圆锥曲线易错点剖析

圆锥曲线易错点剖析
作者：王庶
来源：《高中生学习·高二理综版》2011年第12期
圆锥曲线问题是高考命题的重点内容，在高考中属于中等或中等以上的题型，同学们在解题过程中常常会出现这样或那样的错误，有的错误还不容易发觉.
一、概念一知半解
我们认识一种新事物往往从定义概念去入手，它是解决数学问题的重要依据和源泉，然而我们有许多同学一目十行，似懂非懂，没有深入，导致了概念性的错误．
1．圆锥曲线第一定义
椭圆：与两个定点[F1、F2]距离的和等于常数[2a]，且[2a一定要大于F1F2]，当常数等于[F1F2]时轨迹是线段[F1F2]，当常数小于[F1F2]时，没有轨迹；
双曲线：与两定点[F1、F2]距离之差的绝对值等于常数[2a]，且常数[2a]一定要小于
[F1F2]，当[F1F2]=[2a]时，轨迹是以[F1、F2]为端点的两条射线，当[F1F2>2a]时，则轨迹不存在，若去掉绝对值其轨迹表示双曲线的一支．
例1 （1）已知定点[F1(-3,0)、F(3,0)]，且动点[P]满足[PF1+PF2=6]，则动点[P]的轨迹为（）
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 两条射线
D. 一条线段
（2）若动点[P(x,y)]满足[(x-6)2+y2-][(x+6)2+y2][=8]，则动点[P]的轨迹是（）
A. 双曲线
B. 两条射线
C. 双曲线左支
D. 双曲线右支
解析（1）由椭圆的定义可知常数[2a]一定要大于[F1F2]时才是椭圆，当常数等于[F1F2]时，轨迹是线段[F1F2]，故选D；
（2）双曲线方程有两支，当没有绝对值时只表示其中的一支，根据题意故选C．
2．圆锥曲线第二定义
若平面上动点[P]到一个定点的距离与到一条定直线距离之比为一个常数[e]，则当[01]时，轨迹为双曲线；当[e=1]时，轨迹为抛物线. 要注意定点、定直线是相应的．
例2 （1）已知双曲线方程为[3x2-y2=9]，双曲线右支上的点[P]到右焦点的距离为[3]，则点[P]到准线[x=-32]的距离为（）
A. [32]
B. [23]
C. 2
D. [32+3]
（2）已知椭圆方程为[x225+y29=1]，椭圆上一点[M]到左焦点的距离为6，则点[M]到右准线的距离为
解析（1）此题易出错的原因是要记住右焦点对应右准线，要看清题中所给的焦点和准线是否相应，这需要我们对第二定义的概念要清楚．根据第二定义求出点[P]到右准线的距离为[32]，则点[P]到左准线[x=-32]的距离为[32+3]．
（2）根据第二定义，左焦点对应左准线先求出点[M]到左准线的距离[d1=152]，则点[M]到右准线的距离为[d2=2×254-152=5]．
二、忽视变量范围
在解决圆锥曲线综合性问题时，要考虑圆锥曲线本身变量的范围，而在进行纯代数运算时往往容易忽视．
例3 已知曲线[C：y=20-x22]与直线[l]：[y=-x+m]仅有一个公共点，求[m]的取值范围．
错解曲线[C]化简得[x2+4y2=20]，由于曲线[C]与直线[l]只有一个公共点，
由[y=20-x22,y=-x+m,]
[⇒][5x2-8mx+4m2-20=0][⇒][Δ=0],解得[m=±5.]
正解方程[x2+4y2=20]与原方程[y=20-x22]并不等价，因为[y≥0]，故原曲线[C]表示的是椭圆[x]轴的上半部分．根据题意将曲线图象画出.
由图象可知[m=5或-25≤m
点拨在方程化简过程中一定要注意变量的取值范围和等价性，数形结合有助于我们解决此类问题.
三、考虑问题不周全
在解决圆锥曲线有关问题时，首先要对焦点位置进行判断，否则很容易造成经验性错误；在求解直线与圆锥曲线问题时，要注意对直线与曲线位置进行判断，尤其是特殊情况．
例4 设双曲线的渐近线方程为[y=±32x]，求双曲线的离心率．
错解由双曲线的渐近线方程[y=±32x]知
[ba=32][⇒e=1+b2a2=132.]
