中考数学压轴题100题精选(61-70题)

中考数学压轴题100题精选（61-70题）
【061】如图已知直线L：
3
3
4
y x
=+，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。

（1）求点A、点B的坐标。

（2）设F为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法，保留作图痕迹）。

（3）设92）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y关于x的函数关系式。

（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线L相切于点B，若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明理由。

【062】如图13-1至图13-5，⊙O 均作无滑动滚动，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4均表示⊙O 与线段AB 或BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为c ．
阅读理解：
（1）如图13-1，⊙O 从⊙O 1的位置出发，沿AB 滚动到
⊙O 2的位置，当AB = c 时，⊙O 恰好自转1周． （2）如图13-2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在
∠ABC 外部沿A -B -C 滚动，在点B 处，必须由 ⊙O 1的位置旋转到⊙O 2的位置，⊙O 绕点B 旋
转的角∠O 1BO 2 = n °，⊙O 在点B 处自转360n
周．
实践应用：
（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c ，则⊙O 自
转 周；若AB = l ，则⊙O 自转 周．在 阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O 在点B 处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O 在点B 处自转 周． （2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=
1
2
c ．⊙O 从 ⊙O 1的位置出发，在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动 到⊙O 4的位置，⊙O 自转 周．
拓展联想：
（1）如图13-4，△ABC 的周长为l ，⊙O 从与AB 相切于点D
的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由．
（2）如图13-5，多边形的周长为l ，⊙O 从与某边相切于
点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多 边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接．．写 出⊙O 自转的周数．
图13-4
图13-1
A
图13-3
图13-5
3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，•抛物线的对称P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，
D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形CM的解析式；若不存在，请说明理由．
【064】如图，抛物线2
124
y x x =-
-+的顶点为A ，与y 轴交于点B ． （1）求点A 、点B 的坐标．
（2）若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA PB AB -≤． （3）当PB PA -最大时，求点P 的坐标．
第28题图
【065】如图11，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径；
（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；
（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B
点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．
【066】如图，反比例函数y ＝ m x (x ＞0)的图象与一次函数y ＝－ 1 2x ＋ 5
2的图象交于A 、B 两点，点
C
图10（3）
A
B
图10（1）
B
图10（2）
的坐标为(1，1
2)，连接AC，AC∥y轴．
(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标；
(2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上A、B之间的部分滑动(不与
A、B重合)，两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段AB交于M、N两点，试判断
P点在滑动过程中△PMN是否与△CBA总相似？简要说明判断理由．
【067】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开
始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．
(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？
【068】如图12，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1
个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P 、Q 运动时间为t （单位：秒）．
（1）当t 为何值时，四边形PABQ 是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t =2秒时，求梯形OFBC 的面积；
（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程．
069】如图11，已知二次函数2
2)(m k m x y -++=的图象与x 轴相交于两个不同的点1(0)A x ，
、
2(0)B x ，，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．
（1）求P ⊙与y 轴的另一个交点D 的坐标；
（2）如果AB 恰好为P ⊙的直径，且ABC △的面积等于5，求m 和k 的值．
【070】如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从
A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C
B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B
C
D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运
动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：
（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒； （3）求y 与x 之间的函数关系式． 中考数学压轴题100题精选（61-70题）答案
（第28题）
【061】解（1）A （4-，0），B （0，3） ············································· 2分（每对一个给1分） （2）满分3分．其中过F 作出垂线1分，作出BF 中垂线1分，找出圆心并画出⊙P 给1分． （注：画垂线PF 不用尺规作图的不扣分）
（3）过点P 作PD ⊥y 轴于D ，则PD =x ，BD =3y -， ··············· 6分 PB =PF =y ，∵△BDP 为直角三形，∴ 2
PB =∴222BP PD BD =+，即2
2
3y x =+-即2
2
2
(3)y x y =+-∴y 与x 的函数关系为y =（4）存在
解法1：∵⊙P 与x 轴相切于点F ，且与直线l ∴AB AF =，∵2
2
2
2
5AB OA OB =+=，∴ ∵AF =4x + ， ∴2
2
(4)5x +=，∴19x x ==-或 11分 把19x x ==-或代入21362y x =+，得5
153
y y ==或 ∴点P 的坐标为（1，
