连云港市灌云县2015-2016年八年级下期中数学试卷含答案解析

2015-2016学年江苏省连云港市灌云县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．某商店一周中每天卖出的计算器个数分别是15、13、17、18、21、26、31，为了反映这一周所售计算器的变化情况，应制作的统计图是（）
A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．非以上统计图3．下列事件中，属于不可能事件的是（）
A．明天某地区早晨有雾
B．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6
C．一只不透明的袋子中有两个红球和一个白球，从中摸出一个球，该球是黄球
D．明天见到的第一辆公交车的牌照的末位数字是偶数
4．小华和小晶用扑克牌做游戏，小华手中有一张是“王”，小晶从小华手中抽得“王”的机会是10%，则小华手中扑克牌的张数大约有（）
A．不能确定B．10张C．5张D．6张
5．能确定四边形是平行四边形的条件的是（）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行，一组邻角相等
C．一组对边平行且相等
D．两条对角线相等
6．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
7．如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，EF=3，则PD的长为（）
A．2 B．3 C．D．6
8．如图所示，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠BAC=25°，则∠ADE=（）
A．20°B．25°C．30°D．35°
二、填空题（每题4分，共40分）
9．写出一个生活中的随机事件．
10．一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1、2、3、5组数据的频数分别为2、8、10、5，则第4组数据的频数为．
11．一个圆形转盘的半径为2cm，现将这个圆形转盘分成若干个扇形，并分别相间涂上红、黄两种颜色，转盘转动100000次，指针指向红色区域为2500次，指针指向红色区域的概率的估计值．
12．在平行四边形ABCD中，∠C=100°，则∠A=．
13．矩形的一组邻边长分别为4cm和3cm，它的对角线长为．
14．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为．
15．菱形ABCD中，且AC=6，BD=8，则S
=．
菱形ABCD
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，AB=6cm，BC=4cm，则EC=cm．
17．将一张矩形纸片对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下（剪口与第一次的折线成24°角），得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是．
18．将n个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…、A N分别是正方形的中心，则2016个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为．
三、解答题（共86分）
19．在下列方格纸中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形．
20．为了解某市九年级学生学业考试体育成绩，现随机抽取部分学生的体育（A：50分；B：49﹣45分；C：44﹣40分；D：39﹣30分；E：29﹣0分）成绩进行分段统计如下：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）在统计表中，a的值为，b的值为；
（2）将统计图补充完整；
（3）如果把成绩在40分以上（含40分）定为优秀，那么该市今年10560名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名？
21．一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球．
（1）会出现哪些可能的结果？；
（2）你认为摸到哪种颜色球的可能性最大？；
（3）怎样改变袋子中红球和白球的个数，使摸到这两种颜色球的概率相同？
22．如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
23．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED．
（1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？
（2）已知AB=1，∠ABE=45°，求BC的长．
24．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB、PC相交于点P．
（1）猜想四边形PCOB是什么四边形，并说明理由；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，四边形PCOB是正方形．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=8，BC=16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为多少时，以点ABQD为顶点的四边形是平行四边形？
（2）当t为多少时，以点ABQP为顶点的四边形是平行四边形？
26．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（3）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作∠EDF 为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
2015-2016学年江苏省连云港市灌云县八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念对各项分析判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称，故本项错误，
B．不是中心对称，故本项错误，
C．是中心对称，故本项正确，
D．不是中心对称，故本项错误，
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．某商店一周中每天卖出的计算器个数分别是15、13、17、18、21、26、31，为了反映这一周所售计算器的变化情况，应制作的统计图是（）
A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．非以上统计图【考点】统计图的选择．
【分析】根据折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势可得答案．
【解答】解：根据折线图的特点可得这一周所售计算器的变化情况应用折线图，
故选：B．
【点评】此题主要考查了统计图的选择，关键是掌握扇形统计图的特点：
