集合的划分与覆盖
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1. 集合的划分
Def (1) (2) (3) 例1-53 设A = {a, b, c}, 则A的所有不同的划 分分别为:
1 {{a, b, c}}, 2 {{a, b},{c}}, 3 {{a, c},{b}}, 4 {{b, c},{a}}, 5 {{a},{b},{c}}.
3. 集合的基数 有限集合的基数就是的元素个数. 借助于集 合对等概念, 可以将其扩展到无限集合. Def 若集合A和B对等, 则称这两个集合的 基数(cardinality)相同. |A|.
• | N |然数集合N对等的集合称为可列 集合(countable set).
1.集合对等 Def A ~ B: 存在双射f : A B.
N ~ E. Z~N? (0, 1) ~ R. N ~ N N. Theorem 1-28(对等的性质) (1) A ~ A. (2) A ~ B B ~ A. (3) A ~ B, B ~ C A ~ C.
取 r 0.b0b1b2 ...bn ... :
1, ann 1 bn , n 0,1,2,... 3, ann 1
6. 基数的比较 Def 给定集合A和B, 若存在A到B的单射, 则 称A的基数小于等于B的基数, 记为|A| |B|. 若进一步, 不存在A到B的双射, 则称A的基数 小于B的基数, 记为|A| < |B|. 由定义易知, 若存在B到A的满射, 则|B| |A|. 显然, 0 . Problem 是否存在集合A, 满足 0 | A | ? (著名的连续统假设?!)
2. 无限集合 有了集合对等的概念, 就可以给出无限集合 及有限集合的严格定义.
Def 设A是集合, 若存在A的一个子集与自然 数集合N对等, 则称A为无限集合(infinite set), 否则称A为有限集合(finite set).
N. [0, 1].
Ai 1 , B j 2 .
|A| = n, A的不同划分的个数N: S(n, k)?
N S (n, k )
k 1
n
Theorem n > 1.
S (n, k ) S (n 1, k 1) kS(n 1, k ).
Proof (?)
1和2的交叉划分: 1 { Ai | i I }, 2 {B j | j J }, { Ai B j | i I , j J , Ai B j }.
1是2的加细划分:
1 { Ai | i I }, 2 {B j | j J },
2. 集合的覆盖 Def 设A是集合, 由A的若干非空子集构成的 集合称为A的覆盖(covering), 如果这些非 空子集的并等于A. 集合的划分 集合的覆盖, 但反过来不成 立. A = {a, b, c}上所有不同的覆盖有哪些?
1.6 集合的对等
集合的对等, 它是集合间的另一种关系. 通 过集合对等以及相关内容的学习, 加深对函 数概念的理解, 提高正确使用函数工具作为 研究手段的能力.
Q是可列集合.
5. 不可列集合 是否所有无限集合都是可列的? 答案是否定 的. 例 证明: (0,1)是不可列集合. Proof(反证) (0,1) {a0 , a1 , a2 ,..., ai ,...}
ai 0.ai1ai 2 ...ain ..., i 0,1,2,...
第3讲 集合的其他概念
了解集合的以下内容: 1.集合的划分. 2.集合的覆盖. 3.集合的对等. 4.有限集合与无限集合的定义. 5.集合的基数. 6.可列集合与不可列集合.
1.5 集合的划分与覆盖
集合的划分与覆盖是集合中的重要内容之 一. 集合的划分就是集合元素间的一种分类. 在信息科学中,可以将知识库看作集合的一 种划分. 因此, 研究集合的划分具有特别重 要的意义. 比集合的划分更广的概念是集合 的覆盖. 这些内容在下章会用到.
根据无限集合的定义知：任意无限集合均 存在一个可列的子集合. 根据这一点, 可以 证明无限集合的特征性质.
Theorem 设A是无限集合, 则存在A的一个 真子集B, 使得 A ~ B.
Proof 因为A是无限集合, 存在可列的子集 合 {a0 , a1 , a2 ,...}. 考虑 B A {a0 }?
