高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第五节抛物线及其性质课件文新人教a版
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第50课 抛物线教师用书
第50课抛物线[最新考纲]1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．1516 [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116， 设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.]3．抛物线y ＝14x 2的准线方程是________．y ＝－1 [∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.]4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________． (1,0) [抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]5．(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．9 [设点M 的横坐标为x ，则点M 到准线x ＝－1的距离为x ＋1，由抛物线的定义知x ＋1＝10，∴x ＝9，∴点M 到y 轴的距离为9.](1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，点A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________.(2)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则AC ＋BD 的最小值为__________．(1)1 (2)2 [(1)由y 2＝x ，知2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线l 的方程为x ＝－14. 设点A (x 0，y 0)到准线l 的距离为d ，则由抛物线的定义可知d ＝AF . 从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1.(2)由y 2＝4x ，知p ＝2，焦点F (1,0)，准线x ＝－1. 根据抛物线的定义，AF ＝AC ＋1，BF ＝BD ＋1. 因此AC ＋BD ＝AF ＋BF －2＝AB －2.所以AC ＋BD 取到最小值，当且仅当AB 取得最小值， 又AB ＝2p ＝4为最小值． 故AC ＋BD 的最小值为4－2＝2.][规律方法] 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，由定义易得PF ＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为AB ＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出．[变式训练1] 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4 FQ →，则QF ＝________.【导学号：62172274】3 [∵FP →＝4 FQ →， ∴FP ＝4FQ ，∴PQ PF ＝34. 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则AF ＝4， ∴PQ PF ＝QQ ′AF ＝34，∴QQ ′＝3.根据抛物线定义可知QF ＝QQ ′＝3.]如图直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．图501[解] 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2pk2.∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由OA ＝1，OB ＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2k 2＋＝64， ②②÷①得k 6＝64，即k 2＝4. 则p 2＝16k2k 2＋＝45. 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .[规律方法] 1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．[变式训练2] 写出适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点与双曲线3x 2－y 2＝3的一个焦点重合； (2)焦点到准线的距离为3.[解] (1)∵双曲线3x 2－y 2＝3的焦点坐标为(±2,0)， 当焦点坐标为(2,0)时，抛物线的标准方程为y 2＝8x ； 当焦点坐标为(－2,0)时，抛物线的标准方程为y 2＝－8x . 综上可知，抛物线的标准方程为y 2＝±8x .(2)由题意可知p ＝3，故2p ＝6，故所求抛物线的标准方程为y 2＝±6x 或x 2＝±6y .1122是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 【导学号：62172275】[证明] (1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，得1AF ＋1BF ＝ABp 24＋p2AB －p ＋p24＝2p(定值)． (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF ) ＝12AB . 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．[规律方法] 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点解题，同时要注意抛物线定义的应用，如焦点弦问题：AB ＝x 1＋x 2＋p ，其中A ，B 为焦点弦的两个端点．[变式训练3] 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若AF ＝3，则△AOB 的面积为________．322[由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，AF ＝x 1＋1＝3， ∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4. ∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.][思想与方法]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．2．抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用．3．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则AB ＝2psin 2θ＝x 1＋x 2＋p . [易错与防范]1．认真区分四种形式的标准方程．(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．3．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切．课时分层训练(五十) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)1．(2016·四川高考改编)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是________． (1,0) [由y 2＝4x 知p ＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]2．已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在抛物线C 上，若AF ＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为________．3 [由题意易知F (1,0)，F 到准线的距离为2，A 到准线的距离为AF ＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为2＋42＝3.]3．(2017·南京模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________. 【导学号：62172276】32 [由双曲线x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0， 又y 2＝4x 的焦点F (1,0)， ∴焦点F 到直线的距离d ＝332＋－2＝32.] 4．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是________．y 2＝±42x [因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，p ＝2 2.所以抛物线方程为y 2＝±42x .]5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长AB 为__________．8 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.