信号与系统课件第七章离散系统时域分析
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7 离散时间系统的时域分析4
m m −1
+ … + b1s + b0
则有：D( s )[ y (k )] = N ( s )[e(k )]
§7.4 离散时间系统的零输入响应
2、零输入响应的解法 ① 一阶系统 y (k + 1) + a0 y (k ) = b0 e( k )
则：sy (k ) + a0 y (k ) = b0 e(k ) e( k ) = 0 根据 即： s + a0 ) y (k ) = 0 ( y (k + 1) = − a0 y (k )
例4：有一离散时间系统，用下列差分方程描写y(k+2)有一离散时间系统，用下列差分方程描写y(k+2)y(k+2) 3y(k+1)+2y(k)=e(k+1)-2e(k),系统的初始条件为 3y(k+1)+2y(k)=e(k+1)-2e(k),系统的初始条件为 (1)=1.求该系统的零输入响应 求该系统的零输入响应。 yzi(0)=0,yzi(1)=1.求该系统的零输入响应。
y ( k ) = cr k
(
r −1
+ ar −1k +
n j = r +1
r −2
+ ⋯ + c2 k + c1 vr
k j
)
k
∑c v
j
,k ≥ 0
式中c 为待定系数，可由初始条件y(0) y(0)， 式中c1，c2，…，cn为待定系数，可由初始条件y(0)， y(1)， y(n-1)确定 确定。 y(1)， …，y(n-1)确定。 注：共轭复根可配对（变幅正弦序列） 共轭复根可配对（变幅正弦序列）
《信号与系统教案》课件
《信号与系统教案》PPT课件第一章：信号与系统概述1.1 信号的概念与分类定义：信号是自变量为时间（或空间）的函数，用于描述物理量或信息。
分类：模拟信号、数字信号、离散信号、连续信号等。
1.2 系统的概念与分类定义：系统是由输入信号、系统本身和输出信号三部分组成的。
分类：线性系统、非线性系统、时不变系统、时变系统等。
第二章：信号的运算与处理2.1 信号的运算加法、减法、乘法、除法等基本运算。
叠加原理与分配律。
2.2 信号的处理滤波器、放大器、采样与量化等。
第三章：线性时不变系统的性质3.1 齐次性定义：若系统对于任意输入信号f(t)，其输出信号y(t)都满足y(t)=af(t)，则称系统为齐次系统。
3.2 叠加性定义：若系统对于两个输入信号f1(t)和f2(t)的输出信号y1(t)和y2(t)满足y1(t)+y2(t)=a(f1(t)+f2(t))，则称系统为叠加系统。
3.3 时不变性定义：若系统对于任意输入信号f(t)，其输出信号y(t-t0)与输入信号f(t-t0)的输出信号y(t)相同，则称系统为时不变系统。
第四章：傅里叶级数与傅里叶变换4.1 傅里叶级数定义：将周期信号分解为正弦、余弦信号的和。
傅里叶级数的展开与系数计算。
4.2 傅里叶变换定义：将信号从时域转换到频域。
傅里叶变换的性质与计算方法。
第五章：拉普拉斯变换与Z变换5.1 拉普拉斯变换定义：将信号从时域转换到复频域。
拉普拉斯变换的性质与计算方法。
5.2 Z变换定义：将信号从时域转换到离散域。
Z变换的性质与计算方法。
第六章：信号与系统的时域分析6.1 系统的时域响应定义：系统对输入信号的响应称为系统的时域响应。
系统的时域响应的计算方法。
6.2 系统的稳定性定义：系统在长时间内能否收敛到一个稳定状态。
判断系统稳定性的方法。
第七章：信号与系统的频域分析7.1 傅里叶变换的应用频谱分析：分析信号的频率成分。
滤波器设计：设计线性时不变系统的滤波器。
自动控制理论课件第七章离散系统的时域分析
y(n) y(n 1) 0
已知起始状态y(1) 2,试求零输入响应。
解：在无外加输入时系统的零输入响应通常
是指n 0以后的响应起始状态是值y(1),
y(2), 各值。
y(n) y(n 1)
故有 y(n) y(1) y(2)
y(n 1) y(0) y(1)
y(n)是公比为的等比级数，故零输入响应有如下形式
是一阶非齐次差分方程。
梯形电阻网络，设各点 对地电压为 u(n), n 0,1,2,...为各节点
序号，为常数，则求其差分方程。
根据KCL, 有
u(n 1) u(n) u(n) u(n) u(n 1)
