9层次分析法
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一般规定当CR≤0.1时，认为两两比较矩阵的一致性可以接受， 否则就认为两两比较矩阵一致性太差，必须重新进行两两比较判断。 在本例中，CR=0.017≤0.1，所以“地理位置及交通”两两比较矩 阵满足一致性要求，其相应求得的特征向量为有效。
同样，我们可以通过计算“居住环境”、“结构布局和设施”、 “每平米单价”以及四个标准的两两比较矩阵的一致性检验率CI值， 可知他们都小于等于0.10，这些比较矩阵满足一致性要求，即相应 的特征向量都有效。
①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥自 己的专长）；
②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
目标层 准则层 方案层
工作选择
贡收 发 声 工 生 作活 环环
献入 展 誉 境 境
• 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。其特征是合理地将 定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次 化、数量化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。
• 该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各 种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会 经济各个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲 突问题、性能评价、能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价 等，得到了广泛的重视和应用。
0.297
0.341
0.396
1.034
0.074 0.057 0.066 0.197
第二步：每个赋权和向量的分量分别除以对应的特征向 量的分量，即第i个赋权和向量的分量除以第i个特征向量
的分量，在本例中有：
1.803 3.040 1.034 3.032 0.197 2.985
可供选择的单位P1’ P2 ， Pn
例2. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
例3 科研课题的选择
某研究所现有三个 科研课题，限于人力 及物力，只能研究一 个课题。有三个须考 虑的因素：(1)科研成 果贡献大小(包括实用 价值和科学意义)；(2) 人材的培养；(3)课题 的可行性(包括课题的 难易程度、研究周期 及资金)。在这些因素 的影响下，如何选择 课题?
是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方 法。
• 决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选 择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例
•
1. 在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰
箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、
价格和耗电量。
•
2. 在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。
要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交
9 层次分析法(AHP法)
层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教 授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防 部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而 进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标 综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影 响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用 较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多 目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便 的决策方法。
层次分析法的步骤和方法
运用层次分析法构造系统模型时，大体 可以分为以下四个步骤：
1. 建立层次结构模型 2. 构造判断(成对比较)矩阵 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 层次总排序及其一致性检验
建立层次结构模型
• 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策 对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层 和最低层，绘出层次结构图。
呢？
为简化问题，我们将评判房子满意程度的10个标准归纳为4个：
1、住房的地理位置 2、住房的交通情况
1、房子的地理位置与交通
3、住房的附近的商业、卫生、教育情况 4、住房小区的绿化、清洁、安静等自然环境
2、房子的居住环境
5、建筑结构 6、建筑材料 7、房子布局 8、房子设备
3、房子的布局、结构与设施
• 层次分析法(AHP法) 是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量 相结合的决策分析方法。
• 该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各 衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每 个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序， 比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
0.533 0.400 0.067
0.593 0.341 0.066
我们称[0.593，0.341，0.066]为房子选择问题 中地理位置及交通方面的特征向量。
同样，我们可以求得在居住环境、房子结构布局和设施、房 子每平方米单价方面的两两比较矩阵如表6所示。
表6
居住环境
结构布局设施
每平方米单价
房子A 房子B 房子C 房子A 房子B 房子C 房子A 房子B 房子C
6/15
房子C
1/13
1/19
1/15
1/(13/8)
第三步，计算标准两两比较矩阵的每一行的平均值，这
些平均值就是各方案在地理位置及交通方面的权重，
如表5所示。
表5
地理位置及交通状况
房子A
房子B
房子C 行平均值
房子A 房子B 房子C
0.615 0.308 0.077
0.631 0.316 0.053