所以x 1＋x 2＝6，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]6．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为__________．－34 [∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上． ∴－p2＝－2，∴p ＝4，焦点F (2,0)．∴k AF ＝3－0－2－2＝－34.]7．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．x ＝－2 [由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5，所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2. 因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.依题意，得p2＝2，于是抛物线的准线x ＝－2.]8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为__________. 【导学号：62172277】5 [如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．连结AF 交抛物线于点P ，此时最小值为AF ＝[1－－2＋－2＝ 5.]9．如图502，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a＝__________.图5022＋1 [由题意可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b ，b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，ba＝2＋1(舍去2－1)．] 10．(2017·徐州模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝__________.2 3 [y 2＝2px 的准线为x ＝－p2.由于△ABF 为等边三角形． 因此不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，p 3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－p 3. 又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1， 从而p 23－p 24＝1，所以p ＝2 3.]11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于________． －4 [①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.y 1y 2＝－p 2，∴y 1y 2x 1x 2＝－4.] 12．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为________. 【导学号：62172278】y 2＝4x 或y 2＝16x [由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，点M (x 0，y 0)． 则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2. 由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0， 因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4. 由MF ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5， 又p >0，解得p ＝2或p ＝8. 故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .]B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.12 [∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， ∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0， ∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212. 由于AB ＝x A ＋x B ＋p ，∴AB ＝212＋32＝12.] 2．(2016·全国卷Ⅰ改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．4 [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵AB ＝42，DE ＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p 2， ∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.]3．(2017·南京模拟)如图503，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________．图503y 2＝3x [如图，分别过A ，B 作AA1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .] 4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为________．2 3 [如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由PF ＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12OF |y 0|＝12×2×26＝2 3.] 5．(2017·南通调研)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则PQ ＋PN 的最小值为________．3 [由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，所以N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则PQ ＋PN 的最小值等于MH －1＝3.]6．已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．x －y －1＝0 [依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0.]。
高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第5节 抛物线课件 理
|EG|= | AC | | BD | = | AF | | FB | = | AB | =5,
2
2
2
|EH|=|EG|-1=4.则 AB 的中点到 y 轴的距离等于+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是( )
第5节 抛物线
最新考纲 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何 性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.理解数形结合 的思想. 3.了解抛物线的 简单应用.
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善 把散落的知识连起来
【教材导读】 1.若抛物线定义中定点F在定直线l上时,动点的轨迹是什么图形? 提示:当定点F在定直线l上时,动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的 直线. 2.抛物线的标准方程中p的几何意义是什么? 提示:p的几何意义是焦点到准线的距离.
(A)2 (B)3 (C) 11 (D) 37
5
16
解析:(2)如图所示,过点 P 作 PM⊥l1,PN⊥l2,过抛物线焦点 F(1,0)作 FQ
⊥l1 于 Q.由抛物线定义知|PN|=|PF|.显然点 F,P,Q 三点共线时,动点 P
到直线 l1 和直线 l2 的距离之和最小,最小值为 4 6 =2,故选 A. 5
所以准线方程为 y=- p =-1. 2
3.(2015 辽宁五校联考)已知 AB 是抛物线 y2=2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是( C )
(A)2
(B) 1 2
(C) 3 2
(D) 5 2
解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|=x1+x2+p=4, 又 p=1,所以 x1+x2=3,
名师导学高考数学一轮总复习第九章第55讲抛物线课件文新人教A98.ppt
＝1，解得：a2＝1，
b2＝3，所以离心率e＝ac＝2.
4.若AB为经过抛物线y2＝4x焦点的弦，且AB＝ 4，O为坐标原点，则△OAB的面积等于__2__.
【解析】根据题意设A
x ，y
1
1
，B
x ，y
2
2
，由抛
物线的定义可知
AB
＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝
段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围.
