【暑假分层作业】第12练 一次函数与几何综合-2022年八年级数学(人教版)(答案及解析)

第12练 一次函数与几何综合
一、单选题
1．如图1，在直角梯形ABCD 中，90B ∠=︒，动点P 从B 点出发，沿B C D A →→→匀速
运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，图象如图2所示，下列说法错误的是（ ）．
A ．当4x =时，16y =
B ．8AB =
C ．梯形ABC
D 的面积为26 D ．当12y =时，3x =
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图象获得信息可判断A ；根据图象得出BC 的长，以及此时三角形ABP 面积，利用三角形面积公式求出AB 的长即可判断B ；由函数图象得出DC 的长，利用梯形面积公式求出梯形ABCD 面积即可判断C ；根据同底等高面积相等可知12y =时，事业P 可AD 上，故可判断D ．
【详解】
解：A.由图象得：x =4时，△ABP 的面积为y =16，故此选项不符合题意；
B. 根据图象得：BC =4，此时△ABP 为16， ∴12AB •BC =16，即1
2×AB ×4=16，
解得：AB =8；故此选项不符合题意；
C. 由图象得：DC =9-4=5，
则S 梯形ABCD =12×BC ×（DC +AB ）=12×4×（5+8）=26，故此选项不符合题意；
D.当12y =时，P 的位置有两处，即x 的值有两个，故此选项错误，符合题意 故选：D
【点睛】
此题主要考查了动点问题的函数图象，梯形的性质，三角形面积，梯形面积公式等知识；弄清函数图象上的信息是解本题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x +4与坐标轴交于A ，B 两点，OC ⊥AB 于点C ，P 是线段OC 上的一个动点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45°，得到线段
AP'，连接CP'，则线段CP′的最小值为（）
A．222
-
-B．1 C．221
-D．22
【答案】A
【解析】
【分析】
由点P的运动确定P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP'与MN垂直时，线段CP'的值最小．
【详解】
解：如图，
∵A，B两点是直线y=﹣x+4与坐标轴的交点，
∴A(0，4)，B(4，0)，
∴三角形OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB
∴C(2，2)，
又∵P是线段OC上的一个动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，
∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一条线段MN，
∴当线段CP'与MN垂直时，线段CP'的值最小，
在△AOB中，AO=AN=4，AB=2
∴NB=424,
又∵Rt△HBN是等腰直角三角形，
∴HB2+HN2=NB2
∴2HB2=NB2，
∴HB =422- ，
∴CP '=OB -BH -xc =4-（422-）-2=222-
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系动点问题，找到最小值是解决问题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0，()2,3-，点()0,C m 在y 轴上，连接AB 、B C ．若2CBA BAO ∠=∠，则m 的值为（ ）
A ．4
B ．92
C ．5
D ．112
【答案】A
【解析】
【分析】 过点B 作BD y ⊥轴于点D ，设AB 与y 轴交于点E ，求得直线AB 的解析式，继而求得E 点
的坐标，根据平行线的性质以及已知条件，可得CBD EBD ∠=∠，证明BDC BDE ≌
△△，即可求得点C 的坐标，从而求得m 的值．
【详解】
过点B 作BD y ⊥轴于点D ，设AB 与y 轴交于点E ，如图，
则点D ()0,3，
设过点,A B 的直线解析式为：y kx b =+，
3204k b k b
=-+⎧⎨=+⎩，
解得122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 的解析式为122
y x =-+， ()0,2E ∴，
,BD OD AO OD ⊥⊥，
//BD AO ∴，90BDE BDC ∠=∠=︒，
DBE BAO ∴∠=∠，
2CBA BAO ∠=∠，
CBD EBD ∴∠=∠，
,90BD BD BDE BDC =∠=∠=︒，
BDC BDE ∴△≌△，
1CD DE ∴==，
()0,4C ∴，
即4m =．
故选A ．
【点睛】
本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴交点问题，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，添加辅助线是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，直线5512
y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点(0,)(05)C a a <<是y 轴上一点．把坐标平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在x 轴上，则a 值为（ ）.