R
R
R
整理可得
u(n 1) u(n 1) (2a 1)u(n) 0
是关于节点电压的齐次差分方程。
u(n) (2a 1)u(n 1) u(n 2) 0
差分方程的阶数为未知 序列(响应序列)的最大序号与
最小序号之差。上式为 二阶差分方程。
对于一个线性是不变离散系统，若响应信号为y(n)，
输入信号为f (n)，则描述系统输入- 输出关系的
N阶差分方程为
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) aN-1y(n N 1) aN y(n N )
an n 1 a 0
1 1 O 1
23
4n
5．正弦序列
xn sinnω0
余弦序列：xn cosn0
sinnω0
1
sin 0 t
O
1
5
10 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
当
＝2π 0 10
,
则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
已知起始状态y(1) 2,试求零输入响应。
解：在无外加输入时系统的零输入响应通常
是指n 0以后的响应起始状态是值y(1),
y(2), 各值。
y(n) y(n 1)
故有 y(n) y(1) y(2)
y(n 1) y(0) y(1)
y(n)是公比为的等比级数，故零输入响应有如下形式
是一阶非齐次差分方程。
梯形电阻网络，设各点 对地电压为 u(n), n 0,1,2,...为各节点
序号，为常数，则求其差分方程。
根据KCL, 有
u(n 1) u(n) u(n) u(n) u(n 1)
R
R
R
整理可得
u(n 1) u(n 1) (2a 1)u(n) 0
是关于节点电压的齐次差分方程。
u(n) (2a 1)u(n 1) u(n 2) 0
差分方程的阶数为未知 序列(响应序列)的最大序号与
最小序号之差。上式为 二阶差分方程。
对于一个线性是不变离散系统，若响应信号为y(n)，
输入信号为f (n)，则描述系统输入- 输出关系的
N阶差分方程为
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) aN-1y(n N 1) aN y(n N )
an n 1 a 0
1 1 O 1
23
4n
5．正弦序列
xn sinnω0
余弦序列：xn cosn0
sinnω0
1
sin 0 t
O
1
5
10 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
当
＝2π 0 10
,
则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
信号与系统-离散信号与系统
(1)
y (k + 3) − 2 2 y (k + 2) + y (k + 1) + 0 y (k ) = f (k ) 1 y (k + 2) − y (k + 1) + y (k ) = f (k ) 4
(2)
解：用转移算子法求。
1 (1) H ( E ) = 3 2 E − 2 2E + E 1 = E ( E − 2 − 1)( E − 2 + 1) 1 1 1 2( 2 + 1) 2( 2 − 1) = + − E E − 2 −1 E − 2 + 1
f ( n )= ∑ i=-∞ f(i) ∗ δ (k-i)=f(n) ∗ δ (n)
∞
四 离散信号的卷积和
l 定义
f1 (n) ∗ f2 (n)=∑i=-∞ f1 (i) ∗ f2 (k-i)=∑i=-∞ f2 (i) ∗ f1 (k-i)
∞ ∞
l 上下限范围
– 当f1(n), f2(n)均为因果序列
yh (n) =
l
l
∑
K
N i =1
A iα
n i
i −1 n yh (n) = ∑i =+1 An α1 + ∑i=k +1 Aiαin i N
l l l
将所求得的强迫解和自由解相加，即可得到全响应 将给定的全响应的初始值代入到方程中，已确定待定系数 将所求得的待定系数带入到全响应方程中
例：求下列差分方程所 描述的系统的单位响应 h(k)