【解析】(1)令G
（x0，y0）
，由题知
y20＝2px0 x20＋y02＝9
解得：x0＝1，y0＝±2 2 ，p＝4，所以抛物线C1的方 程为：y2＝8x .
(2)由(1)得抛物线C1的焦点F(2，0)，
∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，
y＝p2
范围
_x__≥_0_,_y_∈__R__ __x_≤_0_,_y_∈___R___ __x_∈___R_,_y_≥_0___ ___x_∈__R__,_y_≤_0____
对称轴
____x_轴_______
____y_轴_______
顶点
O(0，0)
O(0，0)
离心率
e＝1
e＝1
质
开口
__向__右____
【解析】(2)设A
x ，y
1
1
，
B
x ，y
2
2
，直线AB方程y＝kx＋3，联
立
y2＝4x y＝kx＋3
，得k2x2＋
6k－4
x＋9＝
0，Δ＝(6k－4)2－4×9k2>0，①
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：解析几何
当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k＝k(x－1). 此时直线PQ过定点(1,0). 当直线PQ的斜率不存在时， 若直线PQ过定点(1,0)， P，Q 的坐标分别为1，32，1，－32. 满足 kAP·kAQ＝－14. 综上，直线PQ过定点(1,0).
1234
②求△APQ面积的最大值.
1234
则 x1·x2 ＋ 2(x1 ＋ x2) ＋ 4 ＋ 4(kx1 ＋ m)(kx2 ＋ m) ＝ (1 ＋ 4k2)x1x2 ＋ (2 ＋ 4km)(x1＋x2)＋4m2＋4＝1＋4k32＋44mk22－12＋(2＋4km)·3－＋84kmk2＋4m2＋ 4＝0， 则m2－km－2k2＝0， ∴(m－2k)(m＋k)＝0，∴m＝2k或m＝－k. 当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)， 此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；
1234
设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， x＝my＋1，
联立x42＋y32＝1， 消去 x 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 易知 Δ>0 恒成立，由根与系数的关系得 y1＋y2＝3－m26＋m4，y1y2＝3m－2＋9 4，
由直线 A1M 的斜率为kA1M＝x1y＋1 2，得直线 A1M 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)，
第八章 直线和圆、圆锥曲线
必刷大题17 解析几何
1.(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C 的焦点，PF与C交于点Q(异于点P).直线l与C相切于点P，与x轴交于点M. 过点P作l的垂线交C于另一点N. (1)证明：线段MP的中点在定直线上；
1234
设 P(x0，y0)，则 y20＝4x0，
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第7节 抛物线
S△FMN=
.
;作MN⊥x轴于N,则
9 2
答案:(1)
4
解析:(1)设
得 y0=±3
(2)由 y
(2)5
4 5
3 9
P(x0,y0),由抛物线的定义得|PF|=x0-(-2)=2,所以 x0=3,代入 y2=6x,
1
3
9 2
2,S△POF= × ×|y0|= .
2
2
4
根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式
可由数形结合的方法类似地得到.
对点训练1(1)(2022河南南阳期末)设抛物线y2=6x上一点P到其焦点F的距
9
离为 2 ,O为坐标原点,则△POF的面积为
.
(2)(2021北京,12)已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,点M为抛物线C上的点,且
则|MA|+|MF|的最小值是
.
答案:(1)B (2)B
(3)5
解析:(1)抛物线x2=4y的焦点
F(0,1),d=|PE|+2=|PF|+2,|PF|+|PA|≥|FA|= 5,
从而|PA|+d=|PA|+|PF|+2≥ 5+2.
所以|PA|+d 的最小值等于 2+ 5.
(2)设 A,B 在直线 l 上的投影分别是 A1,B1,则|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.
