2017-2018学年高中数学人教B版 选修1-1教师用书：第1

1．1 命题与量词
1．1.1 命题
1．了解命题、真命题、假命题的概念及命题的构成．(重点)
2．会判断所给语句是不是命题，并判断命题的真假性．(难点、易错点) 3．理解命题的结构形式，并能把命题改写成“若p，则q”的形式．
[基础·初探]
教材整理命题的概念及结构
阅读教材P3～P4，完成下列问题．
1．命题的定义
在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．命题的分类
(1)真命题：判断为真的语句叫做真命题；
(2)假命题：判断为假的语句叫做假命题．
3．命题的结构
(1)结构形式：若p，则q.
(2)命题的条件是：命题中的p；命题的结论是：命题中的q.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“指数函数的图象真漂亮”是命题．()
(2)语句“陈述句都是命题”不是命题．()
(3)命题“实数的平方是非负数”是真命题．()
(4)“mx2＋2x－1＝0是一元二次方程”是真命题．()
(5)“一个素数的平方仍是素数”的条件是“一个数是素数”．() 【解析】(1)×.因为漂亮没有明确的标准，无法判断对错，故(1)错．
(2)×.这个句子无法判断真假，故(2)错．
(3)√.
(4)×.m＝0时2x－1＝0是一元一次方程，故(4)错．
(5)√.
【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________
[小组合作型]
(1)求证3是无理数；
(2)若x∈R，则x2＋4x＋4≥0；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；
(5)若xy是有理数，则x、y都是有理数；
(6)60x＋9＞4. 【导学号：25650000】
【精彩点拨】判断一个语句是否为命题，一般把握住两点：①看其是否为陈述句，②能否判断真假，两者同时成立才是命题．注意不要把假命题误认为不是命题．
【自主解答】(1)是祈使句，不是命题．
(2)因为x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，所以可以判断其真假，是命题．
(3)是疑问句，不是命题．
(4)有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果，故可以判断真假，是命题．
(5)是命题，可以判断真假，如：3·(－3)是有理数，但3和－3都是无理数．
(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定．
判断一个语句是否为命题的步骤
1．语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．
2．该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．
[再练一题]
1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．
①x－2＞0；
②梯形是不是平面图形呢？
③若a与b是无理数，则ab是无理数；
④这盆花长得太好了！
⑤若x＜2，则x＜3.
【解】①不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．
②不是命题，疑问句不是命题．
③是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b＝2)
④不是命题，感叹句不是命题．
⑤是命题，因为此语句是陈述句且是真的．
(1)若a ＞b ，则a 2＞b 2；
(2)x ＝1是方程(x －2)(x －1)＝0的根；
(3)当x ＝4时，2x ＋1＜0；
(4)直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切．
【精彩点拨】 ―命题定义
―――――→证明(举反例)
【自主解答】 (1)为假命题，如a ＝1，b ＝－2时，有a ＞b ，但a 2＜b 2.
(2)为真命题，由方程的根的定义，将x ＝1代入方程，即可作出判断．
(3)为假命题，x ＝4不满足2x ＋1＜0.
(4)为假命题，圆心到直线的距离d ＝22小于圆的半径1，直线与圆相交．
判断命题真假的两个技巧
1．真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学地推理论证得出要证的结论．
2．假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一个反例即可．
[再练一题]
2．下列命题中真命题的个数有( )
①mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程；②抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集. 【导学号：25650001】
A ．1个
B ．2个
C．3个D．4个
【解析】①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．
【答案】 A
[探究共研型]
分构成？
(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；
(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．
【提示】(1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a是偶数．
(2)条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分．
探究2将命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有a2＞b2”写成“若p，则q”的形式，它的条件和结论分别是什么？
【提示】根据题意，“若p，则q”的形式为：已知a，b为正数，若a＞b，则a2＞b2.
其中条件p：a＞b，结论q：a2＞b2，为真命题．
指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假．
(1)菱形的对角线相等且互相平分；
(2)相等的两个角是对顶角．
【精彩点拨】
【自主解答】(1)命题“菱形的对角线相等且互相平分”，即“若一个四边形是菱形，则它的对角线相等且互相平分”．条件p：一个四边形是菱形，结论q：它的对角线相等且互相平分．此命题为假命题．
(2)命题“相等的两个角是对顶角”，即“若两个角相等，则这两个角是对顶角”．条件p：两个角相等，结论q：这两个角是对顶角．此命题为假命题．
把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．
[再练一题]
3．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行；
(2)负数的立方是负数；
(3)对顶角相等. 【导学号：25650002】
【解】(1)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．它是假命题．
(2)若一个数是负数，则这一个数的立方是负数．它是真命题．
(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等．它是真命题．
[构建·体系]
1．下列语句是命题的是()
A．2016是一个大数
B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C．对数函数是增函数吗
D．a≤15
【解析】A中，大数没有具体标准，无法判断真假，故A错；
B中，由命题的定义知B对；
C是疑问句，故C错；
D中含字母，无法判断真假，故D错．
【答案】 B
2．下列命题中真命题的个数为()
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a＞b，则a＋c＞b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
A．1B．2
C．3 D．4
【解析】①错；②中x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线相等不一定互相垂直．
【答案】 A
3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是()
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
【解析】由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．
【答案】 D
4．命题“6的倍数既能被2整除，又能被3整除”的结论是()
A．这个数能被2整除
B．这个数能被3整除
C．这个数既能被2整除，也能被3整除
D．这个数是6的倍数
【解析】 “若p ，则q ”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．
【答案】 C
5．已知命题p ：x 2－2x －2≥1；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围. 【导学号：25650003】
【解】 由x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，
解得x ≤－1或x ≥3.
故命题p ：x ≤－1或x ≥3.
又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假，
则⎩⎨⎧
x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4，
所以x ≤－1或x ≥4.
综上，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．。