函数的单调性

函数的单调性
本课是苏教版必修一第二章函数第三节——函数的单调性。

函数的单调性是函数的基本性质，是学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象对增减性有一个初步的感性认识的基础上用代数方法研究函数图象的局部变化趋势，对进一步研究函数的其他性质有着示范性的作用，为后续研究指数函数、对数函数等内容打下基础。

由此我确定入下的教学目标：
1、从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。

2、通过对函数单调性定义的探究，体会数形结合、分类讨论的数学思想。

3、通过观察、归纳等活动，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点是函数单调性的概念，以及函数单调性的判断和证明；
难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义。

本节课我采用问题教学法，充分发挥学生的主体作用，引导学生自主探索。

下面重点讲一下我的教学过程：首先出示问题1、2、3：
某一天0点到8点的气温y关于时间x的函数记为y=f(x)，满足函数f(x)=x2-6x-7
一个蓄水池1点到4点的水位高h关于时间t满足函数h(t)=x+1
一架飞机0点30分到1点30分时距离地面的高度g关于时间s满足函数g(s)=x+1/x
我请同学回答根据这些函数你能知道气温的变化情况吗？蓄水池里的水是增加了还是减少了？飞机距离地面的高度又是怎样变化的？1、2问我让学生列表画图容易得出答案。

第三问的函数图象我们不容易确定，但通过今天的学习我们不画出图象也可Array
以知道飞机高度的变化趋势。

先来观察这两个图象，在第一个图象中3点到8点温度是升高的，从左向右逐渐上升的，也就是y随x的增大而增大。

我们把这种函数称为单调增函数。

如何用精确的数学语言来刻画这种增大的特性呢？要表示大小关系，学生会想到取点，比大小。

表格可以帮助学生思考，当取x的值越大，对应的f(x)的值也越大。

这时我给出如果有
3<x1<x2<8，学生容易得出f(x1)<f(x2),随之提问学生得出这里的x1和x2一定是在局部的范围内任意取得的如果只知道有限个值，是不能确定这个区间上的变化情况的。

由此给出单调增函数的定义。

类比增函数学习减函数，最后让学生自己得出减函数的定义。

函数的单调性就是指增减性。

单调增区间和单调减区间统称为单调区间。

有的函数根本没有单调区间如常函数。

随后出示例题1：求证函数f(x)=—1/x—1在区间（—00,0）上是单调增函数。

我会带领学生将本题的完整步骤写出来，在板书的基础上，引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤：设元作差变形判断正负。

接着让学生自己练习当定义域为（0，+00）时函数的单调性。

然后提问学生f(x)的单调增区间是什么？虽然函数在定义域内的两个区间上都是增函数，但函数在（）∪（）上不是增函数，这一点可以画出草图来帮助学生理解。

所以单调增区间可以写成（），（）即可。

其他写法不做介绍。

学完此题后学生就可以用所学方法解决问题情境中的第三题。

但在计算中可能会出现无法确定1是分界点，这时我提醒学生要把作差的结果因式分解，化成几项成积的形式。

下面出示练习题已知f(x)=ax+1/x+2在[-2 ,+∞)单调递增,求a的取值范围(1/2，＋∞)通过练习使学生能灵活运用所学知识。

最后引导学生回顾函数单调性定义的探究过程，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义。

本节课在问题引入的具体情境中就给出了时间的限定，使学生在画图和接下
来的学习中体会到定义域的重要性，其中第三个问题能让学生体会到研究函数调性的必要性。