常用结论
1.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
2
(1)x1x2= 4 ,y1y2=-p2;
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线教案文含解析新人教A版
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线教案文含解析新人教A版§9.7抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点.题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2概念方法微思考1.若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A.9B.8C.7D.6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3.若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2B.135C.145D.3答案 A解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0). 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .题组三 易错自纠5.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12答案 B解析 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.6.已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x答案 D解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0). 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .故选D.7.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________. 答案 [－1,1]解析Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.题型一抛物线的定义和标准方程命题点1 定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________. 答案 4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值.解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.命题点2 求标准方程例2 设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( ) A.y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C.y 2＝4x 或y 2＝16x D.y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ， 故选C.思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.跟踪训练1(1)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |等于( )A.n ＋10B.n ＋20C.2n ＋10D.2n ＋20答案 A解析 抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝n ＋10.(2)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为( )A.y 2＝32xB.y 2＝9x C.y 2＝92xD.y 2＝3x答案 D解析 分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°. 又|AA 1|＝|AF |＝3， 所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， 所以F 为线段AC 的中点.故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的标准方程为y 2＝3x . 题型二 抛物线的几何性质例3(1)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22B.2C.322D.2 2 答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3， 所以x 1＝2，y 1＝2 2. 设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0.所以y 1y 2＝－4.所以y 2＝－2，x 2＝12，所以S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.(2)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53B.75C.97D.2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|PA |＝12|AB |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练2(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A.18B.24C.36D.48 答案 C解析 以抛物线的顶点为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，所以p ＝6.因为点P 在准线上，所以点P 到AB 的距离为p ＝6，所以△PAB 的面积为12×6×12＝36.题型三 直线与抛物线例4设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的长是8，AB 的中点到x 轴的距离是3. (1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P ，Q 两点.连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程.解 (1)设抛物线的方程是x 2＝2py (p >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义可知y 1＋y 2＋p ＝8，又AB 的中点到x 轴的距离为3， ∴y 1＋y 2＝6，∴p ＝2， ∴抛物线的标准方程是x 2＝4y .(2)由题意知，直线m 的斜率存在，设直线m ：y ＝kx ＋6(k ≠0)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋6，x 2＝4y 消去y 得x 2－4kx －24＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝4k ，x 3·x 4＝－24.(*)易知抛物线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，x 234处的切线方程为 y －x 234＝x 32(x －x 3)，令y ＝－1，得x ＝x 23－42x 3，∴R ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－42x 3，－1，又Q ，F ，R 三点共线，∴k QF ＝k FR ，又F (0,1)， ∴x 244－1x 4＝－1－1x 23－42x 3，即(x 23－4)(x 24－4)＋16x 3x 4＝0，整理得(x 3x 4)2－4[(x 3＋x 4)2－2x 3x 4]＋16＋16x 3x 4＝0，将(*)式代入上式得k 2＝14，∴k ＝±12，∴直线m 的方程为y ＝±12x ＋6.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. (4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角). ③以弦AB 为直径的圆与准线相切.④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.跟踪训练3(2018·抚顺调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程. 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，Δ＝4p 2k 2＋8p >0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 由x 2＝2py 得y ′＝x p， 则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p＝－1， 则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1px ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，∴y AN ＝x 1p x －x 212p .同理y BN ＝x 2p x －x 222p.又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p，y ＝x 2p x －x222p ，解得N ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1). |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， S △ABN ＝12·|AB |·d＝p (pk 2＋2)3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .直线与圆锥曲线问题的求解策略例(12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1my ，∴它的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m .[2分](2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分](3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0(m >0)，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＝8m ＋4>0恒成立， 方程必有两个不等实根.[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m，y P ，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m ，[8分]得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m .若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，[10分]结合(*)式化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，∵m >0，∴m ＝2.∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形.