则3()y f x =的图象关于原点对称；
④若4(),f x M ∈则对于任意不等的实数12,x x ，总有414212()()
f x f x x x -<-成立.
其中所有正确命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知向量
()1cos ,1,(1,3sin )
a x
b a x ωω=+=+（ω为常数且0ω>），
函数x f ⋅=)(在R 上的最大值为2．
（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）把函数()y f x =的图象向右平移6π
ω个单位，可得函数()y g x =的图象，若
()y g x =在[0,]
4π
上为增函数，求ω的最大值．
18．（本小题满分12分）
如图一，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，60,90,A C ∠=︒∠=︒2CD =．
把ABD ∆沿BD 折起（如图二），使二面角C BD A --的余弦值等于33．对于图二，完
成以下各小题： （Ⅰ）求C A ,
两点间的距离；
（Ⅱ）证明：⊥AC 平面BCD ；
（Ⅲ）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
某种食品是经过A 、B 、C 三道工序加工而成的，A 、B 、C 工序的产品合格率分别为34、23、4
5．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；
有两道合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（Ⅰ）正式生产前先试生产2袋食品，求这２袋食品都为废品的概率； （Ⅱ）设ξ为加工工序中产品合格的次数，求ξ的分布列和数学期望．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C :22
2
21(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点
构成等边三角形. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点Q (4,0)且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为
1
A .
（ⅰ）求证：直线1A B 过x 轴上一定点，并求出此定点坐标；
（ⅱ）求△1OA B 面积的取值范围.
21.（本小题满分12分）已知函数
1)(+=
x x x f .
（Ⅰ）求函数)1ln()()(+-=x a x f x F 的单调递增区间； （Ⅱ）数列
{}n a 满足：10,1n a a >=
f =,记数列
{}n b 的前n 项和为n S ，
且
1
1)2n n n a ⎡⎤=
+⎢⎥⎣⎦
S .
（ⅰ）求数列
{}n b 的通项公式；并判断46b b +是否仍为数列{}n b 中的项？若是，请证明；
Q
否则，说明理由. （ⅱ）设{}n c 为首项是1c ,公差0d ≠的等差数列，求证：“数列{}n c 中任意不同两项之和仍
为数列
{}n c 中的项”的充要条件是“存在整数1m ≥-，使1c md =”
22．（本小题满分10分）选修4—1 几何证明选讲
在直径是AB 的半圆上有两点,M N ,设AN 与BM 的交点是P .求证:2
AP AN BP BM AB ⋅+⋅=
23．（本小题满分10分）选修4—4 参数方程与极坐标
求圆3cos ρθ=被直线22,
14x t y t =+⎧⎨
=+⎩
（t 是参数)截得的弦长.
24．（本小题满分10分）选修4—5 不等式证明选讲
已知b a ,是不相等的正实数，求证：
.9))((2
22222b a b a ab b a b a >++++
A
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.
