《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)Word版训练+专题五+解析几何+第2讲

一、填空题
1.(2016·泰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2
2－y
2＝1的实轴长为
________.
解析由双曲线方程可得a＝2，则实轴长为2a＝2 2. 答案2 2
2.(2016·苏、锡、常、镇、宿调研)在平面直角坐标系xOy中，已知方程
x2
4－m
－
y2
2＋m
＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________.
解析由题意可得(4－m)(2＋m)＞0，解得－2＜m＜4.
答案(－2，4)
3.(2016·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为________.
解析设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p＞0)，代入点P(1，3)得9＝2p，则
y2＝9x的焦点到准线的距离为p＝9 2.
答案9 2
4.(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2
4－
y2
12＝1上一点M的
横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________.
解析法一x＝3代入x2
4－
y2
12＝1，y＝±15，不妨设M(3，15)，右焦点F(4，
0).
∴MF＝1＋15＝4.
法二由双曲线第二定义知，M到右焦点F的距离与M到右准线x＝a2
c＝1的
距离比为离心率e＝c
a＝2，
∴MF
3－1
＝2，MF＝4.
答案 4
5.(2015·天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为________.
解析 由题意可得b a ＝3
2，c ＝7，又c 2＝7＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故双曲线方程为x 24－y 2
3＝1. 答案 x 24－y 2
3＝1
6.(2016·全国Ⅰ卷改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4，则该椭圆的离心率为________.
解析 法一 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得
bc b 2＋c
2＝14×2b ，解得b 2
＝3c 2
，又b 2
＝a 2
－c 2
，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12(e ＝－1
2
舍去).
法二 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c
2＝14×2b ，所以bc a ＝1
4×2b ，所以e ＝c a ＝1
2. 答案 12
7.(2015·江苏五市模拟)已知椭圆x 29＋y 2
m ＝1(0＜m ＜9)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆与A ，B 两点，若AF 2＋BF 2的最大值为10，则m 的值为________.
解析 已知椭圆x 29＋y 2
m ＝1(0＜m ＜9)中，a 2＝9，b 2＝m .AF 2＋BF 2＝4a －AB ≤10，∴AB ≥2，AB min ＝2b 2a ＝2m
3＝2，解得m ＝3. 答案 3
8.(2015·福建卷改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，则椭圆E 的离心率的取值范围是
________.
解析 左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4， ∴a ＝2.
设M (0，b )，则4b 5≥4
5，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝c
a ＝c 2
a 2＝a 2－
b 2a 2＝
4－b 24∈⎝
⎛⎦⎥⎤
0，32. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32
二、解答题
9.(2016·南通调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A (2，1)，离心率为32.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于B ，C 两点(异于点A )，线段BC 被y 轴平分，且AB ⊥AC ，求直线l 的方程.
解 (1)由条件知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝c a ＝3
2，
所以b 2＝a 2－c 2＝1
4a 2.
又点A (2，1)在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上，
所以4a 2＋1
b 2＝1，解得⎩
⎨⎧a 2
＝8，b 2＝2.
所以所求椭圆的方程为x 28＋y 2
2＝1.
(2)将y ＝kx ＋m (k ≠0)代入椭圆方程，得x 2＋4(kx ＋m )2－8＝0， 整理得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－8＝0.① 由线段BC 被y 轴平分，得x B ＋x C ＝－8mk
1＋4k 2
＝0， 因为k ≠0，所以m ＝0.
因为当m ＝0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (－x ，－kx )， 由①得x 2＝
8
1＋4k 2
，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)， 所以AB
→·AC →＝(x －2)(－x －2)＋(kx －1)(－kx －1) ＝5－(1＋k 2)x 2
＝5－8（1＋k 2
）1＋4k 2
＝0，
所以k ＝±
1
2.
由于当k ＝12时，直线y ＝12x 过点A (2，1)，故k ＝1
2不符合题意，舍去.所以此时直线l 的方程为y ＝－1
2x .
10.(2015·安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM ＝2MA ，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；
(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为7
2
，求E 的方程.
解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ， 故e ＝c a ＝25
5.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋y
b ＝1，点N 的坐
标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52
b ，－12b .
设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1，72，
则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
54b ＋x 12，－14b ＋74.
又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，
从而有⎩⎪⎨⎪⎧
54b ＋x 125b
＋－14b ＋74
b ＝1，
72＋1
2b x 1
－52b
＝ 5.
解得b ＝3.
所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 2
9＝1.
11.(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C . (1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；
(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.
解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.
因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
43，13在椭圆上，所以169a 2
＋1
9b 2＝1.
解得b 2
＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋y
b ＝1.
解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧x c ＋y b ＝1，
x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c
a 2＋c 2，
y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，
⎩⎨⎧x 2＝0，
y 2＝b .
所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
2a 2c a 2＋c
2，
b （
c 2－a 2
）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
2a 2c a 2＋c
2，
b （a 2－
c 2
）a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）
a 2＋c 2－0
2a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3
，直线AB 的斜率为－b
c ，
且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3
·⎝ ⎛⎭⎪⎫
－b c ＝－1.
又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝5
5.。