A ．125
B ．512
C ．135
D ．513
【答案】A
【解析】
【分析】
过C 作CD ⊥AB 于D ，先求出A ，B 的坐标，分别为（12，0），（0，5），得到AB 的长，再
根据折叠的性质得到AC 平分∠OAB ，得到CD =CO =a ，DA =OA =12，则DB =13-12=1，
BC =5-a ，在Rt △BCD 中，利用勾股定理得到a 的方程，解方程求出n 即可．
【详解】
解：过C 作CD ⊥AB 于D ，如图，
对于直线
5
5
12
y x
=-+，
当x=0，得y=5,
当y=0，x=12，
∴A（12，0），B（0，5），即OA=12，OB=5，
∴AB2222
12513
OA OB
++，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=a，则BC=5-a，
∴DA=OA=12，
∴DB=13-12=1，
在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，
∴a2+12=（5-a）2，
解得a=12 5
,
故选：A．
【点睛】
本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．
5．甲、乙是由两组一模一样的三个圆柱组合而成的容器，现匀速地向两容器注水至满，在注水过程中，甲、乙两容器水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则实线对应的容器的形状和A点的坐标分别是（）
A ．甲，（132，3）
B ．甲，（335，165 ）
C ．乙，（132，3）
D ．乙，（335，165
） 【答案】B
【解析】
【分析】
首先分别求得各圆柱体的高度，可得出点B 、C 、D 、E 的坐标，再分别求得直线BE 、CD 的解析式，即可求得点A 的坐标．
【详解】
解：由甲、乙组合容器及图象可知：甲容器刚开始注水的高度比乙容器里的水的高度高 故实线对应的容器的形状是甲
由图象可知：注满小圆柱体的时间为10-9=1，注满中型圆柱体的时间为3，注满大圆柱体的时间为9-3=6，小圆柱体的高度为6-4=2，中型圆柱体的高度为2，大圆柱体的高度为4-2=2 如图：
∴B (3,2)，C (6,2)，D (7,4)，E (9,4)
设BE 所在直线的解析式为h =at +b
把B 、E 的坐标分别代入解析式，得
3294
a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得131
a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
故BE 所在直线的解析式为113
h t =+ 设CD 所在直线的解析式为h =mt +n
把C 、D 的坐标分别代入解析式，得
6274
m n m n +=⎧⎨+=⎩ 解得210m n =⎧⎨=-⎩
故CD 所在直线的解析式为210h t =-
113210
h t h t ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 解得335165t h ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故点A 的坐标为3316,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
故选：B
【点睛】
本题考查了函数图象，求一次函数的解析式，两直线的交点坐标，从函数图象中获取相关信息是解决本题的关键．
6．一次函数y kx b =+的图象过点()28P ，
，且分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点O 为坐标原点．当AOB 面积最小时，则k b +的值为（ ）
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16 【答案】B
【解析】
【分析】
令y =k (x -2)+8，进而求出OA =82k -，OB =8-2k ，表示出S △AOB =12(82k -)(8-2k )=16+2(-k -16k )，进而求出面积最小，得出k 和b 的值．
【详解】
解∶令y =k (x -2)+8，
∵一次函数分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，
∴OA ==82k
-，OB =8-2k ，（k <0）
∴S △AOB =12(82k -)(8-2k )=16+2(-k -16k
)， 令a =k -，b =16k -
（k <0）， ∵（a -b ）2≥0，
∴a 2+b 2≥2ab ，当a =b 时，等号成立，
∴-k+（-16k ）≥216()k k
-⨯-=8， ∴16+2(-k -
16k )≥16+2×8=32， 且当-k =-16k
时，面积有最小值， ∴k =-4，
∵一次函数y kx b =+的图象过点()28P ，
， ∴2k +b =8，
将k =-4代入，得b =16，
∴k +b =-4+16=12．
故选：B ．
【点睛】
本题考查一次函数的性质，与坐标轴的交点，以及最值问题，设过点P 的解析式，表示交点坐标并求最值是解决问题的关键．
7．如图，点A 、B 的坐标分别为()0,4、()6,8，点P 为x 轴上的动点，若点B 关于直线AP 的对称点'B 恰好落在x 轴上，则点P 的坐标是（ ）
A ．8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()2,0
D ．()3,0
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理AB 的长，求得B ′的坐标．然后用待定系数法求出直线B B '的解析式，由对称的性质得出AP B B ⊥'，求出直线AP 的解析式，然后求出直线AP 与x 轴的交点即可．
【详解】
解：如图，连接AB 、AB '，
(0,4)A ，(6,8)B ， 2264213AB ∴=+=，
点B 与B ′关于直线AP 对称，
213AB AB ∴'==，
在Rt AOB ∆'中，226B O AB AO '='-=
B ∴'点坐标为(6,0)-或(6,0)，
(0,4)A ，点(6,8)B 关于直线AP 的对称点B ′恰好落在x 轴上，
∴点(6,8)B 关于直线4y =的对称点(6,0)B '，
B ∴'点坐标为(6,0)不合题意舍去，
设直线BB '方程为y kx b =+
将(6,8)B ，(6,0)B '-代入得：6860k b k b +=⎧⎨-+=⎩
， 解得23
k =，4b =， ∴直线BB '的解析式为：243
y x =+， ∴直线AP 的解析式为：342
y x =-+， 当0AP y =时，3402
x -+=，
解得：83
x =， ∴点P 的坐标为：8(,0)3； 故选：A ．
【点睛】
本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法确定一次函数的解析式、轴对称的性质、垂线的关系等知识；本题有一定难度，综合性强，由直线AB 的解析式进一步求出直线AP 的
解析式是解决问题的关键．
8．如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形ABCD 的面积为（）
A．12 B．24 C．10 D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形ABCD的面积为BC×AQ即可求出.