1 故h(k) =δ (k −1) +[ ( 2 +1)k−1 − 2( 2 +1) 1 k−1 ( 2 −1) ]U(k −1) 2( 2 −1) 1 k−2 1 k−2 =δ (k −1) +[ ( 2 +1) − ( 2 −1) ]U(k −2) −δ (k −1) 2 2 1 k−2 k−2 = [( 2 +1) −( 2 −1) ]U(k −2) 2
信号与系统：第七章 离散信号与系统时域分析
k 0 k 0
推广： 1)
U (k
j)
0, k 1, k
j j
2) AU (k), AU (k j)
性质：
f
(k)U
(k)
f
(k) 0
k 0 k 0
可见，U(k)作用类似于U(t)，
但二者有较大差别：
U(t) ：奇异信号，数学抽象函数； U(k)：非奇异信号，可实现信号。
(k)与U(k)关系： (k) U(k) U(k 1)
y(k+1)Ey(k)
y(k-N)E-N y(k) y(k+N)EN y(k)
E-1 : 单位延迟算子
17
（2）算子形式的差分方程
1) uk 2 2a 1uk 1 u(k) 0 (E2 2a 1 E 1)u(k) 0
a
a
2） y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k)
[1-(1+a)E-1 ]y(k)=f(k)
周期：N 20 无周期
13
7-2 离散时间系统基本概念
一、定义： 二、分类：
激励、响应均为离散时间信号的系统。
线性系统 非线性系统
时不变系统 时变系统
因果系统 非因果系统
线性系统： f1(k) y1(k) f2 (k) y2 (k) af1(k) bf2(k) ay1(k) by2(k)
k
y(k) f (i) i
y(k)
k
f1(i)
i
0 k 0
1.5 2.5
k 0 k 1
2 k 2
5
5.差分: 序列与其移序序列的差而得到一个新序列。
y(k)=f(k)-f(k-1)
（后向差分）
信号与线性系统分析-第7章
jω j2 -1 0 -j2
2
σ
根据初值定理，有
Ks h(0 ) lim sH ( s ) lim 2 K s s s 2 s 5
2s H ( s) 2 s 2s 5
第 3页
二、系统函数H(· )与系统的因果性
因果系统是指：系统的零状态响应yzs(.)不会出现于f(.)
第 13 页
§7.2
一、稳定系统的定义
系统的稳定性
一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应 也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳 定系统。 即：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
③ H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其 所对应的响应函数都是递增的。 即当t→∞时，响应均趋于∞。系统稳定？
第 8页
复习：s域与z域的关系
z=esT
s
1 ln z 式中T为取样周期 T
如果将s表示为直角坐标形式 s = +j ，将z表示为 极坐标形式 z = ej = eT ， = T 由上式可看出： s平面的左半平面（<0)--->z平面的单 位圆内部（z=<1) s平面的右半平面（>0)--->z平面的单位圆外部（z=>1)
第 6页
系统稳定性问题？
系统的稳定性如何？
系统稳定：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态 响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。 （2）在虚轴上 (a)单极点p=0或p12=±jβ， 则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)→稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为
2
σ
根据初值定理，有
Ks h(0 ) lim sH ( s ) lim 2 K s s s 2 s 5
2s H ( s) 2 s 2s 5
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二、系统函数H(· )与系统的因果性
因果系统是指：系统的零状态响应yzs(.)不会出现于f(.)
