西安西工大附中分校必修一第二单元《函数》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．已知函数()32f x x =-，2()2g x x x =-，(),()()
()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩
，则（ ）
A ．()F x 的最大值为3，最小值为1
B ．()F x
的最大值为2 C ．()F x
的最大值为7-，无最小值 D ．()F x 的最大值为3，最小值为-1
2．已知函数()y f x =是定义在R 上的单调函数，()0,2A ，()2,2B -是其函数图像上的两点，则不等式()12f x ->的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()(),31,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-
D ．()
(),13,-∞+∞
3．以下说法正确的有（ ） （1）若(){},4A x y x y =
+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1A
B =；
（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =； （3）函数1
y x
=
的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞； （4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．函数()()1
ln 24
f x x x =-+-的定义域是（ ） A ．[)2,4
B ．()2,+∞
C ．()()2,44,⋃+∞
D ．[)
()2,44,+∞
5．已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x )，且x R ∈，当x ∈[-1，0)时，f (x )=-2x -2x +3，则当x ∈[1,2)时，f (x )的最大值为（ ） A ．
5
2
B ．1
C ．0
D ．-1
6．若函数22,2()13,22x ax x f x a x x
⎧-≤⎪
=⎨->⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．115,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．4,215⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ C ．41,152⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．152,
4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
7．若函数y =f (x )的定义域为[]1,2，则y =f (
12
log x )的定义域为（ ） A ．[]1,4 B ．[]4,16
C ．[]1,2
D ．11,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8．已知函数22
4
()3f x x x =-+
，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1,3]x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）．
A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．以上都不对
9．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且
()1
12
f =
，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）
A ．(]
[),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞
10．已知函数()1,0,
21,0,
x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦
，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()2,+∞
B ．[)
(]2,00,2-
C ．(](),22,-∞-+∞
D ．()
()2,00,2-
11．函数sin sin 12
2x
x
y =+
的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．函数2log x
y x x
=
的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．
二、填空题
13．定义在R 上的减函数()f x 满足(0)4f =，且对任意实数x 都有
()(2)4f x f x +-=，则不等式|()2|2f x -<的解集为____________.
14．已知函数2212,1()4
,1
x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪
=⎨++>⎪⎩
，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的取值范围是________.
15．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．
16．对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，不等式224t mt m +>+恒成立，则实数t 的取值范围是
________________.
17．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(1)2
x g x f f x =+-的定义域是________.
18．二次函数()2
22f x x x =-+在区间[]0,3上的最大值为________．
19．
函数()f x =的单调递增区间为__________．
20．
若y =
y 的取值范围是________
三、解答题
21．已知函数()1f x x x
=+
. （1）判断函数()f x 的奇偶性；
（2）证明：函数()f x 在[
)1，
+∞上是增函数； （3）求函数()f x 在[]41--，
上的最大值与最小值. 22．已知定义在R 上的函数()f x 的单调递增函数，且对∀x ，y ∈R ，都有
()()()1f x y f x f y +=++，f (2)=5.
（1）求f (0)，f (1)的值；
（2）若对11,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
∀，都有2()(21)1f kx f x +-<成立，求实数k 的取值范围. 23．已知2
()4
x
f x x =
+，(2,2)x ∈-. （1）用定义判断并证明函数()f x 在(2,2)-上的单调性； （2）若(2)(21)f a f a +>-，求实数a 的取值范围. 24．已知函数()0k
y x k x
=+
>
在区间(
单调递减，在区间)
+∞单调递增．
（1）求函数2
y x x
=+
在区间(),0-∞的单调性；（只写出结果，不需要证明） （2）已知函数()()213
1
x ax f x a x ++=∈+R ，若对于任意的x N *∈，有()5f x ≥恒成
立，求实数a 的取值范围．
25．已知函数()2
4f x x ax =-.
（1）当1a =时，求函数()f x 的值域； （2）解关于x 的不等式()2
30f x a +>；
（3）若对于任意的[)2,x ∈+∞，()21f x x >-均成立，求a 的取值范围. 26．已知函数()()2
22f x x ax a a =-+∈R .