【详解】
解：由图2，得BP=6，S△ABP=12
∴AQ=4
由翻折可知，AQ⊥BP
由勾股定理，得BC=AB22
43
∴菱形ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20
故选：D
【点睛】
本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.
二、填空题
9．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．动点P从点B出发，沿折线
B−A−D−C方向以a单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是______．
【答案】90 【解析】 【分析】
从图2看，AB =3a ，AD =8a -3a =5a =AC ，过点A 作AH ⊥CD 于点H ，在Rt △ADH 中，AD =5a ，AB =3a =CH =DH ，则AH =4a =BC ，当点P 在点D 处时，
S △PCB =S △BCD =12×BC ×CD =12×4a ×6a =12a 2=60，解得a 2=5，则四边形ABCD 的面积=
1
2（AB +CD ）×AH =12
×（3a +6a ）•4a =18a 2=90，即可求解．
【详解】
解：从图2看，AB =3a ，AD =8a -3a =5a =AC ，
过点A 作AH ⊥CD 于点H ，则DH =CH =1
2
CD ，
在Rt △ADH 中，AD =5a ，AB =3a =CH =DH ， 则AH 2253a a -a =BC ，
当点P 在点D 处时，S △PCB =S △BCD =12×BC ×CD =12×4a ×6a =12a 2=60，解得a 2=5， 则四边形ABCD 的面积=12（AB +CD ）×AH =12
×（3a +6a ）•4a =18a 2=90，
故答案为：90． 【点睛】
本题考查的是动点问题函数的图象问题，涉及到等腰三角形性质和勾股定理的运用等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
10．如图，在平行四边形ABCD 中，点A 在y 轴上，点B 、C 是x 轴上的动点，已知点()1,3D ，
()2,2G ，当AB BC CG ++最小时，点B 的坐标为______．
【答案】3
(,0)5
##（0.6，0）
【解析】 【分析】
作G 关于x 轴的对称点G '，连接DG '，交x 轴于C '，连接'C G ，当点C 位于C '处时，AB BC CG ++最小，求出直线DG '的表达式，令0y =，解出C '的坐标，由AD BC =可求得
B 的坐标．
【详解】
作G 关于x 轴的对称点G '，连接DG '，交x 轴于C '，连接'C G ． 当点C 与点C '重合时，AB BC CG ++最小．
(2,2)G ，
∴(2,2)G '-．
设直线DG '的表达式为：y kx b =+．
则223k b
k b -=+⎧⎨=+⎩，解得58k b =-⎧⎨=⎩，
∴直线DG '的表达式为：58y x =-+．
令0y =，则580x -+=，解得8
5x =，
∴8
(,0)5
C '．
四边形ABCD 是平行四边形， ∴1BC AD ==，
∴当AB BC CG ++最小时，点B 的坐标为3
(,0)5．
故答案为：3
(,0)5
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，一次函数的应用，由对称轴确定最短路程问题，解决本题的关键是找出AB BC CG ++取最小值所要满足的条件．
11．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是BC 的中点，动点P 从点C 出发沿CA －AB 运动到点B ，设点P 的运动路程为x ，△PCD 的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为__．
【答案】45【解析】 【分析】
由图象可知：当x =3时，S 等于3，由此可得出CD 的长，进而得出BC 的长；当x =8时，面积最大，且面积发生转折，此时点P 和点A 重合，可得AC =8，最后由勾股定理可得结论． 【详解】
解：由图象可知：当x =3时，CP =3，
S =1
2•PC •CD =3，即1
2×3•CD =3， 解得CD =2， ∵点D 是BC 的中点，
∴BC =4， 当x =8时，面积发生转折，此时点P 和点A 重合， ∴AC =8，
在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =4，AC =8，
由勾股定理可得，2245AB AC BC =+=． 故答案为45． 【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出AC 和BC 的长．
12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4
43
y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点
A 、
B ，以AB 为边作菱形ABCD ，B
C x ∥轴，则菱形ABC
D 的周长是______．
【答案】20 【解析】 【分析】
先求出一次函数与坐标轴的交点A 、B 的坐标，再利用勾股定理或两点间的距离公式计算出线段AB 的长，最后利用菱形的性质计算周长即可． 【详解】
解：令0y =，得4
403
x -+=，解得3x =，∴()3,0A ，OA =3．