六、利用权数或特征向量求出各方案的优劣次序
层次分析法的基本原理
层次分析法根据问题的性质和要达到的 总目标，将问题分解为不同的组成因素， 并按照因素间的相互关联影响以及隶属关 系将因素按不同层次聚集组合，形成一个 多层次的分析结构模型，从而最终使问题 归结为最低层(供决策的方案、措施等)相 对于最高层(总目标)的相对重要权值的确 定或相对优劣次序的排定。
• 最高层：决策的目的、要解决的问题。 • 最低层：决策时的备选方案。 • 中间层：考虑的因素、决策的准则。 • 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因
素层。 下面举例说明。
例1 大学毕业生就业选择问题
获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择”时，用 人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说 选择单位的标准和要求是多方面的，例如：
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。
一、问题的提出
例：一位顾客决定要购买一套新住宅，经过初步调查研究确定了三套
候选的房子A、B、C，问题是如何在这三套房子里选择一套较为满意的房子
表2
房子A 房子B 房子C
房子A 1 1/2 1/8
房子的地理位置及交通
房子B
房子C
2
8
1
6
1/6
1
四、求各因素权重的过程
求各因素权重的方法有规范列平均法、方根法、幂乘法 等，这里以选择房子的决策为例介绍规范列平均法。
第一步,先求出两两比较矩阵的每一元素每一列 的总和，如表3所示。
表3
地理位置及交通状况
层次分析法的思维过程的归纳
将决策问题分为3个或多个层次： 最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析
要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、
政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节； 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、 政策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。
五、两两比较矩阵一致性检验
我们仍以购买房子的例子为例说明检验一致性的方法，检 验表2中由“地理位置及交通”这一标准来评估房子A、B、C三 个方案所得的两两比较矩阵。
检验一致性由五个步骤组成：
第一步：由被检验的两两比较矩阵乘以其特征向量，所得 的向量称之为赋权和向量，在此例中即：
1 2 8 0.593
表1
标度aij 1 3 5 7 9 2，4，6，8 倒数
定义 i因素与j因素相同重要 i因素比j因素略重要 i因素比j因素较重要 i因素比j因素非常重要 i因素比j因素绝对重要 为以上两判断之间中间状态对应的标度值 若j因素与i因素比较，得到的判断值为aji=1/aij
由标度aij为元素构成的矩阵称为两两比较矩阵。如我们用 单一标准“房子的地理位置及交通状况”来评估三个方案，从 两两比较的方法得出两两比较矩阵，如表2所示。
房子A 房子B 房子C
0.123 0.320 0.557
0.087 0.274 0.639
0.265 0.655 0.080
另外，我们还必须取得每个标准在总目标满意的房子里 的相对重要程度，即要取得每个标准相对的权重，即标准的 特征向量。四个标准的两两比较矩阵如表8所示。
表8
标
准
地理位置及交通 居住环境 结构布局设施 每平米单价
9、房子面积 10、房子每平方米建筑面积的价格
4、房子的每平方米建筑面积的单价
二、层次结构图 该问题的层次结构图如图1所示：
满意的房子
目标层
地 理 位 置 及 交 通
购买房子A
居 住
结 构
、
布
每 平 方
标准层
环
局
、
米 单
境
设 施
价
购买房子B
图1
购买房子C
决策方案层
三、标度及两两比较矩阵
相对重要性标度：各个标准或在某一标准下各方案两 两比较求得的相对权重，如表1所示。
房子A 房子B 房子C
列总和
房子A 1 1/2 1/8
13/8
房子B 2 1 1/6
19/6
房子C 8 6 1
15
第二步,把两两比较矩阵的每一元素除以其相对
应列的总和，所得商称为标准两两比较矩阵，如表
4所示。
表4
地理位置及交通状况
房子A
房子B
房子C
房子A
8/13
12/19
8/15
房子B
4/13
6/19
房子A 1 房子B 3 房子C 4
1/3
1/4
1
1
1/2
4
2
1
6
1/4
1/6
1
1/3
4
1
1/3
3
1
7
3
1
1/4
1/7
1
同样，我们可以从表6的两两比较矩阵求得房子A、B、C三个方案在
居住环境、结构布局设施、每平方米单价等方面的得分（权重），即这
三个方面的特征向量，如表7所示。
表7
居住环境
结构布局设施
每平方米单价
CI 3.019 3 0.010 31
第五步：计算一致性率CR: CR CI RI
在上式中，RI是自由度指标，作为修正值，见表9。
表9
维数(n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0.00 0.00 0.58 0.96 1.12 1.24 1.3 1.41 1.45 2
在本例中可算得：CR=0.01/0.58=0.017。
通便利和旅游的费用。
•
3. 在基础研究、应用研究和数学教育中选择一
个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价
值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和
人才培养。
层次分析法概述
• 人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临 的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。 层次分析法则为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、 实用的决策方法。
1
2
8
1/ 2
1
6
0.341
0.593
1 /
2ห้องสมุดไป่ตู้
0.341
1
0.066
6
1/ 8 1/ 6 1 0.066
1/ 8
1/ 6
1
0.593 0.682 0.528 1.803
地理位置及交通
1
2
3
2
居住环境
1/2
1
4
1/2
结构布局设施
1/3
1/2
1
1/4
每平米单价
1/2
2
4
1
通过两两比较矩阵，我们同样可以求出标准的特征向量 如下所示：[0.398，0.218，0.085，0.299]。即地理位置及 交通相对权重为0.398，居住环境相对权重为0.218，结构布 局设施相对权重为0.085，每平米单价相对权重为0.299。
0.593
0.341
0.066
第三步：计算出第二步结果中的平均值，记为 max,在本
例中有：
max
3.040 3.032 2.985 3
3.019
第四步：计算一致性指标CI:
CI max n
n 1
n为比较因素的数目，在本例中也就是买房子方案 的数目，即为3, 在本例中，我们得到：