1. A
2. C
3. C
4. D 5．B 6. D 7. B 8．D 9. D 10. B 11．A 12. C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分20分.
13. 12.38
14. 3π
15. 3 16. ②③
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）()1cos 2sin()1
6f x x a x x a π
ωωω=+++=+++………3分
因为函数()f x 在R 上的最大值为2，所以32a +=故1a =-…………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
()2sin()
6f x x π
ω=+ 把函数
()2sin()
6f x x π
ω=+的图象向右平移6πω个单位， 可得函数()2sin y g x x ω==…………………………………………8分
又
()y g x =在[0,]4π上为增函数()g x ∴的周期2T π
π
ω=≥即2ω≤
所以ω的最大值为2…………………………12分 18． 解：（Ⅰ）取BD 的中点E ，连接CE AE ,， 由CD CB AD AB ==,，得：BD CE BD AE ⊥⊥,
AEC ∴∠就是二面角C BD A --的平面角，
33cos =
∠∴AEC
在ACE ∆中，2,6==
CE AE AEC CE AE CE AE AC ∠⋅⋅-+=cos 2222
4
3
326226=⨯
⨯⨯-+=2=∴AC （Ⅱ）由22===BD AD AC ，2===CD BC AC
∴
,222AB BC AC =+,2
22AD CD AC =+∴︒=∠=∠90ACD ACB ,AC BC AC CD ∴⊥⊥， 又C CD BC = AC ∴⊥平面BCD ．
（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知⊥BD 平面ACE ⊂BD 平面ABD ∴平面⊥ACE 平面ABD 平面 ACE 平面AE ABD =， 作CF AE ⊥交AE 于F ，则CF ⊥平面ABD ，
CAF ∠就是AC 与平面ABD
所成的角
sin sin CE CAF CAE AE ∴∠=∠=
=．
方法二：设点C 到平面ABD 的距离为h ，
∵BCD A ABD
C V V --=
1111s i n 60222
3232
h ∴
⨯︒⋅=⨯⨯⨯⨯
3h ∴=
于是AC 与平面ABD 所成角θ的正弦为
33sin ==
AC h θ．
方法三：以CA CD CB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系xyz C -，
则)0,2,0()0,0,0(),0,0,2(),
2,0,0(D C B A ． ………10分
设平面ABD 的法向量为n ),,(z y x =，则
n 0=⋅AB ， n 0=⋅AD ，⇒022,022=-=-z y z x
取1===z y x ，则n )1,1,1(=， 于是AC 与平面ABD 所成角θ的正弦即
33
23|200||
|||sin =
⨯++==
CA n CA n θ． 19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）２袋食品都为废品的情况为 ①２袋食品的三道工序都不合格
21
1111()4353600P =⨯⨯=……………2分
②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格
1
2213111211141
()60435435435200P C =⨯
⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………4分
③两袋都有两道工序不合格
233111211149
()435435435400P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
所以2袋食品都为废品的概率为1231
36P P P P =++=
……………6分
（Ⅱ）ξ0,1,2,3=
3241
(0)(1)(1)(1)43560
P ξ==-⨯-⨯-=
3111211143
(1)43543543520P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
………8分 12431432113
(2)43543543530P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
3242
(3)4355P ξ==⨯⨯=
………10分
31321331232030560E ξ∴=⨯
+⨯+⨯=………12分
20．本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和
分析问题、解决问题的能力. 满分13分
解：（Ⅰ）因为椭圆C 的一个焦点是（1，0），所以半焦距c =1. 因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
所以12c a =
，解得2,a b ==所以椭圆的标准方程为221
43x y +=. …（4分）
（Ⅱ）（i ）设直线l ：4x my =+与22
1
43x y +=联立并消去x 得：
22(34)24360m y my +++=. 记
11,A x y （），22,B x y （），
1222434m
y y m -+=
+，
12236
34y y m =
+. 由A 关于x 轴的对称点为1A ，得111(,)A x y -，根据题设条件设定点为T
（
t ，0），得
1
TB TA k k =，即
21
21
y y
x t t x =--.所以
2
12
1211
212
12(
4)(4)x y y x m y y m y y t y y y y ++
++=
=++1212
24431
my y y y =+=-=+即定点T （1 ， 0）.
（ii ）由（i ）中判别式0∆>，解得2m >. 可知直线1A B 过定点T (1,0).
所以
1212111
|()|||22OA B S OT y y y y ∆=
--=+ 得
12
1244
||42433OA B m S m m m
∆=
=
++
,
令||t m =记
4()3t t t ϕ=+
，得/24
()13t t ϕ=-，当2t >时，/
()0t ϕ>.
4()3t t t ϕ=+在(2 , )+∞上为增函数. 所以
43m m +28233>+= ， 得
133
0482OA B S ∆<<⨯=
.故△OA1B 的面积取值范围是3(0 , )2. 21. 本题主要考查函数的单调性、等差数列、不等式等基本知识，考查运用合理的推理证明
解决问题的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分.
