【数学】湖南省岳阳市1月2017届高三联考试题(理)

湖南省岳阳市1月2017届高三联考试题（理）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合}2016,2015{=A ，非空集合B 满足}2016,2015{=B A ，则满足条件的集合
B 的个数是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2.函数y=
x
x --2)1(log 2的定义域是（）
A ．(]2,1
B ．（1，2）
C ．（2，+∞）
D ．(-∞,2) 3.已知空间中两点(123)A ，，，),24(a B ，，且||AB =10，则a 的值是（） A ．2 B ．4 C ．0 D ． 2或4 4.某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的表面积是（）
A ．56125+
B ．60125+
C ．3065+
D ．2865+
5.直线l 将圆2
2
240x y x y +--=平分，且与直线124
x y
-=平行，
则直线l 的方程是（）
A ．240x y --=
B ．230x y +-=
C ．20x y -=
D ．230x y -+=
6.设c b a ,,均为正数，且a a
2
1log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c
2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛.则（）
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
7.设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ①若//,//,αβαγ则//βγ②若αβ⊥，//m α，则m β
⊥
③若,//m m αβ⊥，则αβ⊥④若//,m n n α⊂，则//m α
其中正确命题的序号是（）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
8.函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且f (x ＋1)为奇函数，当x >1时，f (x )＝2x 2－12x ＋16，则直线y ＝2与函数f (x )图象的所有交点的横坐标之和是 ( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5 9.若1x 满足225x x +=，2x 满足222log (1)5x x +-=，则1x +2x =（） A ．
25 B ．3 C ．2
7
D ．4 10.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0 11.设是定义在上的增函数，且对任意
，都有
恒成立，如果实数
满足不等式
，那么
的取值范围是 ( )
A ．（9，49）
B ．（13，49）
C ．（9，25）
D ．（3，7） 12.将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A ．
3263+ B ． 2+263 C ． 4+263 D ．4326
3
+
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数log (1)8a y x =-+(0a >且1)a ≠的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x 的图象上，则(3)f =___________．
14.直线()()2132150m x m y m ++-+-=被圆2
2
16x y +=截得弦长的最小值为.
15.已知函数
2
2, 0,()3, 0x
a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____. 16.如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有 两个动点E 、F ，且1
2
EF =
.有下列结论：
①AC BE ⊥； ②EF ∥平面ABCD ；
③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等. 其中正确的有.(写出所有正确结论的序号)
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分） 设U R =,}{
}{13
,24A x x B x x =≤≤=<<，}{1C x a x a =≤≤+（a 为实数）
（1） 分别求A B ，()U A C B ； （2） （2）若B C C = ，求a 的取值范围.
18. （本小题满分12分）
已知△ABC 的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=． ⑴求顶点C 的坐标； ⑵求直线BC 的方程．
19.（本小题满分12分）
已知如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，且
AB AC ⊥，M 是1CC 的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线11A B 上.
（1）若P 为11A B 中点，求证：//NP 平面11ACC A ； （2）证明：PN AM ⊥
20.（本小题满分12分）已知圆O 的直径AB=4，定直线l 到圆心的距离为4，且
直线l ⊥直线AB. 点P 是圆O 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交l 与M 、N 点. 如图，以AB 为x 轴，圆心O 为原点建立平面直角坐标系xOy . （1）若∠PAB=30°，求以MN 为直径的圆方程；
（2）当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过圆O 内的一定点.
21. （本小题满分12分）如图甲，⊙O 的直径2AB =，圆上两点,C D 在直径AB 的两侧，使4
C AB π
∠=
，3
DAB π
∠=
．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互
相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，E 为AO 的中点．P 为AC 上的动点，根据图乙解答下列各题：
（1）求三棱锥ABC D -的体积．
（2）求证：不论点P 在何位置，都有DE ⊥BP ；
（3）在BD 弧上是否存在一点G ，使得FG ∥平面A C D ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．
22. （本小题满分12分）设函数2()log (124)x x f x a =+⋅+，其中a 为常数 （1）当(2)(1)2f f =+时，求a 的值；
（2）当[1,)x ∈+∞时，关于x 的不等式()1f x x ≥-恒成立，试求a 的取值范围； （3）若a R ∈，试求函数()y f x =的定义域.
参考答案
一、选择题
1-5 CBDCC 6-10 AADCA 11-12 AC 二、填空题
13.27 14、214 15、4
91a <≤ 16、①②③.
三、解答题
17.（本小题满分10分）
解：(1) A∩B={x |2<x ≤3}，…………2分
U B={x |x ≤2
或x ≥4}
A ∪(U B)= {x |x ≤3
或x ≥4}……………….5分
(2)∵B∩C=C
∴C ⊆B……………………….7分 ∴2<a <a +1<4……………….9分 ∴2<a <3
∴a 的取值范围为（2,3）……………………..10分 18.（本小题满分12分）
⑴解：由题意可知，直线AC 的斜率为2-，又(5,1)A ，∴直线AC 的方程为2110x y +-=. ………3分 且点C 在直线方程为250x y --=上， ………4分 联立可求(4,3)C . ………6分
⑵由题意可知，点B 在直线方程为250x y --=上，不妨设(25,)B t t +，所以AB 的中点
M 的坐标为1
(5,
)2
t t ++，且点M 在直线250x y --=上，代入可求3t =-。