5
3
）或（-9，15）12分 【062】解：实践应用（1）2；l c ．16
；13．（2）5
4．
拓展联想（1）∵△ABC 的周长为l ，∴⊙O 在三边上自转了l
c
周．
又∵三角形的外角和是360°，
∴在三个顶点处，⊙O 自转了
360
1360
=（周）
．
∴⊙O 共自转了（l
c +1）周．
（2）l
c
+1．
【063】（1）① 对称轴4
22
x =-
=- ·
··············································································· （2分） ② 当0y =时，有2
430x x ++=，解之，得 11x =-，23x =-
∴ 点A 的坐标为（3-，0）．············································································ （4分） （2）满足条件的点P 有3个，分别为（2-，3），（2，3），（4-，3-）． ········ （7分） （3）存在．当0x =时，2
433y x x =++= ∴ 点C 的坐标为（0，3）
∵ DE ∥y 轴，AO =3，EO =2，AE =1，CO =3 ∴ AED △∽AOC △ ∴
AE DE AO CO =
即 133
DE
= ∴ DE =1 ············· （9分）
∴ DEOC S =
梯形1
(13)22
⨯+⨯=4 在OE 上找点F ，使OF =4
3
，此时COF S =△14323⨯⨯=2，直线CF 把四边形DEOC
分成面积相等的两部分，交抛物线于点M ． ································································ （10分）
设直线CM 的解析式为3y kx =+，它经过点403F ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
．则4
303
k -+= ·
（11分） 解之，得 94k =
∴ 直线CM 的解析式为 9
34
y x =+ ······························ （12分） 【064】解：（1）抛物线2
124
y x x =-
-+与y
∴B （0，2）
∵2211
2(2)344
y x x x =--+=-++ ∴A （—2（2）当点P 是 AB 的延长线与x 轴交点时，
AB PB PA =-．
当点P 在x 轴上又异于AB 的延长线与x 在点P 、A 、B 构成的三角形中，PB PA -综合上述：PA PB AB -≤
（3）作直线AB 交x 轴于点P ，由（2）可知：当PA —PB 最大时，点P 是所求的点 ······· 8分 作AH ⊥OP 于H ．∵BO ⊥OP ，∴△BOP ∽△AHP
∴AH HP
BO OP
=
由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，∴OP=4，故P （4，0） 【065】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径（已知） ∴∠ACB ＝90º（直径所对的圆周角是直角） ∵∠ABC ＝60º（已知） ∴∠BAC ＝180º－∠ACB －∠ABC ＝ 30º（三角形的内角和等于180º） ∴AB ＝2BC ＝4cm （直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即⊙O 的直径为4cm ．
（2）如图10（1）CD 切⊙O 于点C ，连结OC ，则OC ＝OB ＝1/2·AB ＝2cm ． ∴CD ⊥CO （圆的切线垂直于经过切点的半径） ∴∠OCD ＝90º（垂直的定义） ∵∠BAC ＝ 30º（已求）
∴∠COD ＝2∠BAC ＝ 60º ∴∠D ＝180º－∠COD －∠OCD ＝ 30º∴OD ＝2OC ＝4cm ∴BD ＝OD －OB ＝4－2＝2（cm ） ∴当BD 长为2cm ，CD 与⊙O 相切． （3）根据题意得：
BE ＝（4－2t ）cm ，BF ＝tcm ；
如图10（2）当EF ⊥BC 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BAC ∴BE ：BA ＝BF ：BC 即：（4－2t ）：4＝t ：2解得：t ＝1
如图10（3）当EF ⊥BA 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BCA ∴BE ：BC ＝BF ：BA 即：（4－2t ）：2＝t ：4解得：t ＝1.6 ∴当t ＝1s 或t ＝1.6s 时，△BEF 为直角三角形．
第28题图
【066】（1）由112C ⎛⎫
⎪⎝⎭
，得(12)A ，，代入反比例函数m
y x
=中，得2m = ∴反比例函数解析式为：2
(0)y x x
=
> ·
························································································· 2分 解方程组15222
y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
由15222x x -+=化简得：2
540x x -+=
(4)(1)0x x --=，1241x x ==，所以142B ⎛⎫
⎪⎝⎭
， ·
········································································· 5分 （2）无论P 点在AB 之间怎样滑动，PMN △与CAB △总能相似．因为B C 、两点纵坐标相等，所以BC x ∥轴．
又因为AC y ∥轴，所以CAB △为直角三角形．
同时PMN △也是直角三角形，AC PM BC PN ∥，∥． ∴PMN CAB △∽△． ········································································································· 8分 （在理由中只要能说出BC x ∥轴，90ACB ∠=°即可得分．） 【067】（1）解：∵直角梯形ABCD ，AD BC ∥
PD QC ∴∥
∴当PD QC =时，四边形PQCD
为平行四边形．
由题意可知：2AP t CQ t ==，
82t t ∴-=
38t =
83
t =
∴当8
3
t s =时，四边形PQCD 为平行四边形． ·········································································· 3分
（2）解：设PQ 与O ⊙相切于点H ， 过点P 作PE BC ⊥，垂足为E Q 直角梯形ABCD AD BC ，∥
PE AB ∴=
由题意可知：2AP BE t CQ t ===，
222BQ BC CQ t ∴=-=-
222223EQ BQ BE t t t =-=--=-
B Q
B
Q
E
Q AB 为O ⊙的直径，90ABC DAB ∠=∠=° AD BC ∴、为O ⊙的切线
AP PH HQ BQ ∴==，
22222PQ PH HQ AP BQ t t t ∴=+=+=+-=- ·
··························································· 5分 在Rt PEQ △中，2
2
2
PE EQ PQ +=，2
2
2
12(223)(22)t t ∴+-=- 即：2
8881440t t -+=，2
11180t t -+=，(2)(9)0t t --=
1229
t t ∴==，，
因为P 在AD 边运动的时间为
8
811
AD ==秒 而98t =>，9t ∴=（舍去），∴当2t =秒时，PQ 与O ⊙相切． ··································· 8分 【068】解：（1）如图4，过B 作BG OA G ⊥于，
则2222
12151016913AB BG GA =
+=+-==（）
过Q 作，于H OA QH ⊥
则2
2
2
2
2
12102)144(103)QP QH PH t t t =+=+--=+-（ ····································································································· （2分） 要使四边形PABQ 是等腰梯形，则AB QP =， 即,
13)310(1442=-+t
t ∴5
3
=或5t =（此时PABQ 是平行四边形，不合题意，舍去） ·
···························· （3分） （2）当2=t 时，410282OP CQ QB ==-==，，。

