2019-2020年沈阳市郊联体高二上册期末数学试卷(理科)(有答案)

辽宁省沈阳市郊联体高二上期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）抛物线2=2y的准线方程为（）
A．y=﹣1 B．=﹣1 C．D．
2．（5分）下列说法正确的是（）
A．若命题p：∃∈R，2++1＜0，则¬p：∀∈R，2++1＞0
B．命题已知，y∈R，若+y≠3，则≠2或y≠1是真命题
C．设∈R，则2+≥0是﹣1≤≤3的充分不必要条件
D．∀、y∈R，如果y=0，则=0的否命题是∀、y∈R，如果y=0，则≠0
3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8只有一个公共点，这样的直线共有（）
A．0条B．1条 C．2条 D．3条
4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）
A． B．C．D．
6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）
A．B．C．D．
7．（5分）（2+3+2）6展开式中的系数为（）
A．92 B．576 C．192 D．384
8．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）
A．B．C．D．
9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）
A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.142
10．（5分）过抛物线y2=2p（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）
A．B．C． D．
11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）
A．﹣4 B．C．4 D．6
12．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表
示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）
A．②③B．①④C．①③D．②④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为．
14．（5分）在平面直角坐标系oy中，已知双曲线的渐近线方程为4﹣3y=0，且它与椭圆
有相同的焦点，则该双曲线方程为．
15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．
16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线2=﹣16y交于A、B两点，若
为定值，则m=．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，命题P：∀∈[1，2]，2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．
（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：
（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；
（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人自第二组的概率；
（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：+6=0的距离小2．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．
20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：
（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失∈[0，2000]则取=1000，且=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如
下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
附：临界值表参考公式：．
21．（12分）已知椭圆T：的离心率为，若椭圆T与圆=1
相交于M，N两点，且圆P 在椭圆T内的弧长为π．
（1）求a，b的值；
（2）过椭圆T的中心作两条直线AC，BD交椭圆T于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为1，BD的斜率为2，且12=．
①求直线AB的斜率；
②求四边形ABCD面积的取值范围．
22．（12分）在平面直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．
（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．
辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）抛物线2=2y的准线方程为（）
A．y=﹣1 B．=﹣1 C．D．
【解答】解：抛物线2=2y的准线方程为：y=﹣，
故选：D．
2．（5分）下列说法正确的是（）
A．若命题p：∃∈R，2++1＜0，则¬p：∀∈R，2++1＞0
B．命题已知，y∈R，若+y≠3，则≠2或y≠1是真命题
C．设∈R，则2+≥0是﹣1≤≤3的充分不必要条件
D．∀、y∈R，如果y=0，则=0的否命题是∀、y∈R，如果y=0，则≠0
【解答】解：对于A，命题p：∃∈R，2++1＜0，则¬p：∀∈R，2++1≥0，故A错误；
对于B，命题已知，y∈R，若+y≠3，则≠2或y≠1的逆否命题为：
已知，y∈R，若=2且y=1，则+y=3，是真命题，则原命题是真命题，故B正确；
对于C，设∈R，由2+≥0，得≥﹣2，当=4时，不满足﹣1≤≤3，故C错误；
对于D，∀、y∈R，如果y=0，则=0的否命题是∀、y∈R，如果y≠0，则≠0，故D错误．故选：B．
3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8只有一个公共点，这样的直线共有（）
A．0条B．1条 C．2条 D．3条