（1）若1a =，[]
2,2x ∀∈-，()f x m 成立，求实数m 的取值范围;
（2）若0a <，()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()1212||2||f x f x x x ->-成立，求实数a 的最大值;
（3）函数()()1
g x f x x
=+
在区间()1,2上单调递减，求实数a 的取值范围.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】
在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，如图
然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，
所以由232||2x x x -=-得2x =+2x =-
结合函数图象可知当2x =-()F x 有最大值7-，无最小值． 故选：C ．
【点睛】
关键点睛：本题主要考查了函数的图象，以及利用函数求最值，解答本题的关键是在同一坐标系中画出()f x 与()g x 的图象，根据图象得出函数的最值，由232||2x x x -=-得
27x =+或27x =-.
2．D
解析：D 【分析】
根据题意可得出(0)2,(2)2f f ==-，从而得出()f x 在R 上为减函数，从而根据不等式
()12f x ->得，(1)(2)f x f -<或(1)(0)f x f ->，从而得出12x ->或10x -<，解
出x 的范围 【详解】
解：由题意得(0)2,(2)2f f ==-， 因为函数()y f x =是定义在R 上的单调函数， 所以()f x 在R 上为减函数，
由()12f x ->，得(1)2f x ->或(1)2f x -<-， 所以(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<， 所以10x -<或12x ->， 解得1x <或3x >，
所以不等式()12f x ->的解集为()(),13,-∞+∞，
故选：D 【点睛】
关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查绝对值不等式的解法，解题的关键是把
()12f x ->转化为(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<，再利用()f x 在R 上为减函数，得
10x -<或12x ->，考查数学转化思想，属于中档题 3．B
解析：B 【分析】 根据A
B 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解
反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误. 【详解】 （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)A
B =，所以（1）
错误；
（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确； （3）函数1
y x
=
的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误； （4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨
-=⎩，解得1
2x y =⎧⎨=⎩
，所以A 中元素是
()1,2，所以（4）正确；
所以正确命题的个数是2个， 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.
4．C
解析：C 【分析】
先根据函数的解析式建立不等式组，再解不等式组求定义域即可. 【详解】
解：因为函数的解析式：()()1
ln 24
f x x x =-+- 所以2040x x ->⎧⎨
-≠⎩，解得2
4x x >⎧⎨≠⎩
故函数的定义域为：()(2,4)4,+∞
故选：C 【点睛】
数学常见基本初等函数定义域是解题关键.
5．B
解析：B 【分析】 首先设[)1,2x ∈，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.
【详解】
设[)1,2x ∈
，[)21,0x -∈-，
()()()2
22222323f x x x x x ∴-=----+=-++， ()()()()211214f x f x f x f x -=--=-=⎡⎤
⎣⎦， ()()()()2
211122311444
f x f x x x x ∴=
-=-++=--+， [)1,2x ∈，()f x ∴在区间[)1,2单调递减，函数的最大值是()11f =.
故选：B 【点睛】
思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量x 设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数
()f x 的解析式. 6．D
解析：D 【分析】
若函数()f x 在R 上递减，则必须满足当(],2x ∈-∞时，函数2
2y x ax =-递减，且
()2,x ∈+∞时1
32y a x
=
-也递减，且端点处的函数值必须满足条件． 【详解】 易知函数1
32y a x
=
-在(2,)+∞上单调递减，要使函数()f x 在R 上单调递减， 则函数2
2y x ax =-在(,2]-∞上单调递减，所以2a ≥， 当2x =时，2244x ax a -=-，11
3324
a a x -=-，要使()f x 在R 上单调递减， 还必须14434a a -≥-，即15
4a ≤，所以1524
a ≤≤.
故选：D ． 【点睛】
解答本题时，首先要保证原函数在每一段上都递减，另外，解答时容易忽略掉端点的函数值的大小关系.
7．D
解析：D 【分析】
根据复合含定义域的求法，令12
1log 2x ≤≤，求函数的定义域.
【详解】
函数()y f x =的定义域为[]1,2，
1
2
log y f x ⎛
⎫
∴= ⎪⎝⎭
的定义域，令12
1log 2x ≤≤，
解得：
11
42x ≤≤ ，即函数的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 故选：D 【点睛】
方法点睛：一般复合函数的定义域包含以下几点：
已知函数()y f x =的定义域为D ，求()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域，即令()g x D ∈，求x 的取值范围，就是函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域；
已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为D ，求函数()y f x =的定义域，即求函数()g x ，x D ∈ 的值域.