令0x =，得4y =，∴()0,4B ，OB =4 ． 在Rt AOB 中，2222345AB OA OB ++=． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC =CD =DA ．
∴44520ABCD C AB ==⨯=菱形． 故答案为：20． 【点睛】
本题是一道函数与几何的综合题．重点考查了一次函数与坐标轴交点坐标的求法，两点间的距离公式（或勾股定理），菱形的性质．如果是使用两点间距离公式，注意公式的正确使用：设点()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点间的距离为()
()2
2
1212AB x x y y =
-+-
13．如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点E 、F 、G 、H 分别在白色直角三角形的斜边上，已知∠ABO ＝90°，OB
＝3，AB＝4，若点A、E、D在同一直线上，则OE的长为______．
【答案】45
37
##
8
1
37
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，得出点A、B、C、D的坐标，利用待定系数法分别求出直线AD，直线OC的解析式，联立解方程组可得点E的坐标，即可求解．
【详解】
解：建立平面直角坐标系如图：
∵∠ABO=90°，OB=3，AB=4，△ABO≌△CDO，
∴OD=OB=3，CD=AB=4，
∴点A(-4，-3) ，B(0，-3) ，C(3，-4) ，D(3，0)，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴
43
30
k b
k b
-+=-
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
3
7
9
7
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
∴直线AD的解析式为
39
77
y x
=-，
设直线OC的解析式为y=mx，把C(3，-4)代入，
∴3m =-4，解得m =-4
3
，
∴直线OC 的解析式为y =-4
3
x ，
联立397743y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得27373637x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
，
∴2736(
)3737
E -，， ∴22273645(
)()373737OE =+=， 故答案为：45
37
． 【点睛】
本题考查全等三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法求函数的解析式，建立平面直角坐标系是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中有两条直线l 1：334
y x =+，l 2：33y x =-+．则AB 与AC 的数量关系为______，若l 2上的一点M 到l 1的距高是2．则点M 的坐标为___________．
【答案】 AB ＝AC ## AC ＝AB (23，1)或(一23，5)## (一23，5) 或(23
，1) 【解析】 【分析】
根据两条直线的函数关系式求出点A ，B ，C 的坐标，然后进行计算即可求出AB 和AC 的值，因为若l 2上的一点M 到l 1的距离是2，所以分两种情况，点M 在BC 边上，点M 在CB 的延长线上，最后利用面积法即可解答． 【详解】
解：把x ＝0代入y ＝3
4
x +3中可得：
y＝0，
∴B（0，3），
把y＝0代入y＝3
4
x+3中可得：
0＝3
4
x+3，
∴x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∴AB＝22
43
＝5 ，
把y＝0代入y＝﹣3x+3中可得：
0＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴C（1，0），
∴AC＝1﹣（﹣4）＝1+4＝5，
∴AB＝AC，
若l2上的一点M到l1的距离是2，
分两种情况：
当点M在BC边上，如图1，
过点M作MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别为D，E，连接AM，∵△ABM的面积+△ACM的面积＝△ABC的面积，
∴1
2AB•DM+1
2
AC•ME＝1
2
AC•BO，
∴5×2+5ME＝5×3，
∴ME＝1，
把y＝1代入y＝﹣3x+3中可得：1＝﹣3x+3，
∴x＝2
3
，
∴M（2
3
，1），
当点M在CB的延长线上，如图2：
过点M作MF⊥AB，MG⊥AC，垂足分别为F，G，连接AM，∵△ABM的面积+△ABC的面积＝△ACM的面积，
∴1
2AB•FM+1
2
AC•BO＝1
2
AC•MG，
∴5×2+5×3＝5MG，
∴MG＝5，
把y＝5代入y＝﹣3x+3中可得：5＝﹣3x+3，
∴x＝﹣2
3
，
∴M（﹣2
3
，5），
综上所述：点M的坐标为：（2
3
，1）或（﹣
2
3
，5）．
故答案为：AB＝AC，（2
3
，1）或（﹣
2
3
，5）．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
15．把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是_____．
【答案】y＝
9
10
x##y＝0.9x
【解析】
【分析】