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§7.2
一、稳定系统的定义
系统的稳定性
一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应 也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳 定系统。 即：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
③ H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其 所对应的响应函数都是递增的。 即当t→∞时，响应均趋于∞。系统稳定？
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复习：s域与z域的关系
z=esT
s
1 ln z 式中T为取样周期 T
如果将s表示为直角坐标形式 s = +j ，将z表示为 极坐标形式 z = ej = eT ， = T 由上式可看出： s平面的左半平面（<0)--->z平面的单 位圆内部（z=<1) s平面的右半平面（>0)--->z平面的单位圆外部（z=>1)
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系统稳定性问题？
系统的稳定性如何？
系统稳定：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态 响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。 （2）在虚轴上 (a)单极点p=0或p12=±jβ， 则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)→稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为
离散时间信号与离散时间系统
§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ下图表示了)(n k -δ的波形。
连续信号离散信号 数字信号 取样量化这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+(a) 0.9a = (d) 0.9a =-(b) 1a = (e) 1a =-(c) 1.1a = (f) 1.1a =-双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、 离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
信号与系统-吴大正PPT课件
■ 第 17 页
§1.2 信号的描述和分类
信号的描述 信号的分类 几种典型确定性信号
■ 第 18 页
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或 位置变化的物理量。
信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们 可以相互转换。
电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课 程讨论电信号——简称“信号”。
▲
■
第1页
信号与系统
是电子技术、信息工程、通信工程 等专业重要的学科基础课
课程介绍
Signals and Systems
电子技术、 信息工程、 通信工程 等专业的 考研课程
■
第3页
课程位置
先修课
后续课程
《高等数学》 《通信原理》
《线性代数》 《数字信号处理》
《复变函数》 《自动控制原理》
《电路分析基础》 《数字图像处理》
▲
■
第7页
参考书目
(1)郑君里等. 信号与系统(第二版) . 北京：高等教育出 版社, 2000 (2) 管致中等 . 信号与线性系统 (第四版) . 北京：高等 教育出版 社, 2004 (3)A.V.OPPENHEIM. 信号与系统 (第二版) .北京 ：电 子工业出版 社, 2002 (4)王松林、张永瑞、郭宝龙、李小平.信号与线性系统 分析 (第4版) 教学指导书. 北京:高等教育出版 社, 2006
▲
■
第8页
信号与系统
第一章 信号与系统
第二章 连续系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
第五章 连续系统的s域分析
第六章 离散系统的z域分析
第七章 系统函数
第八章 系统的状态变量分析
§1.2 信号的描述和分类
信号的描述 信号的分类 几种典型确定性信号
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一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或 位置变化的物理量。
信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们 可以相互转换。
电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课 程讨论电信号——简称“信号”。
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信号与系统
是电子技术、信息工程、通信工程 等专业重要的学科基础课
课程介绍
Signals and Systems
电子技术、 信息工程、 通信工程 等专业的 考研课程
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课程位置
先修课
后续课程
《高等数学》 《通信原理》
《线性代数》 《数字信号处理》
《复变函数》 《自动控制原理》
《电路分析基础》 《数字图像处理》