8．C
解析：C 【分析】
根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案. 【详解】
解：∵x ∈，∴2[1,3]x ∈， ∴22
4
()3[1,2]f x x x =-∈+
． 当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，所以只需满足：12k <-+，解得01k <<； 当0k =时，()2g x =．满足题意．
当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++，所以只需满足：122k <+，解得102
k >>-． ∴1,12k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
．
故选：C ． 【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的
子集 ．
9．B
解析：B 【分析】
计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()2
34f x f x
-⋅≥，可得出()()2
32f x
x f -≥-，再由函数()y f x =在R 上
的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】
由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=
，
()()
1
121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.
设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()2
34f x f x
-⋅≥，可得
()()232f x x f -≥-.
所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()2
34f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.
故选B. 【点睛】
本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．D
解析：D 【分析】
按0a >和0a <分类解不等式即可得． 【详解】
[()()]0a f a f a -->，
若0a >，则()()0f a f a -->，即1[2()1]0a a +--⨯-->，解得2a <，所以
02a <<，
若0a <，则()()0f a f a --<，即21(1)0a a ----+<，解得2a >-，所以
20a -<<，
综上，不等式的解为(2,0)(0,2)-．
故选：D ． 【点睛】
本题考查解不等式，解题方法是分类讨论．掌握分类讨论的思想方法是解题关键．
11．D
解析：D 【解析】 因为()sin()
sin sin()
sin 11()2222x x x x
f x y f x ---=+
==
+=，
所以函数sin sin 122x
x
y =+
是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；
又sin
2
sin
2
1
15
()2
22
22
2
f π
π
π
=+=+=，排除C ， 综上，函数sin sin 12
2x
x
y =+大致的图象应为D 项，故选D.
12．D
解析：D 【解析】
()222log ,0log log ,0
x x x y x x x x >⎧==⎨--<⎩，所以当0x >时，函数
22log log x y x x x ==为增函数，当0x <时，函数()22log log x
y x x x
=
=--也为增函数，故选D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
二、填空题
13．【分析】由绝对值不等式可知利用中x 的任意性得再利用函数的单调性解不等式即可【详解】因为任意实数都有且令则故不等式解得即又函数为上的减函数解得故不等式的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查了解抽 解析：(0,2)
【分析】
由绝对值不等式可知0()4f x <<，利用()(2)4f x f x +-=中x 的任意性得
(2)0f =，再利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】
因为任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=，且(0)4f =， 令2x =，则(2)(0)4f f +=，故(2)0f =
不等式|()2|22()22f x f x -<⇒-<-<，解得0()4f x <<，即(2)()(0)f f x f <<
又函数()f x 为R 上的减函数，解得02x <<，故不等式|()2|2f x -<的解集为(0,2) 故答案为：(0,2) 【点睛】
方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.
14．【分析】分别讨论和时结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值解不等式可得所求范围【详解】函数可得时当且仅当时取得最小值由时若时在递减可得由于的最小值为所以解得；若时在处取得最小值与题意矛盾故舍去 解析：[3,)+∞
【分析】
分别讨论1x >和1x ≤时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得()f x 的最小值，解不等式可得所求范围. 【详解】
函数2212,1()4
,1
x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪
=⎨++>⎪⎩
，可得1x >时，(
)44f x x a a a x =+
+≥=+，当且仅当2x =时，()f x 取得最小值4a +， 由1x ≤时，()()2
212f x x a a =-+-，
若1a ≥时，()f x 在(]
1-∞，
递减，可得()()1132f x f a ≥=-， 由于()f x 的最小值为()1f ，所以1324a a -≤+，解得3a ≥； 若1a <时，()f x 在x a =处取得最小值与题意矛盾，故舍去； 综上得实数a 的取值范围是[
)3,+∞， 故答案为：[
)3,+∞. 【点睛】
本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题.