[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A.y ＝12x 2B.y ＝12x 2或y ＝－36x 2C.y ＝－36x 2D.y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案 D解析 分两类a >0，a <0，可得y ＝112x 2或y ＝－136x 2.2.(2018·大连模拟)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( ) A.y 2＝－12x B.y 2＝－8x C.y 2＝－6x D.y 2＝－4x答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.3.(2018·辽宁五校联考)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( )A.4B.33C.43D.8 答案 C解析 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°，∵AH 垂直于准线，∴∠FAH ＝60°，故△AHF 为等边三角形.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m >0，过F 作FM ⊥AH 于M ，则在△FAM 中，|AM |＝12|AF |，∴m 24－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边三角形AHF 的边长|AH |＝4，∴△AHF 的面积是12×4×4sin60°＝4 3.故选C.4.抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 等于( ) A.2B.4C.6D.8 答案 D解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. ∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6. 又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝6，∴p ＝8.故选D. 5.(2018·盘锦模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A.13B.23C.34D.43 答案 A解析 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则cos∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13. 6.已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A.x 2＝8y B.x 2＝4y C.y 2＝8x D.y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7.动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为____________. 答案 x 2＝8y解析 ∵动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，∴动点P 到点A (0,2)的距离与它到直线y ＝－2的距离相等.根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A (0,2)为焦点，以直线y ＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝8y .8.(2018·呼伦贝尔质检)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB 是等边三角形，则△AFB 的边长为________________. 答案 8＋43或8－4 3解析 由题意可知点A ，B 一定关于x 轴对称，且AF ，BF 与x 轴夹角均为30°，由于y 2＝4x的焦点为(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x －1)，y 2＝4x ，化简得y 2－43y －4＝0，解得y 1＝23＋4，y 2＝23－4，所以△AFB 的边长为8＋43或8－4 3.9.已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是____________. 答案 t >0或t <－3解析 由题意知k ≠0.因为直线l 与圆相切，所以|t ＋1|1＋k2＝1，即k 2＝t 2＋2t .由k 2>0，得t >0或t <－2，再把直线l 的方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是由Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t >0，得t >0或t <－3.综上，实数t 的取值范围是t >0或t <－3. 10.过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________. 答案 4解析 设AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.11.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.则该抛物线的方程为________.答案 y 2＝8x解析 直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.由题意知，Δ＝25p 2－16p 2＝9p 2>0，方程必有两个不等实根. 所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .12.(2018·包头模拟)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标.解 (1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±(x －1).(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1，∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1，∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1,0).13.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A.5B.6C.163D.203答案 C 解析 方法一如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得，3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.方法二 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C. 方法三 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.故选C.14.过点(0,3)的直线与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点(4,0)，F 为抛物线的焦点，则|AF |＋|BF |的值为________. 答案 6解析 设AB 的中点为H ，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，设A ，B ，H 在准线上的射影为A ′，B ′，H ′，则|HH ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)，由抛物线的定义可得，|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|HH ′|.由题意知直线的斜率必存在，设为y ＝kx ＋3，与y 2＝4x 联立得k 2x 2＋(6k －4)x ＋9＝0，Δ＝(6k －4)2－36k 2>0，计算得出k <13且k ≠0，又x 1＋x 2＝4－6k k2，AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k k 2，2k ，线段AB 的垂直平分线过点(4,0)，方程为y ＝－1k(x －4)，且过中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k k 2，2k ，则2k ＝－1k⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k k 2－4，得2k 2＋3k －2＝0，解得k ＝－2或k ＝12(舍去)，则H (2，－1)，|HH ′|＝2＋1＝3，则|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|HH ′|＝6.15.已知曲线G ：y ＝－x 2＋16x －15及点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，若曲线G 上存在相异两点B ，C ，其到直线l ：2x ＋1＝0的距离分别为|AB |和|AC |，则|AB |＋|AC |＝________. 答案 15解析 曲线G ：y ＝－x 2＋16x －15，即为半圆M ：(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)，由题意得B ，C 为半圆M 与抛物线y 2＝2x 的两个交点，由y 2＝2x 与(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)联立方程组得x 2－14x ＋15＝0，方程必有两不等实根，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2).所以|AB |＋|AC |＝x 1＋12＋x 2＋12＝14＋1＝15.16.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________. 答案 (2,4)解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2).当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条. 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上.将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<23， 因为点M 在圆上， 所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)，所以4<r2<16，即2<r<4.。
新课标高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线课件文
(4)当直线 AB 的斜率不存在时，|A1F|＋|B1F|＝|A1A1|＋|B1B1|＝x1＋1 p2＋
x2＋1 p2＝1p＋1p＝2p；当直线 AB 的斜率存在时，因为 x1＋x2＝yk1＋p2＋
yk2＋p2＝y1＋k y2＋p＝2kp2 ＋p，x1x2＝p42，所以|A1F|＋|B1F|＝|A1A1|＋|B1B1|＝
p 2
1＋（
＝2，所以 p 3）2
第十二页，共27页。
(2)设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，若 B(3，2)，则|PB| ＋|PF|的最小值为________．
解：如图，过点 P 作 PQ 垂直准线于点 Q，
则|PQ|＝|PF|. 则有|PB|＋|PF|＝|PB|＋|PQ|≥|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为 4. 故填 4.