同样，我们可以通过计算“居住环境”、“结构布局和设施”、 “每平米单价”以及四个标准的两两比较矩阵的一致性检验率CI值， 可知他们都小于等于0.10，这些比较矩阵满足一致性要求，即相应 的特征向量都有效。
①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥自 己的专长）；
②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
目标层 准则层 方案层
工作选择
贡收 发 声 工 生 作活 环环
献入 展 誉 境 境
• 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。其特征是合理地将 定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次 化、数量化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。
• 该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各 种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会 经济各个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲 突问题、性能评价、能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价 等，得到了广泛的重视和应用。
0.297
0.341
0.396
1.034
0.074 0.057 0.066 0.197
第二步：每个赋权和向量的分量分别除以对应的特征向 量的分量，即第i个赋权和向量的分量除以第i个特征向量
的分量，在本例中有：
1.803 3.040 1.034 3.032 0.197 2.985
可供选择的单位P1’ P2 ， Pn
例2. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
例3 科研课题的选择
某研究所现有三个 科研课题，限于人力 及物力，只能研究一 个课题。有三个须考 虑的因素：(1)科研成 果贡献大小(包括实用 价值和科学意义)；(2) 人材的培养；(3)课题 的可行性(包括课题的 难易程度、研究周期 及资金)。在这些因素 的影响下，如何选择 课题?
是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方 法。
• 决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选 择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例
•
1. 在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰
箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、
价格和耗电量。
•
2. 在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。
要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交
9 层次分析法(AHP法)
层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教 授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防 部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而 进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标 综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影 响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用 较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多 目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便 的决策方法。
层次分析法的步骤和方法
运用层次分析法构造系统模型时，大体 可以分为以下四个步骤：
1. 建立层次结构模型 2. 构造判断(成对比较)矩阵 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 层次总排序及其一致性检验
建立层次结构模型
• 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策 对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层 和最低层，绘出层次结构图。
呢？
为简化问题，我们将评判房子满意程度的10个标准归纳为4个：
1、住房的地理位置 2、住房的交通情况
1、房子的地理位置与交通
3、住房的附近的商业、卫生、教育情况 4、住房小区的绿化、清洁、安静等自然环境
2、房子的居住环境
5、建筑结构 6、建筑材料 7、房子布局 8、房子设备
3、房子的布局、结构与设施
• 层次分析法(AHP法) 是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量 相结合的决策分析方法。
• 该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各 衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每 个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序， 比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
0.533 0.400 0.067
0.593 0.341 0.066
我们称[0.593，0.341，0.066]为房子选择问题 中地理位置及交通方面的特征向量。
同样，我们可以求得在居住环境、房子结构布局和设施、房 子每平方米单价方面的两两比较矩阵如表6所示。
表6
居住环境
结构布局设施
每平方米单价
房子A 房子B 房子C 房子A 房子B 房子C 房子A 房子B 房子C
6/15
房子C
1/13
1/19
1/15
1/(13/8)
第三步，计算标准两两比较矩阵的每一行的平均值，这
些平均值就是各方案在地理位置及交通方面的权重，
如表5所示。
表5
地理位置及交通状况
房子A
房子B
房子C 行平均值
房子A 房子B 房子C
0.615 0.308 0.077
0.631 0.316 0.053
六、利用权数或特征向量求出各方案的优劣次序
层次分析法的基本原理
层次分析法根据问题的性质和要达到的 总目标，将问题分解为不同的组成因素， 并按照因素间的相互关联影响以及隶属关 系将因素按不同层次聚集组合，形成一个 多层次的分析结构模型，从而最终使问题 归结为最低层(供决策的方案、措施等)相 对于最高层(总目标)的相对重要权值的确 定或相对优劣次序的排定。