∴(1,3)B --. ………10分 故可求得直线BC 的方程为2370x y --=。

………12分 19、（本小题满分12分）
解：（1）证明：取AC 中点为Q ，连接1AQ ，NQ ，
在ABC ∆中，1
2
NQ AB
，-------------2分
又112
A P AB
所以，1NQ A P ，即四边形1A PNQ 是平行四边形. 故1
NP AQ ，-------------4分 又NP ⊄平面11ACC A ，1AQ ⊂平面11ACC A ， 所以，NP 平面11ACC A .-------------6分 （2）证明：连接1B N ，
在正方形11ACC A 中，
1
Rt AAQ Rt CAM ∆≅∆， 所以，MAC ∠与1AQA ∠互余， 故1
AM AQ ⊥，-------------8分 又111A B AA ⊥，11A B AC ⊥，1AC AA A = ，
所以，11A B ⊥平面11ACC A ，又
AM ⊂平面11ACC A ， 故11A B ⊥AM .-------------10分
又1
AQ 11A B 1A =, 所以AM ⊥平面11AQNB ， 又PN ⊂平面11AQNB ，
所以PN AM ⊥-------------12分 20.（本小题满分12分）
解：⊙O 的方程为2
2
4x y +=，直线L 的方程为4x =. （1）∵∠PAB=30°， ∴点P 的坐标为(1,3)，
∴3
:(2)3
AP l y x =
+，:3(2)BP l y x =--
将x =4代入，得(4,23),(4,23)M N -∴MN 的中点坐标为（4，0），MN=43 ∴以MN 为直径的圆的方程为22(4)12x y -+=
同理，当点P 在x 轴下方时，所求圆的方程仍是22(4)12x y -+=. 因此所求圆的方程是22(4)12x y -+=-------------6分
（2）设点P 的坐标为00(,)x y ，∴22004x y +=（00y ≠），∴22
00
4y x =- ∵00
00:(2),:(2)22
PA PB y y l y x l y x x x =
+=-+-，将x=4代入， 得0062M y y x =
+，0
022
N y y x =- ∴00
0062(4,
),(4,)22y y M N x x +-，MN=000000
446222x y y x x y --=
+- MN 的中点坐标为00
4(1)
(4,)x y --
以MN 为直径的圆C 截x 轴的线段长度为222
00022
000
4(4)16(1)4
2123x x x y y y ---=-
2
0000
4343443x y y y =
-==为定值 ∴⊙/
O 必过⊙O 内定点(423,0)-. -------------12分 21. （本小题满分12分） （1）
6
3
-------------4分 （2）∵P AC ∈，∴P ABC ∈面，∴PB ABC ⊂面．又由（1）知，DE ABC ⊥面． ∴不论点P 在何位置，都有DE ⊥BP ．-------------8分
（3）BD 弧上存在一点G ，满足DG GB =，使得FG ∥ACD 面．理由如下： 连结,,OF FG OG ，则ABC ∆中，,F O 为,BC AB 的中点．∴FO ∥AC ． 又∵FO ACD ⊄面，AC ACD ⊂面，∴FO ∥ACD 面．∵3
BAD π
∠=
，且G 为BD 弧
的中点，∴3
BOG π
∠=
．∴AD ∥OG ．
又OG ACD ⊄面，AD ACD ⊂面,∴OG ∥ACD 面．且F O O G O = ，
,FO OG FOG ⊂面．∴FOG 面∥ACD 面．
又FG FOG ⊂面∴FG ∥ACD 面．-----------12分 22.（本小题满分12分）
(1)(2)(1)2f f =+⇒222log (1416)log (124)log 4a a ++=+++
⇒22log (174)log 4(52)a a +=+⇒174208a a +=+⇒3
4
a =-………(3分)
(2) 122log (124)1log 2x x x a x -+⋅+≥-=
11242x x x a -+⋅+≥⇒11222
x x
a ≥--
+ 令2x
t =∵[1,)x ∈+∞∴[2,)t ∈+∞ 设11
()2
h t t t =--+
，122t t ≤< 12
1212211212
111
()()()t t h t h t t t t t t t t t --=--
++=-⋅ 21()0t t ->，1210t t ->，120t t > 12()()h t h t >
()h t 在[2,)+∞上为减函数⇒2t =时，11
2
y t t =--+有最大值为2-
∴2a ≥- ………(7分)
（3）1240x x
a +⋅+>⇒
令2x m =（0m >）即2
10m a m +⋅+>
①当2
40a ∆=-<⇒22a -<<
m R ∈⇒x R ∈
②当2
40a ∆=-=⇒22a a ==-或
若2a =，2
(1)0m +>又0m >⇒x R ∈
若2a =-，2(1)0m ->又1m ≠⇒{}
0,x x x x R ∈≠∈ ③当240a ∆=->⇒22a a ><-或 设2()1g m m a m =+⋅+而(0)10g => 若2a >，12
a
-
<-而0m >⇒x R ∈ 若2a <-，12a
->而0m >⇒2244022a a a a m m ----+-<<>
或 ⇒22442222
x
x
a a a a ----+-<
>或 ⇒222
244
log log 22
a a a a x x ----+-<>或 综上：①当2a >-时()f x 定义域为R
②当2a ≤-时
()f x 定义域为222
244
(,log (log ,)22
a a a a ----+--∞+∞)U ………(12分)。