设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【详解】
解：如图，过A作AB⊥OB于B，则OB＝3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S△AOB＝4+1＝5，
∵OB＝3，
∴1
2
AB•3＝5，
解得：AB＝10
3
，
∴A点坐标为（10
3
，3），
设直线方程为y＝kx，
则3＝10
3
k，
∴k＝
9 10
，
∴直线l解析式为y＝
9
10
x．
故答案为：y＝
9
10
x．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求一次函数及坐标点，熟练运用待定系数法是解题的关键．
16．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P(1，1)，C为y轴上一点，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，∠CPD＝90°，PC＝PD，过点D作线段AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则Q点的坐标是_______．
【答案】(9
4
，
9
4
)
【解析】
【分析】
过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP ＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，由两点坐标公式求出PC＝PD＝5，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】
过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
CMP DMP MCP DPN PC PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△MCP ≌△NPD （AAS ），
∴DN ＝PM ，PN ＝CM ，
∵BD ＝2AD ，
∴设AD ＝a ，BD ＝2a ，
∵P （1，1），
∴DN ＝2a ﹣1，
则2a ﹣1＝1，
∴a ＝1，即BD ＝2．
∵直线y ＝x ，
∴AB ＝OB ＝3，
∴点D （3，2）
∴PC ＝PD
=
在Rt △MCP 中，由勾股定理得：CM
2，
则C 的坐标是（0，3），
设直线CD 的解析式是y ＝kx +3，
把D （3，2）代入得：k ＝13
-， 即直线CD 的解析式是y ＝133
x -+， ∴组成方程组133y x y x
⎧=+⎪⎨⎪=⎩， 解得：9494x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴点Q (94，94
)， 故答案为：(94，94
)． 【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行
推理和计算的能力．
三、解答题
17．已知，在平面直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y ax b a =+≠经过点A （1，2），与x 轴交于点B （3，0）．
(1)求该直线的解析式；
(2)过动点(0)P n ，且垂直于y 轴的直线与直线l 交于点C ，若PC AB ≥，直接写出n 的取值范围．
【答案】(1)3y x =-+
(2)3n ≤-3n ≥+【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法求解析式 ；（2）根据P 点的坐标，表示出C 的坐标，表示出PC 的长度，根据PC AB ≥列出不等式即可解出n 的取值范围．
(1)
解：将点A （1，2），B （3，0）带入:(0)l y ax b a =+≠得：
230a b a b +=⎧⎨+=⎩
， 解得13
a b =-⎧⎨=⎩， ∴直线l 的表达式为3y x =-+．
(2)
解：∵A （1，2），B （3，0）
∴AB
∵PC ⊥y 轴，当y n =时3x n -+=
解得3x n =-
∴C （3n -，n ） ∴3PC n =-
∵PC AB ≥
∴3n -≥ 即3n -≥3n -≥
解得3n ≤-3n ≥+
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，根据题意列出不等式是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线6y x =-+交x 轴于点C ，交y 轴
于点A ，点B 在x 轴负半轴，2OC OB =．
(1)求直线AB 的解析式；
(2)点P 在AB 上，且点P 在第二象限，点P 的横坐标为t ，过点P 作x 轴的平行线交AC 于
点D ，设线段PD 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式，不要求写出自变量t 的取值范围．
(3)在（2）的条件下，过点D 作x 轴的垂线，点E 为垂足，过点E 作AB 的平行线交y 轴于点F ，连接PE 交y 轴于点G ，若2FG GE =，求d 值．
【答案】(1)26y x =+
(2)3d t =-
(3)3d =
【解析】
【分析】
（1）先根据AC 的函数求出点A 、C 的坐标，再根据2OC OB =得出点B 的坐标，根据待定系数法求出直线AB 的解析式即可；
（2）先求出点P 的纵坐标，根据PD x 轴，得出点D 的纵坐标，根据AC 的关系式，求出点D 的横坐标，即可得出d 与t 的函数关系式；
