福建省2018-2019年高二上学期期末考试检测数学试题

第一学期期末检测
高二数学
一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题一定正确的是（）
A. 三点确定一个平面
B. 依次首尾相接的四条线段必共面
C. 直线与直线外一点确定一个平面
D. 两条直线确定一个平面
【答案】C
【解析】A：不共线的三点确定一个平面，故错误；
B：空间四边形，不共面，故错误；
C：正确；
D：两条异面直线不能确定一个平面，故错误。

故选C。

2. 若实数满足，则下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】不妨设，则只有D成立，故选D。

3. 已知是两条不同直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】A：存在相交或异面；B：存在平行或斜交；C：存在包含在平面内；D正确。

故选D。

4. 设，则“”是“”恒成立的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】试题分析：由题意得，，故“”是“
恒成立”的充分不必要条件，故选A．
考点：1．充分必要条件；2．恒成立问题．
5. 在三棱锥中，是的中点，且，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
故选C。

6. 在三棱柱中，分别是的中点，则必有（）
A. B.
C. 平面
D. 平面
【答案】C
【解析】由图象可知，与异面，A错误；和夹角60°，B错误，D错误；C正确；故选C。

7. 在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由图象可知，，在中，，
所以，故选B。

8. 已知-2与1是方程的两个根，且，则的最大值为（）
A. -2
B. -4
C. -6
D. -8
【答案】B
【解析】，得，所以
，
故选B。

点睛：本题考查基本不等式的应用。

由题意得到，代入得，又基本不等式要求，所以变换得到
，得到答案。

9. 关于的不等式只有一个整数解，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
当时，得，不符合题意；
当时，且，解得。

故选C。

点睛：本题考查含参的函数零点问题。

由于参数位于二次项系数位置，所以在讨论的过程中要分讨论，本题中由题意，只需讨论即可，然后根据结合题意，利用数轴分析解集区间，满足题意即可。

10. 已知直角，，，，分别是的中点，将沿着直线翻折至，形成四棱锥，则在翻折过程中，①；②；
③；④平面平面，不可能成立的结论是（）
A. ①②③
B. ①②
C. ③④
D. ①②④
【答案】D
【解析】由题易知，平面时，有成立，故③能成立，又在翻折的过程中，平面与平面的二面角的平面交就是，由翻折轨迹观察，不可能为直角，故④不能成立，
所以由选项可知，①②④不可能成立，故选D。

点睛：本题考查立体几何的翻折问题。

翻折问题关键是找准题目中的变量与不变量，寻找翻折过程中的运动轨迹，结合轨迹图象的特点，就可以得到问题的正确答案。

本题中再结合排
除法可以解得答案。

二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）
11. 已知命题“若，则” ，其逆命题为__________．
【答案】
【解析】逆命题为：“若，则”。

12. 已知空间向量，，若，则__________．
【答案】3
【解析】，得。

13. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．
【答案】12
考点：三视图；球与圆柱的体积公式.
14. 若对任意正实数，都有恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由，可知，解得。

15. 在三棱锥中，底面为正三角形，各侧棱长相等，点分别是棱的中点，且
，则_________．
【答案】
【解析】由题意，又，所以平面，所以，所以。

点睛：本题考查立体几何的垂直关系。

由图形的对称性可知，，由平行传递性可知，
，所以有平面，由线面垂直的性质定理可知，，得到答案。

16. 在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，
，，则当变化时，直线与平面所成角的取值范围是__________．【答案】
【解析】
如图建立空间直角坐标系，得
设平面的法向量，，
所以，得，
又
所以，
所以，
所以，则
17. 已知长方体，，，点是面上异于的一动点，则异面直线与所成最小角的正弦值为_________．
【答案】
【解析】
如图，当时，直线与所成角最小，
，所以。

18. 已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是_________．
【答案】4
【解析】由题意可知，当时，有，所以，
所以。

点睛：本题考查基本不等式的应用。

本题中，关于的不等式恒成立，则当时，有，得到，所以。

本题的关键是理解条件中的恒成立。

三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19. 已知，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】试题分析：;（Ⅱ）由题意可知。

试题解析：
（Ⅰ），
当时，
（Ⅱ）由题意可知
20. 如图，矩形与直角三角形所在平面互相垂直，且，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）过作，垂足为，求证：平面.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（1）连接易知过点，所以. （2），且
.
试题解析：
（Ⅰ）连接易知过点，
在中,
所以.
（Ⅱ）由题意可知,又且，，且
,.
21. 已知，，.
（1）求证：；
（2）求的最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）；（2）。

试题解析：
（Ⅰ）
当且仅当时取等号
（Ⅱ）
当且仅当时取等号.
点睛：本题考查基本不等式的应用。

条件型基本不等式（“1”的应用）的基本方法要知道。

本题中，可知用“1”的妙用，得到
，展开得解。

22. 已知三棱锥，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，，
，二面角的大小为.
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求二面角的正切值.
【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）.
...............
试题解析：
（Ⅰ）过点作底面垂足为，
连接，则∠为所求线面角，
，
平面.则为二面角平面角的补角
∴∠，又，
，直线与面所成角的大小为.
（Ⅱ）过作于点,连接，则为二面角的平面角，
平面,,
设与相交于,
在中，
则二面角的正切值为.
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