Def (1) (2) (3) 例1-53 设A = {a, b, c}, 则A的所有不同的划 分分别为:
1 {{a, b, c}}, 2 {{a, b},{c}}, 3 {{a, c},{b}}, 4 {{b, c},{a}}, 5 {{a},{b},{c}}.
3. 集合的基数 有限集合的基数就是的元素个数. 借助于集 合对等概念, 可以将其扩展到无限集合. Def 若集合A和B对等, 则称这两个集合的 基数(cardinality)相同. |A|.
• | N |然数集合N对等的集合称为可列 集合(countable set).
1.集合对等 Def A ~ B: 存在双射f : A B.
N ~ E. Z~N? (0, 1) ~ R. N ~ N N. Theorem 1-28(对等的性质) (1) A ~ A. (2) A ~ B B ~ A. (3) A ~ B, B ~ C A ~ C.
取 r 0.b0b1b2 ...bn ... :
1, ann 1 bn , n 0,1,2,... 3, ann 1
6. 基数的比较 Def 给定集合A和B, 若存在A到B的单射, 则 称A的基数小于等于B的基数, 记为|A| |B|. 若进一步, 不存在A到B的双射, 则称A的基数 小于B的基数, 记为|A| < |B|. 由定义易知, 若存在B到A的满射, 则|B| |A|. 显然, 0 . Problem 是否存在集合A, 满足 0 | A | ? (著名的连续统假设?!)
2. 无限集合 有了集合对等的概念, 就可以给出无限集合 及有限集合的严格定义.
Def 设A是集合, 若存在A的一个子集与自然 数集合N对等, 则称A为无限集合(infinite set), 否则称A为有限集合(finite set).
N. [0, 1].
Ai 1 , B j 2 .
|A| = n, A的不同划分的个数N: S(n, k)?
N S (n, k )
k 1
n
Theorem n > 1.
S (n, k ) S (n 1, k 1) kS(n 1, k ).
Proof (?)
1和2的交叉划分: 1 { Ai | i I }, 2 {B j | j J }, { Ai B j | i I , j J , Ai B j }.
1是2的加细划分:
1 { Ai | i I }, 2 {B j | j J },
2. 集合的覆盖 Def 设A是集合, 由A的若干非空子集构成的 集合称为A的覆盖(covering), 如果这些非 空子集的并等于A. 集合的划分 集合的覆盖, 但反过来不成 立. A = {a, b, c}上所有不同的覆盖有哪些?
1.6 集合的对等
集合的对等, 它是集合间的另一种关系. 通 过集合对等以及相关内容的学习, 加深对函 数概念的理解, 提高正确使用函数工具作为 研究手段的能力.
Q是可列集合.
5. 不可列集合 是否所有无限集合都是可列的? 答案是否定 的. 例 证明: (0,1)是不可列集合. Proof(反证) (0,1) {a0 , a1 , a2 ,..., ai ,...}
ai 0.ai1ai 2 ...ain ..., i 0,1,2,...
第3讲 集合的其他概念
了解集合的以下内容: 1.集合的划分. 2.集合的覆盖. 3.集合的对等. 4.有限集合与无限集合的定义. 5.集合的基数. 6.可列集合与不可列集合.
1.5 集合的划分与覆盖
集合的划分与覆盖是集合中的重要内容之 一. 集合的划分就是集合元素间的一种分类. 在信息科学中,可以将知识库看作集合的一 种划分. 因此, 研究集合的划分具有特别重 要的意义. 比集合的划分更广的概念是集合 的覆盖. 这些内容在下章会用到.
根据无限集合的定义知：任意无限集合均 存在一个可列的子集合. 根据这一点, 可以 证明无限集合的特征性质.
Theorem 设A是无限集合, 则存在A的一个 真子集B, 使得 A ~ B.
Proof 因为A是无限集合, 存在可列的子集 合 {a0 , a1 , a2 ,...}. 考虑 B A {a0 }?