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参考书目
(1)郑君里等. 信号与系统(第二版) . 北京：高等教育出 版社, 2000 (2) 管致中等 . 信号与线性系统 (第四版) . 北京：高等 教育出版 社, 2004 (3)A.V.OPPENHEIM. 信号与系统 (第二版) .北京 ：电 子工业出版 社, 2002 (4)王松林、张永瑞、郭宝龙、李小平.信号与线性系统 分析 (第4版) 教学指导书. 北京:高等教育出版 社, 2006
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信号与系统
第一章 信号与系统
第二章 连续系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
第五章 连续系统的s域分析
第六章 离散系统的z域分析
第七章 系统函数
第八章 系统的状态变量分析
信号与系统chapter 7离散时间信号与系统的Z域分析
由此可见，位移特性Z域表达式中包含了系统的起始条 件，把时域差分方程转换为Z域代数方程，因此，可以方便 求出Z域的零输入响应和两状态响应。
式（7.3）又称为左移序性质，与拉普拉斯变换的时域 微分特性相当。式（7.4）又称右移序性质，与拉普拉斯变 换的时域积分特性相当。
进一步，对于因果序列 x ( n ) , x ( 1 ) 0 ,x ( 2 ) 0 , ,则
Z [nx(n)u(n)]zdd zn∞ 0znx(n)zdd zX(z)
求下列序列的Z变换。
(1) n 2 u ( n )
n(n 1)
(2)
u(n)
解：(1 )Z[n2 u(n)] zd d z 2zz 1 zd d z2 zd d z zz 1
dz
z2 z
z [
]
, z 1
zlnz1 1ln1 zzlnzz1,z1
（2）因为
Z1
u(n 1) , z 1 z 1
根据Z域积分特性，可得
∞1
X(z)
x 1dx∞
1
z dxln ,z1
2
z x1
z x(x1 )
z1
§ 6. 卷积和定理
若 x1(n)u(n) ZX 1(z),z Rx;x2(n)u(n) ZX2(z),z Rx，则 ：
第七章 离散时间信号与系统的Z域分析
7.1引言 7.2 Z 变换 7.3 Z 变换的性质 7.4 反变换 7.5离散时间系统的 Z 域分析 7.6离散时间系统的系统函数与系统特性 7.7离散时间系统的模拟
7.1 引 言
按照与连续时间信号与系统相同的分析方法，本章将
讨论离散时间信号与系统的 z 域分析。
§ 4. Z域微分特性
信号与系统第7章(陈后金)3
一、系统函数
2. H(z)与h[k]的关系
[k]
h[k] yzs [k] = [k]*h[k] h[k ]
Z { yzs [k ]} Z {h[k ]} H ( z) Z {h[k ]} Z { [k ]} 1
H ( z ) Z {h[k ]}
h[k ] Z [H ( z)]
H(z)
2.5 1.25 z 1 0.5 z 2 H ( z) 1 0.25 z 2
二、系统函数的零极点分布
系统函数可以表达为零极点增益形式，即
( z r1 )( z r2 )( z rm ) N ( z) H ( z) K D( z ) ( z z1 )( z z2 )( z zn )
-
-
-
W(z)
an-1 an
z域框图
二、离散系统的模拟框图
2. 级联型结构
将系统函数的N(z) 和D(z)分解为一阶或二阶实系
数因子形式，将它们组成一阶和二阶子系统，即
H(z) = H1(z) H2(z) ….. Hn(z)
画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各 子系统级联。
X(z)
H1(z)
H2(z)
D(z)=0的根是H(z)的极点，在z平面用表示。 N(z)=0的根是H(z)的零点，在z平面用 表示。 例如
(2) 1 Im (z) j 0. 5j (3) 0. 5 0 0. 5j j Re (z) 0. 5 1
H (z)
z3(z 1 j)(z 1 j)
(z 0.5)(z 1)2(z 0.5 j0.5)(z 0.5 j0.5)
w[k ] a j w[k j ] x[k ]
离散信号与系统的时域和频域分析
h(0) h(1) ... h(n 1) 0 h(n) 1
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
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本章说明
与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算
④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
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本章说明
与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算
④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。
信号与系统 07离散时间信号离散时间系统
arg ?x?n??? ? 0n
§7.3 离散时间系统的数学 模型—差分方程
?用差分方程描述线性时不变离散系统 ?由实际问题直接得到差分方程 ?由微分方程导出差分方程 ?由系统框图写差分方程 ?差分方程的特点
第
一．用差分方程描述线性时不变离散系统2页7
线性： 均匀性、可加性均成立；
x1 (n )
数值。
离散正弦序列 x?n?? sin?? 0n?是周期序列应满足
x?n ? N ?? x?n?
N称为序列的 周期，为任意 正整数 。
第
正弦序列周期性的判别
23 页
① 2π ? N，N是正整数
?0
sin?? 0 ?n ? N ?? ? sin
正弦序列是周期的
???
