高中人教A版数学选修1-2课时跟踪检测：第2章 推理与证明 2.1 2.1.2

第二章推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
课时跟踪检测
一、选择题
1．下列表述正确的是()
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④
C．②④⑤D．①③⑤
答案：D
2．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的小前提是()
A．增函数的定义
B．函数y＝x3满足增函数的定义
C．若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)
D．若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)
解析：在“三段论”中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y＝x3满足增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.
答案：B
3．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的() A．大前提B．小前提
C．结论D．三段论
解析：证明中省略了大前提，大前提应为“在同一个三角形中，大角对大边”，因此画线部分应为小前提．
答案：B
4．对a，b∈(0，＋∞)，a＋b≥2ab，大前提
x＋1
x≥2x·
1
x，小前提
所以x＋1
x≥2.结论
以上推理过程中的错误为()
A．大前提B．小前提
C．结论D．无错误
解析：在小前提中，缺少条件x∈(0，＋∞)，因此小前提不正确．
答案：B
5．(2019·武城期中)演绎推理“因为f′(x0)＝0时，x0是f(x)的极值点，而对于函数f(x)＝x3，f′(0)＝0，所以0是函数f(x)＝x3的极值点．”所得结论错误的原因是()
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．全不正确
答案：A
6．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
解析：取DC的中点O，连接EO，ON，
不妨设AB ＝1，
∴ED ＝DC ＝CE ＝1，
∴EO ＝32，ON ＝12，
∵平面ECD ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面ECD ，
∴EO ⊥底面ABCD ，又∵ON ⊂平面ABCD ，
∴EO ⊥ON ，
∴EN ＝EO 2＋ON 2＝1，
连接MC ，∵平面ECD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，
∴BC ⊥平面ECD ，∴BC ⊥CM ，
∴BM ＝BC 2＋CM 2＝
1＋34＝72，
∴EN ≠BM .
连接BE ，∵在△DBE 中，M 、N 分别为DE 、BD 的中点，BM 与EN 都在平面DBE 中，
∴BM ，EN 是相交直线，故选B.
答案：B
二、填空题
7．由“(a 2＋1)x >3，得x >3a 2＋1”的推理过程中，其大前提是__________________________________________．
答案：不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不改变
8．设f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，其中a ，b ，c 是互不相等的常数，则
a f ′(a )
＋b f ′(b )＋c f ′(c )
＝________. 解析：∵f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )．
∴f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )(x －b )．
∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，
f ′(b )＝(b －a )(b －c )，
f ′(c )＝(c －a )(c －b )．
∴
a f ′(a )＋
b f ′(b )＋
c f ′(c ) ＝
a (a －
b )(a －
c )＋b (b －a )(b －c )＋c (c －a )(c －b ) ＝a (b －c )＋b (c －a )＋c (a －b )(a －b )(a －c )(b －c )
＝0. 答案：0
9．关于函数f (x )＝ln x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：
①其图象关于y 轴对称；
②当x ＞0时，f (x )为增函数；
③f (x )的最小值为ln 2；
④当－1＜x ＜0或x ＞1时，f (x )为增函数；
⑤f (x )无最大值，也无最小值．
其中正确结论的序号是________．
解析：易知f (－x )＝f (x )，又定义域关于原点对称，
∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，故①正确；当x ＞0时，f (x )＝ln x 2＋1x
＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x .∵y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确；而当x ＝1时，f (x )有最小值ln 2，故③正确；由偶函数的对称性知，④正确，⑤不正确．
答案：①③④
三、解答题
10．下列推理是否正确，错误的请指出其错误之处．
(1)求证：四边形的内角和等于360°.
证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°；
(2)已知 2和 3是无理数，试证： 2＋ 3也是无理数．
证明：依题设， 2和 3是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，故 2＋ 3也是无理数．
解：(1)错误．犯了偷换论题的错误．在证明过程中，把论题的四边形改为了矩形．
(2)错误．结论虽然正确，但是证明是错误的．这里使用的论据(即大前提)“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．例如 3和－ 3都是无理数，但3＋(－3)＝0,0是有理数．
11．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)．证
明：
(1)数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .
证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)，
∴(n ＋2)S n ＝na n ＋1＝n (S n ＋1－S n )，
即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴
S n ＋1n ＋1＝2·S n n (n ＝1,2,3，…)． 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项是1，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知，S n ＋1n ＋1＝2·S n n ＝4·S n －1n －1
(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1
＝4a n (n ≥2)． 又∵a 2＝3S 1＝3，∴S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1.
故对任意的n ∈N ＋，有S n ＋1＝4a n .
12．设f (x )对x ＞0有意义，f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (x )＞f (y )成立的充要条件是x ＞y ＞0.
(1)求f (1)与f (4)的值；
(2)当f (x )＋f (x －3)≤2时，求x 的取值范围．
解：(1)∵f (2)＝1，且对于x ＞0，y ＞0，有f (xy )＝f (x )＋f (y )，
∴令x ＝1，y ＝2，得f (2)＝f (1)＋f (2)，∴f (1)＝0； 令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)＝2.
(2)由f (xy )＝f (x )＋f (y )，得f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3x )． 又f (4)＝2，由f (x )＋f (x －3)≤2，得f (x 2－3x )≤f (4)． 由f (x )＞f (y )成立的充要条件是x ＞y ＞0，
得⎩⎨⎧ x 2－3x ≤4，
x ＞0，
x －3＞0.解得3＜x ≤4.
13．(2019·太原五中检测)已知函数f (x )＝lg 1－x
1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )＝(
) A ．b B ．－b
C.1b D ．－1b
解析：若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， f (x )＝lg 1－x
1＋x 的定义域为(－1,1)．
f (－x )＝l
g 1＋x
1－x ＝－lg 1－x
1＋x ＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数，
∴f (－a )＝－f (a )＝－b ，故选B.
答案：B
由Ruize收集整理。

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