15．f(－3)>f(－π)【解析】由得是上的单调递增函数又
解析：f (－3)>f (－π)
【解析】
由()()1212()[]0x x f x f x >－－ 得()f x 是R 上的单调递增函数，又
3(3)()f f ππ>∴>－－，－－ ．
16．【分析】令由题意得出解出该不等式组即可得出实数的取值范围【详解】对于任意的不等式恒成立即不等式恒成立令则解得或因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题涉及主元思想的应用将问题转 解析：()
(),52,-∞-+∞
【分析】
令()()2
24f m t m t =-+-，由题意得出()10
230
f f ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭
⎨
⎪>⎩
，解出该不等式组，即可得出实数t 的取值范围. 【详解】
对于任意的1,32
m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，不等式224t mt m +>+恒成立，即不等式()2
240
t m t -+->恒成立，
令()()2
24f m t m t =-+-，则()()()()()()2
21152420
2223324250
f t t t t f t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-+-=-+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎨
⎪=-+-=-+>⎩
， 解得5t <-或2t >，因此，实数t 的取值范围是()(),52,-∞-+∞.
故答案为：()(),52,-∞-+∞.
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，涉及主元思想的应用，将问题转化为一次函数不等式恒成立是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
17．【分析】根据题意得到函数满足即可求解【详解】由题意函数的定义域为则函数满足即解得即函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的 解析：()0,2
【分析】
根据题意，得到函数()g x 满足11
2111
x x ⎧
-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即可求解. 【详解】
由题意，函数()f x 的定义域为(1,1)-，
则函数()()(1)2x
g x f f x =+-满足112111
x x ⎧
-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即2202x x -<<⎧⎨<<⎩，解得02x <<，
即函数()g x 的定义域为()0,2.
故答案为：()0,2. 【点睛】
本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
18．5【分析】由二次函数的图象与性质得到函数在区间递减递增即可求得在区间函数的最值得解【详解】由题意函数可得函数在区间递减递增所以函数在递减递增所以故答案为：5【点睛】熟记二次函数的图象与性质是解答的关
解析：5 【分析】
由二次函数的图象与性质，得到函数()f x 在区间(,1]-∞递减[1,)+∞递增,即可求得在区间[]0,3函数的最值得解． 【详解】
由题意，函数()2
22f x x x =-+，可得函数()f x 在区间(,1]-∞递减[1,)+∞递增
[]0,3，所以函数()f x 在[0,1]递减,[1,3]递增
(1)1,(3)5f f ∴==
所以max (3)5y f == 故答案为：5 【点睛】
熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
19．【分析】先求出函数的定义域在利用复合函数单调性得解【详解】因为或所以函数的定义域为由在上单减在单增由复合函数单调性质得函数在单增故答案为：【点睛】复合函数单调性同增异减注意定义域属于基础题 解析：(,1)-∞-
【分析】
先求出函数的定义域，在利用复合函数单调性得解. 【详解】
因为22303x x x -->⇒>或1x <- 所以函数的定义域为(,1)
(3,)-∞-+∞
由223t x x =--在(,1)-∞-上单减，在(3,)+∞单增 由复合函数单调性质得函数
()f x =在(,1)-∞-单增
故答案为：(,1)-∞- 【点睛】
复合函数单调性“同增异减”，注意定义域.属于基础题
20．【分析】首先求出的取值范围令将函数转化为三角函数再根据三角恒等变
换及三角函数的性质计算可得；【详解】解：因为所以解得令则所以因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数的值域的计算换元法的应用三角
解析：
【分析】
首先求出x 的取值范围，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
将函数转化为三角函数，再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得； 【详解】
解：因为y =
所以401830
x x -≥⎧⎨-≥⎩解得46x ≤≤，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
则y t t ==
3t π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
所以3y t π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
， 因为0,
2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336t πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，所以1sin ,132t π⎛⎫⎡⎤
+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
所以y ∈
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的值域的计算，换元法的应用，三角函数及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.