解：（Ⅰ）因为()ln(1)
1x F x a x x =-++，所以22(1)1()(1)1(1)x x a ax a F x x x x +---+'=-=+++. （i ）当0a =时，()0F x '>. （ii ）当0a >时，由()0F x '=，得到
11x a =
-，知在1(1,)a
a --上()0F x '>
.
（iii ）当0a <时，由()0F x '=，得到
1
1
x a =
-，知在(1,)-+∞上()0F x '>.
综上，当0a ≤时，()F x 递增区间为(1,)-+∞；当0a >时, ()F x 递增区间为
1(1,
)a
a --.
（Ⅱ）（i
）因为
f ==
1=
1=，
1(1)n n =+-=，即
21
n a n =
. ……………………………………（6分）
因为
211)(1)22
2n n S n n n a ⎡⎤=
+=++⎢⎥⎣⎦，
当1n =
时，
111S b ==，当2n ≥
时，11n n n b S S n -=-=，
所以
*
1()n b n n N =+∈.
又因为46112b b +=+=，
所以令
*2()t b t N =∈
，则21t +
得到
102t =+
与*t N ∈矛盾，所以46b b +不在数列{}n b 中. ………（9分）
（ii ）充分性：若存在整数1m ≥-，使
1c md =.设,r t c c 为数列{}n c 中不同的两项，则
111(1)(1)(2)r t c c c r d c t d c r m t d +=+-++-=+++-[]1(1)1c r m t d =+++--. 又3r t +≥且1m ≥-,所以11r m t ++-≥.即r
t c c +是数列{}n c 的第1r m t ++-项.
必要性：若数列{}n c 中任意不同两项之和仍为数列{}n c 中的项，
则1(1)s c c s d =+-，1(1)t c c t d =+-，
（s ，t 为互不相同的正整数） 则
12(2)s t c c c s t d +=++-，令s t l c c c +=，
得到112(2)(1)c s t d c l d ++-=+-
*
(,,)n t s N ∈， 所以
1(1)c l s t d =--+，令整数1m l s t =--+，所以1c md =. ……（11 分）
下证整数1m ≥-.若设整数1,m <-则2m -≥.令k m =-， 由题设取
1,k c c 使1(1)k r c c c r +=≥
即111(1)(1)c c k d c r d ++-=+-，所以(1)(1)md m d r d +--=- 即0rd =与1,0r d ≥≠相矛盾，所以1m ≥-.
综上, 数列
{}n c 中任意不同两项之和仍为数列{}n c 使1c md =.
22．选修4—1 几何证明选讲 证明:作PE AB ⊥于E AB 为直径,90ANB AMB ∴∠=∠=） ,,,P E B N ∴四点共圆,,,,P E A M 四点共圆. （6分）
(1)(2)AE AB AP AN BE AB BP BM ⋅=⋅⎫⇒⎬⋅=⋅⎭ (1)+(2)得()AB AE BE AP AN BP BM +=⋅+⋅（9分） 即2
AP AN BP BM AB ⋅+⋅=（10分）
23．选修4—4 参数方程与极坐标将极坐标方程转化成直角坐标方程： 3cos ρθ=即：223x y x +=，即2239()24x y -+=；（4分）
2214x t y t =+⎧⎨=+⎩即：23x y -=（7
分）
所以圆心到直线的距离0d =
=，即直线经过圆心，（9分） 所以直线截得的弦长为3.（10分）
24．选修4—5 不等式证明选讲
因为b a ,是正实数，所以2230a b a b ab ++=>≥（当且仅当22a b a b
==即1a b ==
时，等号成立）；（3分）
同理：2230ab a b ab ++=>≥
（当且仅当22ab a b ==即1a b ==时，等号成立）；（6分）
所以：
222222()()9.a b a b ab a b a b ++++≥ （当且仅当22ab a b ==即1a b ==时，等号成立）；（8分）
因为：a b
≠，
所以：
.
9
)
)(
(2
2
2
2
2
2b
a
b
a
ab
b
a
b
a>
+
+
+
+（10分）。