?
0
????n
?
2π
?0
????????
3.1
1.5 0.9
o T 2T 3T t
fq ?t ? 4
幅值量化 —— 幅值只能分级变化。
3
2
1
o T 2T 3T t
数字信号： 离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
离散时间系统的优点
第 5
页
?便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优 越性； ?容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精 度取决于位数； ?可靠性好； ?存储器的合理运用使系统具有灵活的功能； ?易消除噪声干扰； ?数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大 大改善了系统的灵活性和通用性； ?易处理速率很低的信号。
??
?
?? n? 0
??
第
2．单位阶跃序列
18 页
u(n )
?
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第7章 离散时间系统的时域分析【圣才
图 7-2-2
7-3 分别绘出以下各序列的图形。 （1）x（n）＝sin（nπ/5）； （2）x（n）＝cos（nπ/10－π/5）； （3）x（n）＝（5/6）nsin（nπ/5）。 解：各序列图形如图 7-2-3（a）～（c）所示。
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（2）x（n）＝－nu（－n）；
（3）x（n）＝2－nu（n）；
（4）x（n）＝（－1/2）－nu（n）；
（5）x（n）＝－（1/2）nu（－n）；
（6）x（n）＝（1/2）n＋1u（n＋1）。
解：各序列图形如图 7-2-2（a）～（f）所示。
（4）x（n）＝（－2）nu（n）；
（5）x（n）＝2n－1u（n－1）；
（6）x（n）＝（1/2）n－1u（n）。
解：各序列图形如图 7-2-1（a）～（f）所示。
图 7-2-1 【总结】离散序列波形即离散时刻之间隔均匀且线段的长短代表各序列值的大小。
7-2 分别绘出以下各序列的图形。 （1）x（n）＝nu（n）；
n1
y n h n mx m
x n
m0
h 0
7.2 课后习题详解
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7-1 分别绘出以下各序列的图形。
（1）x（n）＝（1/2）nu（n）；
（2）x（n）＝2nu（n）；
（3）x（n）＝（－1/2）nu（n）；
3
33
y
2
2
1 3
y
信号与系统
X
信号与系统
第五章 傅里叶变换应用
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 系统函数 H(jω) (jω 利用系统函数求响应 无失真传输 理想低通滤波器 相关, 相关,能量谱和功率谱 利用希尔伯特变换研究系统的约束特性
X
信号与系统
第六章 离散时间系统的时域分析
§6.1 序言 §6.2 离散时间信号——序列 §6.3 离散时间系统的数学模型—差分方程 §6.4 常系数线性差分方程的求解 §6.5 单位样值响应 §6.6 离散卷积（卷积和）
X
信号与பைடு நூலகம்统
第三章 傅里叶变换
§3.1 任意信号在完备正交函数系中的表示法 §3.2 周期信号的频谱分析——傅里叶级数 §3.3 典型周期信号的傅里叶级数 §3.4 非周期信号的频谱分析─傅里叶变换 §3.5 典型非周期信号的频谱 §3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 §3.7 傅里叶变换的性质 §3.9 周期信号的傅里叶变换 §3.10 抽样信号的傅里叶变换 §3.11 抽样定理
X
X
信号与系统
第一章 绪论
§1.1 信号与系统 §1.2 信号的描述和分类 §1.3 信号的运算 §1.4 阶跃信号和冲激信号 §1.5 信号的分解 §1.6 系统模型及其划分 §1.7 线性时不变系统 §1.8 系统分析方法
X
信号与系统
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 引言 §2.2 微分方程式的建立与求解 §2.3 起始点的跳变 §2.4 零输入响应与零状态响应 §2.5 冲激响应和阶跃响应 §2.6 卷积 §2.7 卷积的性质
