3.2反比例函数

3.2反比例函数
1、反比例函数的定义
一般地，形如k
y x
=（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数
特别注意：
（1）反比例函数()
0k y k x =
≠右边分式的分母只能是x 的一次单项式，不能是多项式，如：13
,2y y x x
==等是反比例函数，但2
1
y x =+就不是关于x 的反比例函数。

（2）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数，因此可以写成1
y kx -=或xy k = （3）反比例函数()0k
y k x
=≠的自变量x 的取值范围是不等于0的全体实数。

2、反比例函数的图像
反比例函数()0k
y k x
=≠的图像是双曲线。

特别注意：
（1）反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，它的两个分支的断开的。

（2）反比例函数的图像的两个分支关于原点对称。

（3）当0k >时，两个分支位于第一、三象限；当0k <时，两个分支位于第二、四象限。

（4）反比例函数与x 轴、y 轴都没有交点，这是因为0,0x y ≠≠。

反比例函数
()0k
y k x
=
≠ k 的符号 0k >
0k <
图像
图像的位置 在第一、三象限
在第二、四象限
增减性
在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说在每个象限内y 随x 的增大而减小
在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说在每个象限内y 随x 的增大而增大
特别注意：反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论。

不能笼统的说：当0k >时，在每个象限y 随x 的增大而减小。

同样，当0k <时，也不能笼统的说：y 随x 的增大而增大。

4、反比函数解析式的确定
在反比例函数()0k
y k x
=
≠中，只有一个待定系数k ，只需给出一组x y 、的值或图像上一个点的坐标即可确定正比例函数的解析式。

5、反比例函数()0k
y k x
=
≠中比例系数k 的几何意义 如右图，过双曲线上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PN PM 、，所得矩形
PMON 的面积S PM PN y x xy k ====，即过双曲线上任意一点
作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积均为k 。

同时PON ∆(或POM ∆)的面积均为1
2
k 。

典型题型：
1、在下列函数表达式中， x 均表示自变量:①-=y 25x
； ②=y 2x ； ③1
--=x y ； ④2=xy ；
⑤=
y 11x +； ⑥=y 0.4
x。

其中反比例函数有 。

2、若反比例函数的图象经过点()2,1A -，则它的表达式是_____________、 3、已知双曲线经过点()5,2，则=k _ _。

4、若函数y=2
5
(2)k
k x --是反比例函数，则=k _________｡
5、已知反比例函数8
y x
=-
的图象经过点P (1+a ，4)，则=a ______。

6、已知反比例函数的图象经过点(21)P -，，则这个函数的图象位于( ) A 、第一、三象限 B 、第二、三象限 C 、第二、四象限 D 、第三、四象限
7、1
2
)13(---=n n
x n y 是反比例函数，且它们的图象在第二、四象限，则=n 。

8、当x >0时，反比例函数y=m 2236
m m x +-随x 的减小而增大，则m =________，图象在第_______象限。

9、若反比例函数y=(2m-1)22
m x - 的图象在第一、三象限，则函数的解析式为 。

10、对于反比例函数2
y x
=
，下列说法不正确．．．的是( ) A 、点(21)--，在它的图象上
B 、它的图象在第一、三象限
C 、当0x >时，y 随x 的增大而增大
D 、当0x <时，y 随x 的增大而减小
11、已知函数x
k
y =
的图象经过点(2，3)，下列说法正确的是( ) A 、y 随x 的增大而增大 B 、函数的图象只在第一象限
C 、当0<x 时，必有0<y
D 、点(-2，-3)不在此函数的图象上 12、当0>x 时，反比例函数-
=y 2
x
( ) A 、图象在第四象限，y 随x 的增大而增大 B 、图象在第三象限，y 随x 的增大而增大 C 、图象在第二象限，y 随x 的增大而减小 D 、图象在第一象限，y 随x 的增大而减小 13、直线()0>=a ax y 与双曲线x
y 3
=
交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则4x 1y 2-3x 2y 1=______ 14、如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的( )
A 、反比例函数
B 、正比例函数
C 、一次函数
D 、反比例或正比例 15、平面直角坐标系中有六个点
(15)A ，，533B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，(51)C --，，522D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，533E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，522F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，其中有五个点在同一反比例函数图象上，不在这个反比例函数图象上的点是 。

k
y x
=
16、已知点M (-2，3 )在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A 、(3，-2 ) B 、( -2，-3 ) C 、(2，3 ) D 、(3，2)
17、反比例函数x
k y 3
+=
的图象在二、四象限，则k 的取值范围是 。