三、解答题
21．（1）奇函数；（2）证明见解析；（3）17
2,4
-- 【分析】
（1）直接利用函数的奇偶性定义判断即可；
（2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论； （3）利用（2）的结论，得到函数在区间上的单调性，进一步求得最值． 【详解】 函数1
()f x x x
=
+的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞ （1）因为对任意的0x ≠，都有11
()()()()()f x x x f x x x
-=
+-=-+=--，
故函数()f x 为奇函数．
（2）对区间[
)1，
+∞上的任意两个数1x 、2x ，且12x x <， 则121212121212
111
()()(
)()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-． 由于1x 、[)21x ∈+∞，
且12x x <，则121x x >，1210x x ->，120x x -<． 从而12())0(f x f x -<即12()()f x f x <，
因此函数()f x 在区间[
)1，
+∞上为增函数． （3）由（2）知，函数()f x 在区间[
)1，
+∞上为增函数，由（1）知，函数()f x 是奇函数，
所以函数()f x 在区间(],1-∞-上为增函数，
则函数()f x 在区间[]41--，
上为增函数， 故()min f x =()17
44
f -=-，()()12max f x f =-=-． 【点睛】
方法点睛：判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为奇函数)；（2）和差法， ()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函
数）；（3）作商法，
()
()
1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） . 22．（1）(0)1f =-；()12f =；（2）4k <. 【分析】
（1）令0x y ==可得(0)f ，令1x y ==可得()1f ； （2）转化条件为222k x x <-对11,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
∀恒成立，换元后求得222x x -的最小值即可得解. 【详解】
（1）令0x y ==，则(0)(0)(0)1f f f =++，所以(0)1f =-； 令1x y ==，则(2)(1)(1)15f f f =++=，所以()12f =；
（2）由题意，不等式2()(21)1f kx f x +-<可转化为2
()(21)12f kx f x +-+<，
所以()
()2
211f kx x f +-<，
因为函数()f x 单调递增，所以2211kx x +-<， 所以222k x x <
-对11,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
∀恒成立，
令[]12,3t x =∈，则2
21122222
t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以当2t =即1
2
x =时，222t t -取最小值4， 所以4k <. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的单调性转化不等式为222k x x
<
-对11,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
∀恒成立，再转化为求222x x -的最小值即可得解.
23．（1）增函数，证明见解析；（2）1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
【分析】
（1）()f x 在(2,2)-上为增函数，任取1x ，2(2,2)x ∈-，且12x x <，化简()()12f x f x -并判断与零的大小关系，得出结论；
（2）利用函数的定义域和单调性，列出不等式组，解出实数a 的取值范围． 【详解】
（1）()f x 在(2,2)-上为增函数. 证明：任取1x ，2(2,2)x ∈-，且12x x <， 所以()()12
12221244x x f x f x x x -=
-++()()()()
211222
12444
x x x x x x --=++. 因为1222x x -<<<， 所以210x x ->，1240x x -<
则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数.
（2）解：由（1）知，()f x 在(2,2)-上单调递增，又(2)(21)f a f a +>-，
所以222,
2212,221,a a a a -<+<⎧⎪
-<-<⎨⎪+>-⎩
解得40,13,2
23,
a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨
⎪<⎪⎩ 即1
02
a -
<<，
所以a 的取值范围是1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
方法点睛：本题考查定义法判断函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，考查学生计算能力，定义法证明单调性的步骤：
取值，在定义域或者给定区间上任意取任取12,x x ，不妨设12x x <；
作差，变形，对()()21f x f x -化简，通过因式分解或者配方法等，判断出差值的符号； 定号，确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； 判断，根据定义得出结论．
24．（1）在区间(,-∞的单调递增，在区间()
的单调递减；（2）
2,3⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
． 【分析】
（1）利用对勾函数的性质，直接写出结论即可；
（2）利用不等式恒成立的关系，把问题从()5f x ≥恒成立，
转化为对于任意的x N *
∈，21351
x ax x ++≥+恒成立，利用参变分离的方法，等价于
()85a x x x *⎛
⎫≥-+∈ ⎪⎝
⎭N ，然后，根据对勾函数的性质进行求解即可
【详解】
解：（1）因为函数k
y x x
=+
()0k >在(单调递减，在)
+∞单调递增，
所以，当2k =时函数2
y x x
=+在(单调递减，在)
+∞单调递增．
易知函数2
y x x
=+为奇函数，
所以函数y x x
=+
在区间(,-∞的单调递增；
在区间()
的单调递减．
（2）由题意，对任意的x N *∈，有()5f x ≥恒成立，
即对于任意的x N *
∈，213
51
x ax x ++≥+恒成立，
等价于()85a x x x *
⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝⎭
N ． 设()()8
g x x x x
*=+
∈N ，
易知，当且仅当8
x x
=
，即x =()g x 取得最小值，
由题设知，函数()g x 在(0,上单调递减，在()
+∞上单调递增． 又因为x N *∈，且()26g =，()17
33
g =，而()()23g g >， 所以当3x =时，()min 173
g x =． 所以81725533x x ⎛⎫-+
≤-=- ⎪⎝⎭，即23
a ≥-， 故所求实数a 的取值范围是2,3⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
关键点睛：解题的关键在于，利用参变分离法，把问题转化为证明
()85a x x x *⎛
⎫≥-+∈ ⎪⎝
⎭N 恒成立，进而利用对勾函数性质求解，属于中档题
25．（1）[)4,-+∞；（2）答案见解析；（3）1,8⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
. 【分析】
（1）由二次函数值域的求解方法可直接求得结果；
（2）将不等式变为()()30x a x a -->，分别在0a =、0a <和0a >三种情况下讨论得到不等式的解集；
（3）利用分离变量法得到142a x x <+
-，令()1
2g x x x
=+-，由对勾函数性质可求得()min g x ，由()min 4a g x <可求得结果.
