山西省太原市2017届高三数学5月(总第十五次)模块诊断试题 文

2016~2017学年高三第二学期5月（总第十五次）模块诊断
数学试题（文科）
考试时间：120分钟 满分：150分 命题教师： 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）
1.已知集合1{|()1}2
x
A x =≤，2
{|280}B x x x =--≤，则A
B =（ ）
A ．{|20}x x -≤≤
B ．{|24}x x ≤≤
C ．{|04}x x ≤≤
D ．{|2}x x ≤- 2.若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数1
2
z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.已知(2,1)a =-，(,3)b k =-，(1,2)c =，若(2)a b c -⊥，则||b =（ ） A
．B
．C
．D
4.下列关于命题的说法错误的是（ ）
A. 命题“若2320x x -+= ，则2x = ”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”；
B.“2a =”是“函数()log a f x x = 在区间(0,)+∞ 上为增函数”的充分不必要条件
C. 若命题:,21000n
p n N ∃∈> ，则:,21000n
p n N ⌝∀∈>； D. 命题“(),0,23x
x
x ∃-∞< ”是假命题.
5. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中
“aMODb ”表示除以的余数），若输入的,a b 分别为675,125，则输出的
（ ）
A. 0
B. 25
C. 50
D. 75 A. 0 B. 25 C. 50 D. 75
6.已知P 是ABC ∆所在平面内一点，20PB PC PA ++=，现将一粒红豆随机撒在ABC ∆内，则红豆落在PBC ∆内的概率是（ ）
A ．
14 B ．13 C ．23 D ．12
7.函数()sin cos f x a x b x =-，
若(
)()44f x f x ππ
-=+，则直线0ax by c -+=的倾斜角为（ ） A ．
4π B ．3π C. 23π D ．34
π
8. 一个几何体的三视图如图所示，则其体积为( )
A.
116 B. 6
C. 32 D . 12 9. 已知(1,2)A 是抛物线2
4y x = 上一点，过点A 作直线AD ，AE 分别交抛物线于,D E 两点．若将AD ，AE 的斜率分别记为AD k ,AE k 且0AD AE k k +=,则直线DE 的斜率为( )
A ．1
B ．1
2
-
C ．1-
D ．不确定 10．已知点P 为双曲线)0,0(1
22
22>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为
双曲线的左右焦点，且a
b F F 2
21||=，I 为三角形21F PF 的内心，
若12
12
IPF IPF IF F
S S S λ∆∆∆=+成立， 则λ的值为（ ）
A ．
2
2
21+ B ．132- C ．12+ D ．12- 11. 数列{}n a 满足111,(1)(1)n n a na n a n n +==+++ ，且2c
o s 3
n n n b a π
= ，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S = ( )
A. 294
B. 174
C. 470
D. 304
12.已知函数()ln f x ax e x =+与()2
ln x g x x e x
=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数
的底数,则实数a 的取值范围为( )
A. a e <-
B. 1a >
C. a e >
D. 3a <-或1a > 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
13. 设样本数据122017,,,x x x ⋅⋅⋅ 的方差是4，若1i i y x =-(1,2,,2017)i =⋅⋅⋅ ，则
122017,,,y y y ⋅⋅⋅的方差为__________．
14．设实数,x y 满足2025020
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则22
x y u xy +=的取值范围是_________．
15. 已知点为函数()x f x e = 的图象上任意一点，点为圆222(1)1x e y --+= 上任意一点（e 为自然对数的底），则线段PQ 长度的最小值为__________． 16.在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
()()2
22sin cos cos b
a c A A ac A C --=+
，a =ABC ∆面积的最大值
三、解答题：（本大题6个小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17. 已知数列{}n a 的前项和21n n S a =- .{}n b 是公差不为0的等差数列，其前三项和为3，且3b 是25b b ，的等比中项. （1）求,n n a b ；
（2）若1122(2)2n n a b a b a b n t ++⋅⋅⋅+≥-+，求实数t 的取值范围.
18．（本题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图
.
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系
?
附：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19. （本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面ABC ，
14CC AB AC BC ====，D 为线段AC 的中点．
（1）求证：直线1//AB 平面1BC D ； （2）求三棱锥1D C CB -的体积．
20．（本题满分12分）（1）求椭圆的方程；
（2）若过点C （-1，0）且斜率为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点B A ,，试问在x 轴上是否存在点M ，使5M A M B ⋅+k 无关的常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
21. （本题满分12分）设函数()()ln f x x b x =+， ()y f x =的图象在点()()
1,1f 处的切线与直线3y x =平行. （1）求b 的值；
（2）若函数()()22x
f x
g x e a x ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
（0a ≠），且()g x 在区间()0,+∞上是单调函数，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕ
ϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=．
（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；
（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值．
23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()231f x x x =++- . （1）解不等式()4f x > ；
（2）若存在3,12x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
,使不等式1()a f x +> 成立，求实数的取值范围.