（3）先求出点E 的坐标，根据EF AB ∥，求出EF 的关系式，得出点F 的坐标，根据P 、E 的坐标求出PE 的关系式，得出点G 的坐标，用t 表示出FG 和EG ，根据2FG GE =，得出关于t 的方程，解方程得出t 的值，即可求出d 的值．
(1)
解：把0x =代入6y x =-+得：6y =，
∴点A 的坐标为（0，6），
把0y =代入6y x =-+得：60x -+=，解得：6x =，
∴点C 的坐标为（6，0），
∴6OC =，
∵2OC OB =，
∴3OB =，
∴点B 的坐标为（-3，0），
设直线AB 的解析式为y kx b =+，把A 、B 两点的坐标代入得：630b k b =⎧⎨-+=⎩
， 解得：26k b =⎧⎨=⎩
， ∴直线AB 的解析式为26y x =+．
(2)
把x t =代入26y x =+得：26y t =+，
∵PD x 轴，
∴点D 的纵坐标与点P 的纵坐标相等，
∴把26y t =+代入6y x =-+得：266t x +=-+，解得：2x t =-，
∴23PD t t t =--=-，
即3d t =-．
(3)
根据解析（2）可知，D 点的横坐标为-2t ，点P 的坐标为：（t ，2t +6）
∴点E 的坐标为：（-2t ，0），
∵EF AB ∥，
∴设EF 关系式为：12y x b =+，
把E （-2t ，0）代入得：104t b =-+，
解得：14b t =，
∴点F 的坐标为：（0，4t ），
设PE 的解析式为：22y k x b =+，把P （t ，2t +6），E （-2t ，0）代入得：
22222620tk b t tk b +=+⎧⎨-+=⎩，解得：22263443t k t b t +⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，
∴点G 的坐标为：4043t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，， ∴4844433
FG t t t =+-=-+， 2
22224443EG OE OG t t ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， ∵2FG GE =，
∴224FG GE =，
22284444333t t t ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-+=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， 解得：1t =-或3t =-，
∵点P 在第二象限内，
∴30t -＜＜，
∴3t =-舍去，
∴()3313d t =-=-⨯-=．
【点睛】
本题是综合题，其中涉及到利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，平面直角坐标系内两点间的距离公式，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
19．如图1，点P 为数轴上任意一点，其对应的实数为x ，点P 的位置用P （x ，0）表示，点P 由左到右、从负半轴向正半轴运动时，点P 到原点O 的距离先变小再变大，当点P 的位置确定时，点P 到原点的距离也唯一确定．
(1)设点P（x，0）到点A（2，0）的距离为d，可发现d是x的函数．当x=______时，d取最小值；
(2)设点P（x，0）到点O（0，0），A（2，0）的距离之和为y．
①在平面直角坐标系中画出表示变量y和x之间关系的图像；
②y是否是x的函数？为什么？
③当y<5时，x的取值范围是______
【答案】(1)2
(2)①见解析；②y是x的函数，理由见解析；③−3
2
＜x＜
7
2
【解析】
【分析】
（1）当A，P重合时，d=0最小，此时x=2；
（2）①分x＜0，0≤x≤2，x＞2三种情形，写出函数解析式，分别画出函数图像即可利用图像法可得结论；
②根据函数的定义判断即可；
③利用图像法解决问题即可．
(1)
解：当A，P重合时，d=0最小，此时x=2．
故答案为：2．
(2)
解：①由题意，y=
22(0)
2(02)
22(2)
x x
x
x x
-+<
⎧
⎪
≤≤
⎨
⎪->
⎩
，
如图所示：
②y 是x 的函数，因为对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应；
③观察图像可知，当y ＜5时，满足条件的x 的取值范围为：−32＜x ＜72
． 故答案为：−32＜x ＜72
． 【点睛】
本题考查函数图像，函数关系式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．在平面直角坐标系xOy 中，直线334
y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，将AOB 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在x 轴的负半轴上，记作点C ，折痕与y 轴交于点D ． （1）点C 的坐标为________；
（2）则直线AD 的解析式为________．
【答案】 ()1,0- 1433y x =-+ 【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理求得AB =5，以A 为顶角顶点，AB 为腰构造等腰三角形，交x 轴负半轴与点C ，从而确定OC =1，根据点的位置转化为坐标即可．
（2）利用中点坐标公式，确定中点E 的坐标，再利用待定系数法确定即可．
【详解】
（1）∵ 直线334