【解答】解：由题意可知点（﹣2，﹣4）在抛物线y2=﹣8上，
故过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8只有一个公共点时只能是：
i）过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8相切，
ii）过点（﹣2，﹣4）且平行于对称轴．
故选：C．
4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵双曲线
∴双曲线的渐近线方程为y=±，即a±by=0
∵双曲线一个焦点到一条渐近线的距离为，
∴右焦点F（0，c）到渐近线a±by=0的距离d==，
解之得b=，即，化简得c2=a2
因此，该双曲线的标准离心率为e==
故选：C．
5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）
A． B．C．D．
【解答】解：20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，
设事件A表示“其中一枚为5角硬币”，事件B表示“另一枚也是5角硬币”，
则P（A）=1﹣=，
P（AB）==，
∴其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为：
P（B|A）===．
故选：D．
6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到
黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，
小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，
小球落入A袋中的概率为：
P（A）=1﹣P（B）
=1﹣（）
=．
故选：D．
7．（5分）（2+3+2）6展开式中的系数为（）
A．92 B．576 C．192 D．384
【解答】解：（2+3+2）6 表示6个因式开式（2+3+2）的乘积，
其中一个因式取3，其余的都取2，可得展开式中的系数为•3•25=576，
故选：B．
8．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设N（0，y0），由题意可得M（0，y0），
设P（，y），由点P满足，
可得（，y﹣y0）=（0，0），
可得=0，y=y0，
即有0=2，y0=y，
代入圆C：2+y2=8，可得．
即有点P的轨迹方程为．
故选：B．
9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）
A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.142
【解答】解：2+y2+2＜1发生的概率为π×13×=，
当输出结果为524时，i=1001，m=527，2+y2+2＜1发生的概率为P=，
∴=，
即π=3.144，
故选：A．
10．（5分）过抛物线y2=2p（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）
A． B．C． D．
【解答】解：抛物线y2=2p（p＞0）的焦点坐标为（，0），
∵直线l倾斜角为30°，
∴直线l的方程为：y﹣0=（﹣）．
设直线与抛物线的交点为A（1，y1）、B（2，y2），
∴|AF|=1+，|BF|=2+，
联立方程组，消去y并整理，得42﹣28p+p2=0，
解得1=p，2=p，或2=p，1=p，
当1=p，2=p时，
∴|AF|=1+=（4+2）p，|BF|=2+=（4﹣2）p，
∴|AF|：|BF|==7+4，
当2=p，1=p时，
∴|AF|：|BF|==7﹣4，
故选：C．
11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）
A．﹣4 B．C．4 D．6
【解答】解：设A（1，y1），B（2，y2），D（0，y0），则1+2=20，y1+y2=2y0．
由A，B在双曲线，则，相减可得=×=×=×，
∴AB=，即=2OD．同理可得=2OE，=2OF．
∴=2（OD+OE+OF）=2×（﹣2）=﹣4．
故选A．
12．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）
A．②③B．①④C．①③D．②④
【解答】解：由图可知a2＞a1、c2＞c1，从而a1+c1＜a2+c2；根据a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|可知a1﹣c1=a2﹣c2∴①正确，②不正确．
∴a1+c2=a2+c1，∴（a1+c2）2=（a2+c1）2，
即a12﹣c12+2a1c2=a22﹣c22+2a2c1，
∴b12+2a1c2=b22+2a2c1，
∵b1＜b2，∴c1a2＜a1c2，∴③不正确；
此时④，∴④正确．
故选：B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为91．
【解答】解：样本间隔为2000÷100=20，则抽出的号码为11+20（﹣1），
则第五组号码为11+20×4=91，
故答案为：91．
14．（5分）在平面直角坐标系oy中，已知双曲线的渐近线方程为4﹣3y=0，且它与椭圆
有相同的焦点，则该双曲线方程为．
【解答】解：椭圆的焦点为（±5，0），
双曲线的焦点坐标在轴上．
则双曲线的c=5，即a2+b2=25，
由双曲线的渐近线方程为4﹣3y=0，
则3b=4a，
解得，a=3，b=4．
则双曲线的方程为．
故答案为：．
15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是
．
【解答】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，﹣b）、=（﹣c，﹣b），
由∠B1PB2为钝角知道与的数量积大于0，所以有：﹣ac+b2＞0，
把b2=a2﹣c2代入不等式得：a2﹣ac﹣c2＞0，除以a2得1﹣e﹣e2＞0，
即e2+e﹣1＞0，解得，
又0＜e＜1，所以0＜e＜，
故答案为：．
16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线2=﹣16y交于A、B两点，若
为定值，则m=﹣8．
【解答】解：设A（1，y1），B（2，y2），