信号与系统
Signals and Systems
主讲教师：熊庆旭 北京航空航天大学电子信息学院
信号与系统
第五章 傅里叶变换应用
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 系统函数 H(jω) (jω 利用系统函数求响应 无失真传输 理想低通滤波器 相关, 相关,能量谱和功率谱 利用希尔伯特变换研究系统的约束特性
X
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第六章 离散时间系统的时域分析
§6.1 序言 §6.2 离散时间信号——序列 §6.3 离散时间系统的数学模型—差分方程 §6.4 常系数线性差分方程的求解 §6.5 单位样值响应 §6.6 离散卷积（卷积和）
X
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第三章 傅里叶变换
§3.1 任意信号在完备正交函数系中的表示法 §3.2 周期信号的频谱分析——傅里叶级数 §3.3 典型周期信号的傅里叶级数 §3.4 非周期信号的频谱分析─傅里叶变换 §3.5 典型非周期信号的频谱 §3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 §3.7 傅里叶变换的性质 §3.9 周期信号的傅里叶变换 §3.10 抽样信号的傅里叶变换 §3.11 抽样定理
X
X
信号与系统
第一章 绪论
§1.1 信号与系统 §1.2 信号的描述和分类 §1.3 信号的运算 §1.4 阶跃信号和冲激信号 §1.5 信号的分解 §1.6 系统模型及其划分 §1.7 线性时不变系统 §1.8 系统分析方法
X
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第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 引言 §2.2 微分方程式的建立与求解 §2.3 起始点的跳变 §2.4 零输入响应与零状态响应 §2.5 冲激响应和阶跃响应 §2.6 卷积 §2.7 卷积的性质
信号与系统
Signals and Systems
主讲教师：熊庆旭 北京航空航天大学电子信息学院
第七章 z变换、离散时间系统的z域分析 PPT课件
1
n
u(n)的z变换，
2
3
并标明收敛域，绘出零极点图。
解：Zx(n)
x(n)zn
1
n
z
＋
n
1
n
z
n
1
n
＋
1
n
n－
n0 2
n0 3
n0 2z n0 3z
当 1 2z
1即 z
1时，
1
n
2 n0 2z
1 1－1/(2z)
z z1
2
当1 3z
1即 z
1时，
1
n
X (z) k A
m
z
m0 z z
m
其中，z 是 X (z)的极点，z 0。
m
z
0
A m
z
z m
X (z) z
zzm
k
X (z)
Az m
m0 z z
m
k
m0
A m
z m
n
u
(
n)，
（右边Fra bibliotek序列
）
x(n)
Z
X 1
(z)
Z
1
k
m0
A m
z
z z
m
k
m0
A m
z m
n
u(n
1)，（左边序列）
级数的系数就是序列x(n)。
• 右边序列，N(z)、D(z)按z的降幂（或z-1的升幂）排列
X (z) x(n)zn x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2 n0
• 左边序列，N(z)、D(z)按z的升幂（或z-1的降幂）排列
1
X (z) x(n)zn x(1)z1 x(2)z2 x(3)z3 n
离散信号与系统的时域分析实验报告
离散信号与系统的时域分析实验报告1. 引言离散信号与系统是数字信号处理中的重要基础知识，它涉及信号的采样、量化和表示，以及离散系统的描述和分析。
本实验通过对离散信号在时域下的分析，旨在加深对离散信号与系统的理解。
在实验中，我们将学习如何采样和显示离散信号，并通过时域分析方法分析信号的特性。
2. 实验步骤2.1 信号的采样与显示首先，我们需要准备一个模拟信号源，例如函数发生器，来产生一个连续时间域的模拟信号。
通过设置函数发生器的频率和振幅，我们可以产生不同的信号。
接下来，我们需要使用一个采样器来对模拟信号进行采样，将其转化为离散时间域的信号。