①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小．
条形统计图的特点：
①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目．②易于比较数据之间的差别．
折线统计图的特点：
①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．
3．下列事件中，属于不可能事件的是（）
A．明天某地区早晨有雾
B．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6
C．一只不透明的袋子中有两个红球和一个白球，从中摸出一个球，该球是黄球
D．明天见到的第一辆公交车的牌照的末位数字是偶数
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、明天某地区早晨有雾是随机事件，故选项错误；
B、抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6是随机事件，故选项错误；
C、一只不透明的袋子中有两个红球和一个白球，从中摸出一个球，该球是黄球是不可能事件，故选项正确；
D、明天见到的第一辆公交车的牌照的末位数字是偶数是随机事件，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．小华和小晶用扑克牌做游戏，小华手中有一张是“王”，小晶从小华手中抽得“王”的机会是10%，则小华手中扑克牌的张数大约有（）
A．不能确定B．10张C．5张D．6张
【考点】概率公式．
【分析】根据概率公式以及小晶从小华手中抽得“王”的机会是10%，即可得出小华手中扑克牌的张数．
【解答】解：∵P=×100%=10%，
∴n=10．
故选B．
【点评】本题考查了概率公式，解题的关键是能够熟练运用概率公式解决实际问题．本题属于基础题，难度不大，熟练的运用概率公式是解题的关键．
5．能确定四边形是平行四边形的条件的是（）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行，一组邻角相等
C．一组对边平行且相等
D．两条对角线相等
【考点】平行四边形的判定．
【分析】由平行四边形的判定方法和梯形的判定方法容易得出结论．
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形，不一定是平行四边形，选项A错误；
B、一组对边平行，一组邻角相等的四边形可能是梯形，不一定是平行四边形，选项B错误；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，选项C正确；
D、两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定方法、梯形的判定方法；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
6．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【考点】平行四边形的判定；三角形中位线定理．
【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．
【解答】解：连接BD，
已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．
∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=BD．
∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
∴GF∥BD，GF=BD，
∴EH=GF，EH∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
故选：A．
【点评】本题三角形的中位线的性质考查了平行四边形的判定：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
7．如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，EF=3，则PD的长为（）
A．2 B．3 C．D．6
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，正方形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠DAC=45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△ADP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；求出四边形BFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可EF=PB．即可．
【解答】解：如图，连接PB，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
在△ABP和△ADP中，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP=DP；
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC=90°，
∴四边形BFPE是矩形，
∴EF=PB，
∴EF=DP=3，
故选B
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟记正方形的性质得到三角形全等的条件是解题的关键
8．如图所示，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠BAC=25°，则∠ADE=（）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，∠CDE=∠BAC，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，根据∠ADE=∠CED﹣∠CAD．
【解答】解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，
∴AC=CD，∠CDE=∠BAC=25°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴∠ADE=∠CED﹣∠CAD=45°﹣25°=20°．
故选A．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共40分）
9．写出一个生活中的随机事件明天下雨．
【考点】随机事件．
【分析】根据随机事件的概念、结合实际解答即可．
【解答】解：明天下雨是随机事件，
故答案为：明天下雨．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
10．一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1、2、3、5组数据的频数分别为2、8、10、5，则第4组数据的频数为25．
【考点】频数与频率．
【分析】根据各频数的和等于样本容量，可得2、8、10、第4组数据的频数、5的和等于50，用数据的和减去其余四个组数据的频数，可得答案．
【解答】解：50﹣（2+8+10+5）