y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，
∴A （4，0），B （0，3），
∴OA =4，OB =3，
根据勾股定理，得AB 22345+=，
以A 为顶角顶点，AB 为腰构造等腰三角形，交x 轴负半轴与点C ，
∴AC =AB =5，
∴OC =1，
∴点C 的坐标为（-1，0），
故答案为：（-1，0）．
（2）设BC 的中点为E ，
∵ C （-1，0），B （0，3），
∴E （12-，32
）， 设直线AD 的解析式为y =kx +b ， ∴132240
k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得1343k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴直线AD 的解析式为1433
y x =-+， 故答案为：1433
y x =-+． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，一次函数与坐标轴的交点，中点坐标公式，待定系数法确定解析式，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用待定系数法是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x b =-+与x 轴交于点()1,0A -．
(1)求b 的值；
(2)过第二象限的点(),2P n n -作平行于x 轴的直线，交直线2y x b =-+于点B ，交直线3x =-于点C ．
①当1n =-时，用等式表示线段PC 与PB 的数量关系，并说明理由；
②当10n -<<时，结合函数的图象则有PC ______2PB （填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】(1)-2
(2)① PC ＝2PB ；见解析；② ＞
【解析】
【分析】
（1）把A （−1，0）代入函数y ＝−2x ＋b ，即可求出b 的值；
（2）①求出PC 和PB ，即可判断PC 和PB 之间的关系；
②求出B 点的坐标（n −1，−2n ），可得PB ＝1，PC ＝n ＋3，根据−1＜n ＜0即可求解．
(1)
∵直线y ＝−2x ＋b 与x 轴交于点A （−1，0）．
∴2＋b ＝0．
∴b ＝−2；
(2)
PC ＝2PB ．理由如下：
当n＝−1时，点P的坐标为（−1，2），
∵过第二象限的点P（−1，2）作平行于x轴的直线，交直线y＝−2x−2于点B，交直线x＝−3于点C．
∴点B的坐标为（−2，2），点C的坐标为（−3，2）．
∴PB＝1，PC＝2．
∴PC＝2PB；
②如图，
∵过第二象限的点P（n，−2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝−2x−2于点B，交直线x ＝−3于点C．
∴点B的坐标为（n−1，−2n），点C的坐标为（−3，−2n）．
∴PB＝1，PC＝n＋3．
∵−1＜n ＜0，
∴2＜n ＋3＜3，
∴PC ＞2PB ．
故答案为：＞．
【点睛】
本题主要考查了一次函数上点的坐标特点，熟悉一次函数图象上点的特点是解答此题的关键．
22．如图，点A （1，4）在正比例函数y mx =的图象上，点B （3，n ）在正比例函数23
y x =的图象上．
(1)求m ，n 的值；
(2)在x 轴找一点P ，使得P A ＋PB 的值最小，请求出P A ＋PB 的最小值．
【答案】(1)4,m =2n =
(2)10【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解m 、n 值即可；
（2）作点A 关于x 轴对称的点A '，连接A B '，交x 轴于点P ，此时P A ＋PB 的值最小， 最小值为P A ＋PB ＝PA PB A B ''+=．过点A '作A H '∥x 轴，过点B 作B H '∥y 轴，A H '和B H '相交于点H ，求出A B '的长即可．
(1)
解：∵点A （1，4）在正比例函数y mx =的图象上，点B （3，n ）在正比例函数23y x =的图象上．
∴241,33m n =⨯=⨯ ∴4,m =2n =．
解：作点A （1，4）关于x 轴对称的点1-4A '（，）
，连接A B '，交x 轴于点P ，此时P A ＋PB 的值最小， P A ＋PB ＝PA PB A B ''+=．
过点A '作A H '∥x 轴，过点B 作B H '∥y 轴，A H '和B H '相交于点H ，
在Rt △A HB '中，∠H ＝90°， 则222226210A B A H BH =+=+=''，
∴P A ＋PB 的最小值为210 ．
【点睛】
本题考查正比例函数图象上点的坐标特征、最短路径问题、坐标与图形变化、勾股定理，熟练掌握最短路径的解题方法是解答的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线()1:0l y kx b k =+≠与直线2:l y x =交于点()2,A a ，与y 轴交于点()0,6B ，与x 轴交于点C ．
(1)求直线1l 的函数表达式；
(2)求△AOC 的面积；
(3)在平面直角坐标系中有一点()5,P m ，使得AOP AOC S
S =，请求出点P 的坐标．
【答案】(1)y =-2x +6
(3)（5，2）或（5，8）
【解析】
【分析】
（1）先求点A坐标，再用待定系数法求函数解析式．
（2）求点C坐标，以OC为底，点A到x轴距离为高计算．