存在满足条件的点P（0，m），直线l：y=t+m，有，消y可得2+16t+16m=0，
由△=162t2﹣4×16m＞0可得4t﹣m＞0
∴1+2=﹣16t，12=16m，
∴|AP|2=12+（y1﹣m）2=12+t212=（1+t2）12，
|BP|2=22+（y2﹣m）2=（1+t2）22，
∴=+=•=•
当m=﹣8时，为定值，
故答案为：﹣8．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知a∈R，命题P：∀∈[1，2]，2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．
（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）若q为真命题时：（a+1）（a﹣2）＜0，∴﹣1＜a＜2，∴a∈（﹣1，2）；（2）若p为真命题时：a≤（2）min∈[1，2]，∴a≤1，
p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，
即或，
解得1＜a＜2或a≤﹣1，∴a的范围为（1，2）∪（﹣∞，﹣1]．
18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：
（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；
（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人自第二组的概率；
（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）第一组学生身高的中位数为，
第二组学生身高的中位数为；
（2）记“这2名男生至少有1人自第二组”为事件A，，
∴这2名男生至少有1人自第二组的概率为；
（3）的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
∴的分布列为
．
19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：+6=0的距离小2．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．
【解答】解：（1）由题意知动点M到（4，0）的距离比它到直线l：=﹣6的距离小2，
即动点M到（4，0）的距离与它到直线=﹣4的距离相等，
由抛物线定义可知动点M的轨迹为以（4，0）为焦点的抛物线，
则点M的轨迹方程为y2=16；
（2）法一：由题意知直线AB的斜率显然不能为0，
设直线AB的方程为=ty+m（m≠0）A（1，y1），B（2，y2），
联立方程，消去，可得y2﹣16ty﹣16m=0，
△＞0即4t2+m＞0，y1+y2=16t，y1y2=﹣16m，，
由题意知OA⊥OB，即，则12+y1y2=0，
∴m2﹣16m=0，∵m≠0，∴m=16，
∴直线AB的方程为=ty+16，
∴直线AB过定点，且定点坐标为（16，0）；
法二：假设存在定点，设定点P（0，0），A（1，y1），B（2，y2）（y1y2≠0），
∵OA⊥OB
，∴，∴12+y1y2=0，
又∵A、B在抛物线上，即代入上式，可得，∴y1y2=﹣256，又∵A、B、P 三点共线，∴，∴，
∴假设成立，直线AB经过轴的定点，坐标为（16，0）．
20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：
（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失∈[0，2000]则取=1000，且=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
附：临界值表参考公式：．
ξ
的所有可能取值为
2000，4000，6000，8000，10000，
，
P （ξ=10000）=0.22=0.04， 所以
ξ的分布列为
（2）
，∴有95%以上的把握认为捐款数额多于
或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．
21．（12分）已知椭圆T ：
的离心率为
，若椭圆T 与圆
=1
相交于M ，N 两点，且圆P 在椭圆T 内的弧长为π． （1）求a ，b 的值；
（2）过椭圆T 的中心作两条直线AC ，BD 交椭圆T 于A ，C 和B ，D 四点，设直线AC 的斜率为1，BD 的斜率为2，且12=． ①求直线AB 的斜率；
②求四边形ABCD 面积的取值范围．
【解答】解：（1）由圆P 在椭圆T 内的弧长为
，则该弧所对的圆心角为
，
M、N的坐标分别为，
设c2=a2+b2，由可得，
∴a2=4b2，
则椭圆方程可记为+=1，
将点（﹣1，）代入得，
∴b2=1，a2=4，
∵a＞b＞0，
∴a=2，b=1；
（2）①由（1）知椭圆方程可记为，
由题意知直线AB的斜率显然存在，设直线AB的方程为：y=+m，设A（1，y1），B（2，y2），
联立，消去y，可得（1+42）2+8m+4m2﹣4=0，
由△＞0，即16（1+42﹣m2）＞0，
∴，
∴，∵，
∴，
即12=4y1y2，
∴42=1，
∴=±；
②，
O到直线AB的距离，
四边形ABCD面积，
∵m2∈（0，1）∪（1，2），
∴四边形ABCD面积S∈（0，4）．
22．（12分）在平面直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．
（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．
【解答】解：（1）设点P的极坐标（ρ，θ）（ρ＞0），点M的极坐标（ρ1，θ）（ρ1＞0），
由题意可知，
由|OP||OM|=4得曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ（ρ＞0），
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程为2+（y﹣1）2=1（y≠0）；
（2）法一：由直线的参数方程可知，直线l过原点且倾角为α，
则直线l极坐标方程为θ=α，联立，
∴A（2sinα，α），
∴，
∴或，
∴或，
∴直线l得斜率为或；
法二：由题意分析可知直线l的斜率一定存在，且由直线l的参数方程可得，
直线l过原点，设直线l的普通方程为y=，
∴C2到l的距离，
可得，
∴直线l得斜率为或．。