山西大学附中
2016~2017学年高三第二学期5月（总第十五次）模块诊断
数学（文理科答案）
考试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：李小英 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）
1. C
2.B
3.A
4.C
5. B
6. D
7.D
8.A
9.C 10． D 11. D 12.B 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 13. -192 （文科）4 14．10
[2,
]3
15. . 16.
2
1
2+ 17. 已知数列{}n a 的前项和21n n S a =- .{}n b 是公差不为0的等差数列，其前三项和为3，且3b 是25b b ，的等比中项. （1）求,n n a b ；
（2）若1122(2)2n n a b a b a b n t ++⋅⋅⋅+≥-+，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，①
所以当时，，解得，
当时，
，②
-②，得，即
，所以，
由数列的前三项和为3，得，所以
， 设数列的公差为，则
，
又因为，所以
， 解得
或（舍去），所以
； （2）由（1），可知，，从而
，
令，
即，③
×2，得，④
-④，得
，
即，
故题设不等式可化为，（*）
当时，不等式（*）可化为，解得；
当时，不等式（*）可化为，此时；
当时，不等式（*）可化为，因为数列是递增数列，所以，
综上，的取值范围是.
18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
【答案】（1）820人；（2）在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（3）分布列见解析，期望为1．
试题解析：（1）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =， 由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，
因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27,24,21,18 所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为82
1000820100
⨯
= （2）22
100(4118329)300
4.110 3.8415050732773
k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.
（3）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X 可取0、1、2、3
363920
(0)84C P X C ===，21
633
945(1)84C C P X C ===， 12
633918(2)84C C P X C ===，333
9
1
(3)84C P X C === X 的分布列为
X
的数学期望2045181
()0123184848484
E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 19. （理科）（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，
,2,60AB CD AD DC CB ABC ===∠= ，平面ACEF ⊥ 平面ABCD ，四边形ACEF 是菱
形，60CAF ∠= .
（1）求证：BC ⊥平面ACEF ；
（2）求平面ABF 与平面ADF 所成锐二面角的余弦
【答案】（1）见解析；（2）．
（2）取为中点，连，∵四边形是菱形，，∴，即与
同理可知
平面
如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有
，
，
；
设是平面的一个法向量，则，即，取
，
设是平面的一个法向量，则
，即
，
设平面
与平面
所成锐二面角为，则
，即平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为．
文科19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面ABC ，14CC AB AC BC ====，D 为线段AC 的中点．
（1）求证：直线1//AB 平面1BC D ；（2）求三棱锥1D C CB -的体积．
（2）因为底面，所以为三棱锥的高，
所以
20．（本题满分12分）（1）求椭圆的方程；
（2）若过点C （-1，0）且斜率为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点B A ,，试问在x 轴上是否存在点M ，使5M A M B ⋅+
k 无关的常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】：（1
c a =，∴2
213b a =. 1分
又椭圆过点（1
分
分 ∴椭圆方程为22
1
553
x y +=，即22x 3y 5+=. 5分
（2）在x 轴上存在点，使5MA MB ⋅+
K 无关的常数. 6分
证明：假设在x 轴上存在点M （m,0）,使5MA MB ⋅+k 无关的常数，
∵直线L 过点C （-1，0）且斜率为K,∴L 方程为y k(x 1)=+，
由⎩⎨⎧+==+),
1(,5322x k y y x 得0536)13(2222=-+++k x k x k . 7分 设),(),,(2211y x B y x A ，则分 ∵1122MA (x m,y ),MB (x m,y ),=-=- ∴5MA MB ⋅+
分
=()()()()2
12122
51131
x m x m k x x k --++++
+
=(
)()()2
2122121225131
k
x x k m x x m k k ++-++++
+
=()()222
2
22222
35651313131
k k k k m m k k k k --++-+++
+++ =22222
2
6331
k mk m k m k -++++ 10分 设常数为t 分 整理得222
(3m 6m 13t)k m t 0+--+-=对任意的k 恒成立，
2
23m 6m 1
3t 0,m t 0.
⎧+--=⎪∴⎨-=⎪⎩解得
即在x 轴上存在点M 使5MA MB ⋅+
K 无关的常数. 12分
21.（理科）已知函数()ln x
f x x
=
， ()()1g x k x =-. （Ⅰ）证明： R k ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；
（Ⅱ）若2e,e x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()1
2
f x
g x ≤+
成立，求实数k 的取值范围. 【分析】（Ⅰ）设出切点000,ln x x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，分别用函数的导数值和直线的两点表示斜率，得方程00ln 10x x +-=，发现方程的解为01x =，与定义域矛盾；
（Ⅱ）原问题转化为()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x x
ϕ=--， 2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦, 则2
e,e x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x g x ≤+
成立()min 1
2
x ϕ⇔≤，讨论函数的最小值即可. 【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞， ()()
2
ln 1
ln x f x x -'=
，直线()y g x =过定点()1,0，
若直线()y g x =与曲线()y f x =相切于点000,ln x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
（00x >且01x ≠），则
()020ln 1ln x k x -= 0
00ln 1
x x x =
-，即 00ln 10x x +-=，①
设()ln 1h x x x =+-， ()0,x ∈+∞，则()1
10h x x
+'=
>，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，又()10h =，从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾.