（3）观察面积相等两个三角形，有公共边OA，故可看作是以OA为底，高相等．所以点P 在与OA平行的直线上，且到直线OA距离等于点C到OA距离．其中一条即为过点C的直线，根据平移，另一条经过点C关于A的对称点．求出直线后，把x=5代入即求出点P坐标．
(1)
∵点A（2，a）在直线l2：y=x上，
∴a=2，即A（2，2），
∵直线l1：y=kx+b过点A（2，2）、点B（0，6），
∴
22
6
k b
b
+
⎧
⎨
⎩
＝＝
解得：
2
6
k
b
-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴直线直线l1的函数表达式为：y=-2x+6；
(2)
令y=-2x+6=0，解得：x=3，
∴点C（3，0）即OC=3，
∴S△AOC=1
2OC•yA=1
2
×3×2＝3，
(3)
∵S△AOP=S△AOC，
∴当以AO为底边时，两三角形等高，
∴过点P且与直线AO平行的直线l3为：y=x+d，
①直线l3过点C（3，0），得l3为：y=x-3，
当x=5时，m=5-3=2，
∴点P（5，2），
②点C（3，0）关于点A（2，2）的对称点为（1，4），直线l3过点（1，4），得l3为：y=x+3，
当x=5时，m=5+3=8，
∴点P（5，8）
综上所述，点P 坐标为（5，2）或（5，8）
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形面积，考查了分类讨论思想．三角形面积相等底相等即高相等是解题关键．
24．如图1，图形l 外一点P 与图形l 上各点连接的所有线段中，若线段1PA 最短，则线段1PA 的长度称为点P 到图形l 的距离．
(1)观察：如图2中，线段1PA 的长度是点1P 到线段．．AB 的距离；线段的长度是点2P 到线段AB
的距离．
(2)如图3，在平面直角坐标系中，点A 、B 、D 的坐标分别为（2，1）、（3，2）、（5，0），直线AB 与x 轴相交于点C ．点P （a ，0）（a ＞0）为x 轴上一动点，设点P 到线段AB 的距离为d ．
发现：①BCD ∠= °；
②若2a =，求d 的值；
(3)尝试：若2d =a 的值；
(4)拓展：若点P 在线段OD 上运动，且d 为整数，请直接写出a 的值．
【答案】(1)2P H
(2)①45；②1d =
(3)a 的值为1或3 (4)23或2或22+1
【解析】
【分析】
（1）根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”分析判断即可； （2）①利用待定系数法求直线AB 的解析式，进而得到点C 的坐标，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，利用等腰直角三角形的判定与性质可得出结论；②利用新定义解答即可；
（3）利用分类讨论的思想，分两种情况：①当点P 在点E 左侧时，②当点P 在点E 右侧时，利用新定义的意义解答即可；
（4）利用分类讨论的思想，分三种情况：①点P 在点E 左侧时，②点P 与点E 重合时，③点P 在点E 右侧时，利用d 为整数，令2d =、1d =、2d =，利用勾股定理求出线段PE 、
PC 的长度，进而求得线段OP 的长，则结论可得．
(1)
解：由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”可知，线段2P H 的长度是点2P 到线段AB 的距离．
故答案为：2P H ；
(2)
① 设直线AB 的解析式为y kx b =+，将点A （2，1）、B （3，2）代入，
可得2132k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得11k b =⎧⎨=-⎩
， ∴直线AB 的解析式为1y x =-，
令0y =，则10x -=，解得1x =，
∴C （1，0），
∴1OC =，
过点A 作AE ⊥CD 于点E ，如图1，则E （2，0），
∴2OE =，1AE =，
∴1CE OE OC =-=，
∴AE CE =，
∴45BCD CAE ∠=∠=︒．
故答案为：45；
②若2a =，点P 与点E 重合，
∴线段AE 的长度为点P 到线段AB 的距离d ，
∴1d AE ==；
(3)
①当点P 在点E 的左侧时，P A 的长为P 到线段AB 的距离d ， ∵222AC AE CE +2
∴点P 与点C 重合，
∴1a =；
②当点P 在点E 的右侧时，点P 到线段AB 的垂线段的长度为P 到线段AB 的距离d ，
过点A 作AF ⊥AB 交x 轴于点F ，如图2，
∵45BCD ∠=︒， ∴22CF AC ==，2AF AC ==，
∴点P 与点F 重合，
∵3OF OC CF =+=，
∴P （3，0），即a ＝3．
综上所述，若2d =，a 的值为1或3；
(4)
（4）①当点P 在点E 的左侧时，P A 的长为点P 到线段AB 的距离d ，
∵PA AE >，d 为整数，
∴当2d =时，即2PA =，如图3，
∴223PE PA AE =-=，
∴23OP OE PE =-=-，
∴P （23-，0），即23a =-；
②当点P 与点E 重合时，1PA d ==，符合题意，
∴P （2，0），即a ＝2；
③当点P 在点E 的右侧时，点P 到线段AB 的垂线段的长度为P 到线段AB 的距离d ， 过点P 作PH ⊥AB 于点H ，如图4，当2d =时，即2PH =，
∵45BCD ∠=︒，
∴222CP PH ==，
∴221OP OC CP =+=+，
∴221a =+，
当3d =时，即3PH =，
∵45BCD ∠=︒，
∴232CP PH ==，
∴3215OP OC CP =+=+>，不合题意．
综上所述，若点P 在线段OD 上运动，且d 为整数，则a 的值为23-或2或22+1．。