18、设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是反比例函数=y x
2
-
图象上的两点，若x 1<x 2<0，则y 1与y 2之间的关系是( ) A 、 y 2<y 1<0 B 、 y 1<y 2<0 C 、 y 2>y 1>0 D 、 y 1>y 2>0 19、若点(1,2y -)、),1(2y 、),3(3y 都在反比例函数x
y 2
-=的图象上，则321,,y y y 的大小关系是 。

20、函数1k
y x
-=
的图象与直线y x =没有交点，那么k 的取值范围是 。

21、已知反比例函数x
m y )23(1
-=
，当m _______时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m _______
时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大｡
22、若双曲线)0(≠=
k x
k
y 在第二、四象限，则直线2+=kx y 不经过第______象限｡ 23、已知直线与双曲线的一个交点A 的坐标为(-1，-2)、则=_____;=____;它们的另一
个交点坐标是___ ___。

24、双曲线y=
k
x
和一次函数y=a x+b 的图象的两个交点分别是A (-1，-4)，B (2，m)，•则a +2b =_________、 25、如图，反比例函数()0k
y k x
=<的图象与经过原点的直线l 相交于A 、B 已知A 点坐标为()2,1-，那么B 点的坐标为______、
26、函数x
y 1
=和函数y =x 的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数有 个27、已知反比例函数k
y x
= 的图象与一次函数y ax b =+的图象交于点A (-2，3 ) 、B ( 1，m ) ，则反比
例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 。

28、已知正比例函数y kx =的图像与反比例函数4k
y x
-=的图像有一个交点的横坐标是1-，那么它们的交点坐标分别为_________________｡ 29、一次函数5+-=x y 图象与反比例函数x
y 6
=
图象的交点情况是（ ） A 、 只有一个交点，坐标是(2，3) B 、 只有一个交点，坐标是(-1，6) C 、 有两个交点，坐标是(2，3)、(3，2) D 、 没有交点 30、已知反比例函数()0a
y a x
=
≠的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，则一次函数y ax a =-+的图象不经过第．．．． 象限。

．．．
x
k
y =mx y =x
k
y =m k
31、在反比例函数)0(<=
k x
k
y 的图象上有两点A ()11,y x ，B ()22,y x ，且021>>x x ，则21y y -的值为( )
A 、正数
B 、负数
C 、非正数
D 、非负数 32、在同一坐标系中，一次函数y kx k =-和反比例函数2k
y x
=
的图像大致位置可能是下图( )
A B C D
33、如果点11()A x y ，和点22()B x y ，是直线y kx b =-上的两点，且当12x x <时，12y y <，那么函数k
y x
=
的图象大致是( )
34、将点(4)P ，3向下平移1个单位后，落在函数k
y x
=的图象上，则k 的值为 。

35、点()2,P m 在反比例函数()1
0y x x
=
>的图象上， 若将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后所得的像为点。

则在第一象限内，经过点的反比例函数的解析式是 。

36、反比例函数k
y x
=
的图象在二、四象限，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果2MON S =△，则k = 。

37、函数6y x =-与函数()4
0y x x
=
>的图象交于A 、B 两点，设点A 的坐标为()11,x y ，则边长分别为1x 、1y 的矩形面积为 ，周长为 。

4．3反比例函数
1、①③④⑥；
2、2
y x
=-； 3、10 ； 4、-2； 5、-3； 6、C ； 7、0； 8、1 ，一； 9、 =
1
x
； 10、C ； 11、C ； 12、A ； 13、 -3； 14、B ； 15、D 点； 16、A ； 17、k <-3； 18、C ； 19、132y y y >>； 20、1k >； 21、>32 ， <3
2
； 22、三；
P P 'P
'x
x
x
x A ．
D ．
23、m =2；k =2；(1，2)； 24、-2 ； 25、()2,1-； 26、2； 27、6
y x
=-，33y x =--； 28、(1，2)，(-1，-2)； 29、C ； 30、三； 31、A ； 32、C ， 33、B ； 34、8k =；
35、()6
0y x x
=>； 36、4-； 37、4，12；。