所以， R k ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线； （Ⅱ）()()12f x g x ≤+
即()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x x
ϕ=--， 2
e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则2
e,e x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x g x ≤+
成立()min 1
2
x ϕ⇔≤，
()()
2
ln 1
ln x x k x ϕ=
'--= 211ln ln k x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 2
111ln 24
k x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，
（1）当14
k ≥
时， ()0x ϕ'≤， ()x ϕ在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，于是()()
2
min
e x ϕϕ== ()2
2e e 12
k --， 由()
22e 1
e 122
k --≤得12k ≥，满足14k ≥，所以12k ≥符合题意；
（2）当14k <时，由21124y t k ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭及1ln t x =的单调性知()2
11ln 2x x ϕ⎛⎫=-- ⎪
⎝⎭' 14k +-在
2e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以()()()
2
e e x ϕϕϕ''≤'≤，即()14
k x k ϕ-≤'≤-， ①若0k -≥，即0k ≤，则()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在2
e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是
()()min e x ϕϕ== ()e e 1k -- 1
e 2
≥>，不合题意；
②若0k -<，即104k <<
则由()e 0k ϕ'=-<， ()
21e 04
k ϕ'=->及()x ϕ'的单调性知存在唯一()20e,e x ∈，使()00x ϕ'=，且当()0e,x x ∈时， ()0x ϕ'<， ()x ϕ为减函数；当()
20,x x e ∈时，
()0x ϕ'>， ()x ϕ为增函数；
所以()()0min
x x ϕϕ== ()0001ln x k x x --，由()00011ln 2x k x x --≤得000111ln 2x k x x ⎛⎫
≥- ⎪-⎝⎭
011x >
- 0111
2224x ⎛⎫-=>
⎪⎝⎭，这与104
k <<矛盾，不合题意. 综上可知， k 的取值范围是1
,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
21.（文科）设函数()()ln f x x b x =+， ()y f x =的图象在点()()
1,1f 处的切线与直线3y x =平行.
（1）求b 的值；
（2）若函数()()22x
f x
g x e a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
（0a ≠），且()g x 在区间()0,+∞上是单调函数，求实数a
的取值范围.
【解析】(1)由题意知，曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线斜率为3，所以()'13f =，又
()'ln 1b
f x x x
=+
+，即ln113b ++=，所以2b =. (2)由（1）知()()2ln 22x x x f x g x e a e x ae x ⎛⎫=⋅-=⋅- ⎪+⎝⎭
，所以()1'ln 2(0)x g x e x a x x ⎛⎫
=⋅+-> ⎪⎝⎭，若()g x 在
()0,+∞上为单调递减函数，则()'0g x ≤在()0,+∞上恒成立， 即1ln 20x a x
+-≤，所以
12ln a x x ≥
+. 令()1ln (0)h x x x x =+>， 则()22111
'x h x x x x
-=-+=，由()0h x '>，得1x >， ()0h x '<，得01x <<，故()h x 在()0,1上是减函数，在[)1,+∞上是增函数，则1
ln x x
+→+∞，
()h x 无最大值，在()0,+∞上不恒成立，故()g x 在()0,+∞不可能是单调减函数. 若
()g x 在()0,+∞上为单调递增函数，则()0g x '≥在()0,+∞上恒成立，即1
ln 20x a x +-≥，所以
12ln a x x ≤
+，由前面推理知， ()1
ln (0)h x x x x
=+>的最小值为()11h =， ∴21a ≤，故a 的取值范围是1,2
⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕ
ϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=．
（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；
（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值．
【答案】（1）（2）.
【解析】（1）由直线的参数方程（为参数），
消去参数得，，
即直线的普通方程为，
由圆的极坐标方程为
，得
，
将代入(*)得，，
即的直角坐标方程为.
（2）将直线的参数方程代入得，，
，
设两点对应的参数分别为，
则，
所以，因为，
所以当时，取得最小值.
【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】
解法二：（1）同解法一
（2）由直线的参数方程知，直线过定点，
当直线时，线段长度最小.
此时，，
所以的最小值为.
解法三：（1）同解法一
（2）圆心到直线的距离，
，
又因为，所以当时，取得最大值.
又
，所以当时，取得最小值.
23. 选修4-5：不等式选讲 设函数()231f x x x =++- . （1）解不等式()4f x > ；
（2）若存在3,12x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦,使不等式1()a f x +> 成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】试题分析：（1）先求出的表达式，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）问题转化为：
，求出
的最小值，从而求出的范围即可．
试题解析：（1）由题得，，
则有或
或，
解得
或
或
， 综上所述，不等式的解集为；
（2）存在，使不等式成立等价于
，
由（1）知，时，，
∴时，， 故
，即
∴实数的取值范围为．。