=50﹣25
=25．
答：第4组数据的频数为25．
故答案为：25．
【点评】考查频数的定义，关键是熟练掌握频数即样本数据出现的次数．
11．一个圆形转盘的半径为2cm，现将这个圆形转盘分成若干个扇形，并分别相间涂上红、黄两种颜色，转盘转动100000次，指针指向红色区域为2500次，指针指向红色区域的概率
的估计值．
【考点】几何概率．
【分析】根据频率估计概率，通过计算指向红色区域的频率可估计指向红色区域的概率．
【解答】解：因为=，
所以可估计向红色区域的概率=．
故答案为．
【点评】本题考查了几何概率：几何概率=相应事件所占的面积与总面积之比．
12．在平行四边形ABCD中，∠C=100°，则∠A=100°．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的对角相等即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=100°；
故答案为：100°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键．
13．矩形的一组邻边长分别为4cm和3cm，它的对角线长为5cm．
【考点】矩形的性质．
【分析】由矩形的性质得出AC=BD，∠ABC=90°，再由勾股定理求出AC即可．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ABC=90°，
∵AB=3cm，BC=4cm，
∴BD=AC===5（cm）；
故答案为：5cm．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AC是解决问题的关键．
14．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为∠BAD=90°．
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）．
【点评】本题考查了矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的性质及判定定理．15．菱形ABCD中，且AC=6，BD=8，则S
=24．
菱形ABCD
【考点】菱形的性质．
【分析】由菱形ABCD中，且AC=6，BD=8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【解答】解：∵菱形ABCD中，且AC=6，BD=8，
=ACBD=24．
∴S
菱形ABCD
故答案为：24．
【点评】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，AB=6cm，BC=4cm，则EC=2cm．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD=BC=4cm，DC=AB=6cm，AB∥CD，证出∠DEA=∠DAE，根据等腰三角形的判定得到DE=AD=4cm，根据EC=DC﹣DE，代入计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4cm，DC=AB=6cm，AB∥CD，
∴∠DEA=∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD=4cm，
∴EC=CD﹣DE=6cm﹣4cm=2cm，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明DE=AD是解决问题的关键．
17．将一张矩形纸片对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下（剪口与第一次的折线成24°角），得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是菱形．
【考点】剪纸问题．
【分析】解答该类剪纸问题，通过自己动手操作即可得出答案；或者通过折叠的过程可以发现：该四边形的对角线互相垂直平分，继而进行判断．
【解答】解：由折叠过程可得，该四边形的对角线互相垂直平分，
故将①展开后得到的平面图形是菱形．
故答案为：菱形．
【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
18．将n个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…、A N分别是正方形的中心，则2016个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为2015．
【考点】正方形的性质；规律型：图形的变化类．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）阴影部分的和．
【解答】解：作A1E⊥A2E，A1F⊥A2H．
则∠FA1E=∠HA1G=90°，
∴∠FA1H=∠GA1E，
在△A1HF和△A1GE中，
，
∴△A1HF≌△A1GE，
∴四边形A2HA1G的面积=四边形A1EA2F的面积=×4=1，
同理，各个重合部分的面积都是1，
则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为1×（n﹣1）=n﹣1（cm2），
∴2016个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：2016﹣1=2015（cm2），
故答案为：2015．
【点评】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
三、解答题（共86分）
19．在下列方格纸中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形．
【考点】作图-旋转变换．
【分析】利用网格特点和旋转的性质分别画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形△A′B′C′．
【解答】解：如图，△A′B′C′为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20．为了解某市九年级学生学业考试体育成绩，现随机抽取部分学生的体育（A：50分；B：49﹣45分；C：44﹣40分；D：39﹣30分；E：29﹣0分）成绩进行分段统计如下：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）在统计表中，a的值为60，b的值为0.15；
（2）将统计图补充完整；
（3）如果把成绩在40分以上（含40分）定为优秀，那么该市今年10560名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【分析】（1）根据A段的人数是48，对应的频率是0.2，据此即可求得调查的总人数，然后根据百分比的意义求解；
（2）根据（1）即可直接补全直方图；
（3）利用总人数乘以对应的频率即可求解．
【解答】解：（1）抽取的总人数是：48÷0.2=240（人），
则a=240×0.25=60，
b==0.15．
故答案是：60，0.15；
（2）
；
（3）10560×0.8=8448．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应百分比．频率=所求情况数与总情况数之比．