A.－12，12
B．[－2，2]
C．[－1，1]
D．[－4，4]
解：由已知得 Q(－2，0)，由题意知直线 l 的斜 率存在，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)，代入抛物 线方程，消去 y 整理得 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由 Δ ＝ (4k2 － 8)2 － 4k2 · 4k2 ＝ 64(1 － k2) ≥ 0 ， 解 得 － 1≤k≤1.故选 C.
○17
○18 向左
○19 向上
○20
第四页，共27页。
自 查 自 纠： 1．l 焦点 准线
2．①p2，0 ③0，p2 ⑥x＝p2 ⑧y＝p2
⑩x≤0，y∈R ○11 y≥0，x∈R ○13 x 轴 ○17 向右 ○20 向下
○16 e＝1
第五页，共27页。
抛物线 y＝2x2 的焦点坐标是
高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第五节 抛物线及其性质课件 文 新人教A版
高考AB卷
学法大视野
(5)[六个常见结论：直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的
焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图. ①y1y2＝－p2，x1x2＝p42. ②|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2. |AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2 x1x2＝p， 即当 x1＝x2 时，弦长最短为 2p. ③|A1F|＋|B1F|为定值2p.
第五节 抛物线及其性质
高考AB卷
学法大视野
高考AB卷
学法大视野
知识点一 抛物线的定义与方程 1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F(点F不在直线l上)和一条定直线l的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直 线叫做抛物线的准线. (2)满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 ①在平面内； ②动点到定点F距离与到定直线l的距离相等； ③定点不在定直线上.
离心率 e
e＝1
e＝1
e＝1
e＝1
高考AB卷
学法大视野
准线 方程
x＝－2p
x＝p2
y＝p2
y＝－2p
焦半径 公式
|PF|＝x0＋p2
|PF|＝－x0＋2p
|PF|＝－y0＋2p
|PF|＝y0＋p2
范围
x≥0
x≤0
y≤0
y≥0
高考AB卷
2019名师导学届高考数学一轮总复习第九章第55讲抛物线课件文新人教A版98
(2)抛物线y2＝4x的焦点F，过点(0，3)的直线与 抛物线交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴
4 于点D，若|AF|＋|BF|＝6，则点D的横坐标为____.