• 最高层：决策的目的、要解决的问题。 • 最低层：决策时的备选方案。 • 中间层：考虑的因素、决策的准则。 • 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因
素层。 下面举例说明。
例1 大学毕业生就业选择问题
获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择”时，用 人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说 选择单位的标准和要求是多方面的，例如：
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。
一、问题的提出
例：一位顾客决定要购买一套新住宅，经过初步调查研究确定了三套
候选的房子A、B、C，问题是如何在这三套房子里选择一套较为满意的房子
表2
房子A 房子B 房子C
房子A 1 1/2 1/8
房子的地理位置及交通
房子B
房子C
2
8
1
6
1/6
1
四、求各因素权重的过程
求各因素权重的方法有规范列平均法、方根法、幂乘法 等，这里以选择房子的决策为例介绍规范列平均法。
第一步,先求出两两比较矩阵的每一元素每一列 的总和，如表3所示。
表3
地理位置及交通状况
层次分析法的思维过程的归纳
将决策问题分为3个或多个层次： 最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析
要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、
政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节； 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、 政策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。
五、两两比较矩阵一致性检验
我们仍以购买房子的例子为例说明检验一致性的方法，检 验表2中由“地理位置及交通”这一标准来评估房子A、B、C三 个方案所得的两两比较矩阵。
检验一致性由五个步骤组成：
第一步：由被检验的两两比较矩阵乘以其特征向量，所得 的向量称之为赋权和向量，在此例中即：
1 2 8 0.593
表1
标度aij 1 3 5 7 9 2，4，6，8 倒数
定义 i因素与j因素相同重要 i因素比j因素略重要 i因素比j因素较重要 i因素比j因素非常重要 i因素比j因素绝对重要 为以上两判断之间中间状态对应的标度值 若j因素与i因素比较，得到的判断值为aji=1/aij
由标度aij为元素构成的矩阵称为两两比较矩阵。如我们用 单一标准“房子的地理位置及交通状况”来评估三个方案，从 两两比较的方法得出两两比较矩阵，如表2所示。
房子A 房子B 房子C
0.123 0.320 0.557
0.087 0.274 0.639
0.265 0.655 0.080
另外，我们还必须取得每个标准在总目标满意的房子里 的相对重要程度，即要取得每个标准相对的权重，即标准的 特征向量。四个标准的两两比较矩阵如表8所示。
表8
标
准
地理位置及交通 居住环境 结构布局设施 每平米单价
9、房子面积 10、房子每平方米建筑面积的价格
4、房子的每平方米建筑面积的单价
二、层次结构图 该问题的层次结构图如图1所示：
满意的房子
目标层
地 理 位 置 及 交 通
购买房子A
居 住
结 构
、
布
每 平 方
标准层
环
局
、
米 单
境
设 施
价
购买房子B
图1
购买房子C
决策方案层
三、标度及两两比较矩阵
相对重要性标度：各个标准或在某一标准下各方案两 两比较求得的相对权重，如表1所示。
房子A 房子B 房子C
列总和
房子A 1 1/2 1/8
13/8
房子B 2 1 1/6
19/6
房子C 8 6 1
15
第二步,把两两比较矩阵的每一元素除以其相对
应列的总和，所得商称为标准两两比较矩阵，如表
4所示。
表4
地理位置及交通状况
房子A
房子B
房子C
房子A
8/13
12/19
8/15
房子B
4/13
6/19
房子A 1 房子B 3 房子C 4
1/3
1/4
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3
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1
同样，我们可以从表6的两两比较矩阵求得房子A、B、C三个方案在
居住环境、结构布局设施、每平方米单价等方面的得分（权重），即这
三个方面的特征向量，如表7所示。
表7
居住环境
结构布局设施
每平方米单价
CI 3.019 3 0.010 31
第五步：计算一致性率CR: CR CI RI
在上式中，RI是自由度指标，作为修正值，见表9。
表9
维数(n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0.00 0.00 0.58 0.96 1.12 1.24 1.3 1.41 1.45 2
在本例中可算得：CR=0.01/0.58=0.017。
通便利和旅游的费用。
•
3. 在基础研究、应用研究和数学教育中选择一
个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价
值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和
人才培养。
层次分析法概述
• 人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临 的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。 层次分析法则为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、 实用的决策方法。
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1/ 8 1/ 6 1 0.066
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1/ 6
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0.593 0.682 0.528 1.803
地理位置及交通
1
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居住环境
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结构布局设施
1/3
1/2
1
1/4
每平米单价
1/2
2
4
1
通过两两比较矩阵，我们同样可以求出标准的特征向量 如下所示：[0.398，0.218，0.085，0.299]。即地理位置及 交通相对权重为0.398，居住环境相对权重为0.218，结构布 局设施相对权重为0.085，每平米单价相对权重为0.299。
0.593
0.341
0.066
第三步：计算出第二步结果中的平均值，记为 max,在本
例中有：
max
3.040 3.032 2.985 3
3.019
第四步：计算一致性指标CI:
CI max n
n 1
n为比较因素的数目，在本例中也就是买房子方案 的数目，即为3, 在本例中，我们得到：