正解仅由双曲线的渐近线方程是无法判断焦点位置的，本题出错的原因是同学们的惯性思维和思维不严谨的结果，应分两种情况：
当焦点在[x]轴时，[e=1+b2a2=132]；
当焦点在[y]轴时，[e=1+(23)2=133]．
例5 设点[P(x,y)]在椭圆[4x2+y2=4]上，求[x+y]的最大值和最小值．
错解 [∵4x2+y2=4, ∴4x2≤4]，
解得[-1≤x≤1].
同理得[-2≤y≤2.]
故[-3≤x+y≤3]，最大值为3，最小值为[-3]．
正解法一：设[x+y=k]，则[y=-x+k]，[k]为直线[y=-x+k]在[y]轴上的截距，由数形结合可知：当直线与椭圆在第一象限相切时，[k]取得最大值；当直线与椭圆在第三象限相切时，[k]取得最小值.
联立方程[4x2+y2=4y=-x+k][⇒5x2-2kx+k2-4=0.]
由于相切时取最大值和最小值，
则[Δ=(2k)2-4×5×(k2-4)=0,]解得[k=±5]，
即最大值为[5]，最小值为[-5].
法二：[∵4x2+y2=4, ∴x2+y24=1,]
设[x=cosα,y=2sinα,]
则[x+y=cosα+2sinα][=5sin(α+θ).]
[∵-1≤sin(α+θ)≤1,]
[∴-5≤5sin(α+θ)≤5,]
即[-5≤x+y≤5.]
点拨本题中的[x、y]除了满足[-1≤x≤1]，[-2≤y≤2]以外还受条件[4x2+y2=4]制约，在做题时要考虑全面，防止范围扩大导致答案错误．
四、忽略隐含条件
在解决圆锥曲线综合性问题时，一定要善于挖掘题中所给的隐含条件，比如参数变量的范围、圆锥曲线图象特征等．
例6 已知双曲线方程为[x2-y22=1]，过点[P(1,1)]能否作一条直线[l]与双曲线交于[A、B]两点，且点[P]为[AB]的中点．
错解当直线的斜率不存在时，此时直线过点[P]垂直于[x]轴过点[(1,0)]，与双曲线只有一个交点，很显然不符合题意．
当直线斜率存在时，设直线方程为[y-1=k(x-1)]，联立方程[x2-y22=1]，
整理得[(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0]，
设[A(x1,y1), B(x2,y2)],
由根与系数的关系得[x1+x2=2k(1-k)2-k2]，
又因为点[P]为[AB]的中点，所以[2k(1-k)2-k2=2,]
解得[k=2]，故存在这样的直线方程为[y=2x-1].
正解由题目条件可知直线与曲线交于不同两点，故[Δ>0]，而当[k=2]时其[Δ
点拨在解决圆锥曲线问题时，我们定要考虑全面，不能漏解，尤其是有关直线与圆锥曲线问题一定要注意对隐含条件判别式[Δ]符号的判断．
例7 已知曲线[C:y=x2]与直线[l:x-y+2=0]交于两点[A(xA,yA)]和[B(xB,yB)]，且[xA （1）若点[Q]是线段[AB]的中点，试求线段[PQ]的中点[M]的轨迹方程；
（2）若曲线[G:x2-2ax+y2-4y+a2+5125=0]与[D]有公共点，试求[a]的最小值．
解（1）联立[y=x2]与[y=x+2]解得
[xA=-1,xB=2]，则[AB]中点[Q(12,52)]，
设线段[PQ]的中点[M]坐标为[(x,y)]，
则[x=12+s2,][y=52+t2]，
即[s=2x-12,t=2y-52].
又点[P]在曲线[C]上，
∴[2y-52=(2x-12)2]，
化简可得[y=x2-x+118]，
又点[P]是[L]上的任一点，且不与点[A]和点[B]重合，则[-1
∴中点[M]的轨迹方程为
[y=x2-x+118][(-14
（2）曲线[G:x2-2ax+y2-4y+a2+5125=0]，
即圆[E: (x-a)2+(y-2)2=4925]，
其圆心坐标为[E(a,2)]，半径[r=75.]
由图可知：
当[0≤a≤2]时，曲线[G:x2-2ax+y2-4y+][a2+5125=0]与点[D]有公共点；
当[a
点拨在求圆锥曲线轨迹方程问题时，要注意轨迹的纯粹性，去杂堵漏，挖掘题中隐含条件，约束变量范围，有时还要借助分类讨论来确定．。