【解析】(2)设A
x1，y1
，
x ， y 2 B 2 ，直线AB方程y＝kx＋3，联
2 y ＝4x 2 2 x＋9＝ 6k － 4 立 ，得k x ＋ y ＝ kx ＋ 3
【解析】(1)令G （x0，y0） ，由题知 解得：x0＝1，y0＝± 2 程为：y2＝8x . (2)由(1)得抛物线C1的焦点F(2，0)，
2 y0＝2px0 2 2 x ＋ y 0 0＝ 9
2 ，p＝4，所以抛物线C1的方
∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合， ∴椭圆C2半焦距c＝2，m2－n2＝c2＝4， 1 2 1 ∵椭圆C2的离心率为 ，∴ ＝ ⇒m＝4，n＝ 2 m 2 x2 y2 2 3，∴椭圆C2的方程为： ＋ ＝1. 16 12
x＝ p 2
p F 0，2
y＝－ p 2
p F 0，－2
y＝
p 2
x≥0,y∈R ___________
x≤0,y∈R _____________
x∈R,y≥0 _____________
x∈R,y≤0 _______________
x轴 ____________
O(0，0) e＝ 1
第55讲
抛物线
【学习目标】 了解抛物线的定义、标准方程及几何性质，并能利 用他们解决有关综合问题.
【基础检测】 1.若动点P到定点F(－1，0)与到定直线l：x＝1的 距离相等，则动点P的轨迹是( B ) A.直线 B.抛物线 C.圆 D.椭圆 【解析】由抛物线定义知动点P的轨迹是抛物线.
高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线课件文新人教A
(1)[教材习题改编]若抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y＝2，则 a 的值是___－__18___．
解析：抛物线 y＝ax2 的标准方程为 x2＝1ay， ∴－41a＝2，∴a＝－18.
(2)[教材习题改编]将抛物线 C1：x2＝12y 绕原点逆时针旋转 90°，得到抛物线 C2，则 C2 的焦点坐标是___－__18_，__0____．
[教材习题改编]动圆过点(1,0)，且与直线 x＝－1 相切，则动 圆的圆心的轨迹方程为__y_2＝__4_x__．
解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离 与到直线 x＝－1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆 心的轨迹方程为 y2＝4x.
抛物线的定义：关注应用． 过抛物线 y2＝8x 的焦点且倾斜角为 45°的直线与抛物线交于 点 A，B，则|AB|＝___1_6____.
解析：易知抛物线 C2 的方程为 y2＝－12x，其焦点坐标为 －18，0.
抛物线的标准方程：注意一次项系数的符号． 抛物线 x2 ＋2py＝0 的焦点到准线的距离为 4，则 p＝ ___±_4____.
解析：抛物线 x2＋2py＝0 的标准方程为 x2＝－2py，依题 意知|p|＝4，所以 p＝±4.
角度三
到定直线的距离最小问题
[典题 3] 已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1， 抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最 小值是( B )
35 A. 5
B．2
11 C. 5
D．3
[解析] 由题可知 l2：x＝－1 是抛物线 y2＝4x 的准线，设抛 物线的焦点为 F(1,0)，则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|，则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值，即焦点 F 到直线 l1：4x －3y＋6＝0 的距离，所以最小值是|4－05＋6|＝2.
高考数学(文)一轮复习课件：第9章 平面解析几何 45
1．认真区分四种形式的标准方程 (1)区分 y＝ax2 与 y2＝2px (p>0)，前者不是抛物线的标准方程． (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程 有时可设为 y2＝mx 或 x2＝my(m≠0)． 2．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 值，但首先 要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程． 3．注意应用抛物线的定义解决问题．
过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1， 则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4， 即|PB|＋|PF|的最小值为 4.
微技探究 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有 关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦 点的弦有关问题的重要途径．
于是，问题转化为在抛物线上求一点 P， 使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小， 显然，连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为 [1－－1]2＋0－12＝ 5.
抛物线的标准方程和几何性质
1．(2018 河北保定模拟)已知双曲线 C1：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的 离心率为 2.若抛物线 C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的 距离为 2，则抛物线 C2 的方程为( )
p
由题意，得
2 1＋
32＝2，∴p＝8.故 C2 的方程为 x2＝16y.
2．(2018 河北唐山模拟)已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F， A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42； (2)|A1F|＋|B1F|为定值； (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．