21．一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球．
（1）会出现哪些可能的结果？会出现3种结果：摸到红球，摸到绿球，摸到白球；
（2）你认为摸到哪种颜色球的可能性最大？白球；
（3）怎样改变袋子中红球和白球的个数，使摸到这两种颜色球的概率相同？
【考点】概率公式；可能性的大小．
【分析】（1）由一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，即可求得答案；
（2）由一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球除颜色外都相同，即可求得摸到各种颜色球的概率，继而求得答案；
（3）使得袋子中红球和白球的个数相等即可．
【解答】解：（1）∵一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，
∴会出现3种结果：摸到红球，摸到绿球，摸到白球；
故答案为：会出现3种结果：摸到红球，摸到绿球，摸到白球；
（2）∵一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球除颜色外都相同，
∴P （红球）==，P （绿球）=，P （白球）=
=，
∴摸到白球的可能性最大．
故答案为：白球；
（3）答案不唯一如：放入3个红球；放入2个红球，拿走1个白球等．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BE=DF ．求证：
（1）△ABE ≌△CDF ；
（2）四边形AECF 是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据平行四边形平行四边形的性质得到AB ∥CD AB=CD ，从而得到∠ABE=∠CDF ，然后利用SAS 证得两三角形全等即可；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等推知∠AEB=∠DFC ，则等角的补角相等，即∠AEF=∠CFE ，所以AE ∥FC ．根据“有一组对边平行且相等”证得结论．
【解答】证明（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD AB=CD ， ∴∠ABE=∠CDF ， ∵BE=DF ，
∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；
（2）证明：∵由（1）知，△ABE ≌△CDF ， ∴BE=DF ，∠AEB=∠DFC ， ∴∠AEF=∠CFE ， ∴AE ∥FC ，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
23．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED．
（1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？
（2）已知AB=1，∠ABE=45°，求BC的长．
【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定．
【分析】（1）求出∠DEC=∠ECB=∠BEC，推出BE=BC即可；
（2）求出AE=AB=1，根据勾股定理求出BE即可．
【解答】解：（1）△BEC是等腰三角形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC，
即△BEC是等腰三角形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵∠ABE=45°，
∴∠ABE=AEB=45°，
∴AB=AE=1，
由勾股定理得：BE==，
即BC=BE=．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，主要考察学生的推理能力，题目比较好，难度适中．
24．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB、PC相交于点P．
（1）猜想四边形PCOB是什么四边形，并说明理由；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，四边形PCOB是正方形．
【考点】正方形的判定；矩形的性质．
【分析】（1）由BE∥AC，EC∥BD，得出四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质得出OB=OC，即可得出结论；
（2）由正方形的判定方法即可得出结论．
【解答】解：（1）四边形PCOB是菱形；理由如下：
∵PB∥AC，PC∥BD，
∴四边形PCOB为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OBOD，OA=OC，AC=BD，
∴OB=OC，
∴四边形PCOB为菱形（有一组邻边相等的平行四边形为菱形）；
（2）当AC⊥BD时，四边形PCOB是正方形；理由如下：
∵四边形PCOB为菱形，AC⊥BD，
∴四边形PCOB为正方形（有一个角为90°的菱形为正方形）．
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的性质；熟练掌握矩形的性质和正方形的判定方法，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=8，BC=16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为多少时，以点ABQD为顶点的四边形是平行四边形？
（2）当t为多少时，以点ABQP为顶点的四边形是平行四边形？
【考点】平行四边形的判定．
【分析】（1）当四边形ABQD为平行四边形时，AD=BQ=8，由题意得出方程，解方程即可；
（2）当四边形ABQP为平行四边形时，AP=BQ；由题意得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵当四边形ABQD为平行四边形时，AD=BQ=8，
又∵Q点速度为2个单位/秒，
∴16﹣2t=8，
解得：t=4，
即当t为4秒时，以点ABQD为顶点的四边形是平行四边形；
（2）∵当四边形ABQP为平行四边形时，AP=BQ；
又∵点P、Q速度分别为1个单位/秒、2个单位/秒，AD=8，BC=16，
∴t=16﹣2t，
解得：t=，
即当t为秒时，以点ABQP为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定；熟记平行四边形的判定方法，由题意得出方程是解决问题的关键．
26．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（3）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作∠EDF 为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（2）①首先延长FD到G，使得DG=DF，进而得出CF=BG，DF=DG，以及EF=EG，再利用三角形三边关系得出答案；
②由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，再利用勾股定理得出答案；。