【详解】
（1）当1a =时，()2
4f x x x =-，
∴当2x =时，()min 484f x =-=-，则()f x 的值域为[)4,-+∞.
（2）由()2
30f x a +>得：()()2
2
4330x ax a x a x a -+=-->，
当0a =时，20x >，则不等式的解集为()(),00,-∞⋃+∞； 当0a <时，3a a <，则不等式的解集为()(),3,a a -∞+∞； 当0a >时，3a a >，则不等式的解集为()
(),3,a a -∞+∞.
（3）由()21f x x >-得：2421x ax x ->-，[)2,x ∈+∞
1
42a x x
∴<+
-
记函数()1
2g x x x
=+
-，由对勾函数性质知：()g x 在[)2,+∞上单调递增， ()()1122222g x g ∴≥=+-=，142
a ∴<，解得：1
8a <，
a ∴的取值范围为1,8⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
方法点睛：恒成立问题的常用处理方法是采用分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系：①若()a f x ≤恒成立，则()min a f x ≤；②若()a f x ≥恒成立，则()max a f x ≥.
26．（1）10m ≥（2）1-（3）158
a ≥ 【分析】
（1）转化为max ()m f x ≥，利用二次函数单调性求出最大值即可得解； （2）将不等式化为1222a x x +<+恒成立，利用12(0,)x x +∈+∞可解得结果； （3）因为211
()()22g x f x x ax a x x
=+
=-++在区间()1,2上单调递减，设1212x x <<<，则12()()0g x g x ->，即1212
1
2a x x x x >+-对任意的1212x x <<<恒成
立，根据1212111522224x x x x +-<+-=⨯可得1524a ≥，得158
a ≥即为所求. 【详解】
（1）若1a =，22
()22(1)1f x x x x =-+=-+在[2,1)-上递减，在(1,2]上递增，
所以max ()(2)10f x f =-=，
因为对[]
2,2x ∀∈-，()f x m 即222x x m -+≤成立，所以max ()10m f x ≥=. （2）若0a <，()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()1212||2||f x f x x x ->-成立，
则22
112212|2222|2||x ax a x ax a x x -+-+->-，即
121212|||2|2||x x x x a x x -⋅+->-，
因为0a <，12120,0,x x x x >>≠，所以1222x x a +->，即1222a x x +<+恒成立， 因为120x x +>，所以220a +≤，得1a ≤-，所以实数a 的最大值为1-. （3）211
()()22g x f x x ax a x x
=+
=-++在区间()1,2上单调递减， 设1212x x <<<，则12()()g x g x -=2
2
112212
112222x ax a x ax a x x -++
-+--
121212
1
()(2)x x x x a x x =-+--
0>对任意的1212x x <<<恒成立， 因为120x x -<，所以1212
120x x a x x +--<，即121212a x x x x >+-对任意的
1212x x <<<恒成立，
因为12121115
22224x x x x +-<+-=⨯，所以1524a ≥，即158
a ≥. 【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；。