1
.2
QB QE QD QB CB DE OF AF EF DP OP ∴
====Q ∥∥， ·
···················································· （4分） 222415419.AF QB OF ∴==⨯=∴=+=， ·
··························································· （5分） .1741219102
1
=⨯+=∴）（梯形OFBC S ·
··········································································· （6分） （3）①当QP PF =时，则2
2
12(102)1522t t t t +--=+-，
.3
1931==∴t t 或 ········································································································· （7分）
②当QP QF =时，222222)]10(215[1212)210(12t t FH t t --++=+=--+则
即2222
5
12(103)12(53)6
t t t +-=++∴=，
····························································· （8分）
③当QF PF =时， 22
414
12(53)15(.33t t t ++=∴==-则，或舍去） ·
········ （9分） 综上，当1
1954
3363
t t t t ==
==，，，时，△PQF 是等腰三角形． ·
················· （10分） 【069】解 （1）易求得点C 的坐标为(0)k ，
由题设可知12x x ，是方程0)(2
2
=-++m k m x 即022
=++k mx x 的两根，
所以2122(2)4m m k
x -±--=
，，所12122x x m x x k +=-•=， ······························ （1分） 如图3，∵⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，设它们的交点为点O ，连结DB ，∴△AOC ∽△DOC ，则
.12
1===⨯=k
k k x x OC OB OA OD ·
··············································· （2分） 由题意知点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，
所以点D 的坐标为（0，1） ······················································································· （3分） （2）因为AB ⊥CD ， AB 又恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，
所以点C 的坐标为(01)-，，即1-=k ····································································· （4分） 又2
2
2
2
212112()4(2)4221AB x x x x x x m k m k m =-=+-=--=-=+， 所以211
211522
ABC S AB OC m =
⨯=⨯+⨯=△解得.2±=m ·
························ （6分） 【070】解：（1）6．（2）8． ······························································································ （3分）
（3）①当03x <≤时，
2
11133sin 6022222
APQ y S AP AQ x x x ==︒==13
△1·····． ······································· （5分） ②当3x <≤6时，
Q 1
A B C D Q 2 P 3 Q 3 E
P 2 P 1 O
12222221
2
1sin 6021(12-2)2APQ y S AP P Q AP CQ x x ==
︒=△=?···
=2
.x + ················································································································ （7分） ③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ． (解法一)
过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．
33333
212..Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∴===-∴Q ∥△∽△
3361
,2122
11
(212),
33
CP OC x OE EQ x OC CE x -∴
===-∴==-
3
33
3311
sin 60sin 6022AQP ACP COP y S S CP AC OC CP ===-△△△-S ··°··°
111(6)(212)(6)22232
x x x =
-⨯-⨯--⨯·6．
2x =-． ························································································· （10分） （解法二）
如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3OG CQ ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．
,
.
ACB ACD OF OG ∠=∠∴=Q
又33,6,2122(6),CP x CQ x x =-=-=-
D
Q 3
G H
331
2CQP COQ S S ∴=△△
3
333321
,3
11
32
11(212)(6)32(6).6
COP CP Q S S CQ P H x x x ∴==⨯=⨯--=
-△△···又33
1
sin 602
ACP S CP AC =△··°
1(6)626).x x =-⨯=- 3AOP y S ∴=△
33
2
6)6)ACP OCP S S x x =-=--△△
262
x x =-
+- ····························································································· （10分）。