使用合适的采样率，我们可以准确地获取模拟信号的离散样本。
最后，我们将采样后的信号通过合适的显示设备进行显示，以便观察和分析。
2.2 信号的观察与分析在实验中，我们可以选择不同类型的模拟信号，例如正弦波、方波或脉冲信号。
通过观察采样后的离散信号，我们可以观察到信号的周期性、频率、振幅等特性。
通过对不同频率和振幅的信号进行采样，我们可以进一步研究信号与采样率之间的关系，例如采样定理等。
2.3 信号的变换与滤波在实验中，我们可以尝试对采样后的离散信号进行变换和滤波。
例如，在频域下对信号进行离散傅里叶变换（DFT），我们可以将时域信号转换为频域信号，以便观察信号的频谱特性。
通过对频谱进行分析，我们可以观察到信号的频率成分和能量分布情况。
此外，我们还可以尝试使用不同的数字滤波器对离散信号进行滤波，以提取感兴趣的频率成分或去除噪声等。
3. 实验结果与分析通过实验，我们可以得到许多有关离散信号与系统的有趣结果。
例如，在观察信号的采样过程中，我们可以发现信号频率大于采样率的一半时，会发生混叠现象，即信号的频谱会发生重叠，导致采样后的信号失真。
而当信号频率小于采样率的一半时，可以还原原始信号。
此外，我们还可以观察到在频域下，正弦波信号为离散频谱，而方波信号则有更多的频率成分。
4. 结论通过本实验，我们对离散信号与系统的时域分析有了更深入的理解。
第七章离散时间系统
y (n) (a 1 b) y (n 1) x(n)
例2：飞机高度控制模型 设正常高度为x(n)，实际高度为y(n-1)，垂直速度为 c[x(n)-y(n-1)] 第n秒飞机的实际高度为 y(n) ＝ y(n-1)＋c[x(n)-y(n-1)] 即 y(n) (1 c) y(n 1) cx(n) 例3：如图电阻梯形网络，各支路的电阻都为R，每个节点对地 电压为v(n)，n=0,1,2,……,N,已知两边界点电压为v(0)=E， v(N)=0，试写出求第n个节点电压v(n)的差分方程。
n0 n0
若：y(n) 2 y(n 1) x(n)
y (0) 2 y (1) x(0), 即y (0) 2 0 1 1
y (2) 2 y (1) x(2)，即y (2) 7 注：该方法概念清楚，比较简单，但只能给出数值解，不能直 接给出一个完整的解析式。 二、经典法 差分方程的一般形式 a0 y (n) a1 y (n 1) a N 1 y (n N 1) a N y (n N )
例2：
y (n) ay(n 1) x(n)
y(n) x(n) 2 x(n 1) 3x(n 2)
二、差分方程的建立 例1：人口模型 第n年总人口为y(n)，正常出生率为a,死亡率为b，第n年从 外地迁入人口为x(n)，上年人口为y(n-1)。 则： y (n) ay(n 1) by(n 1) y (n 1) x(n)
对于任一节点n 1,由KCL得： i1 i2 i3 v(n 2) v(n 1) v(n 1) v(n 1) v(n) i1 , i2 , i3 R R R v(n 2) v(n 1) v(n 1) v(n 1) v(n) R R R 化简：v(n) 3v(n 1) v(n 2) 0
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n 2 y(2) ay (1) x(2) a.a 0 a 2
n n y(n) ay (n 1) x(n) a n
y(n) anu(n)
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信号与系统
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二、时域经典法
差分方程
பைடு நூலகம்
N
M
aky(nk)brx(nr)
k0
r0
N
特征根： ak y(nk有) N个0特征根
r(n)n2u(n)
1 2 3 45
0
n
012345.....
25 16
9
04
n
012345.....
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信号与系统
4
指数序列
a 1
x(n)anu(n) 0a1
1a0
a1
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信号与系统
5
正弦序列
t = nTs
f(t)Asi n0t
x(n)Asin(0nTs)
Asinn(0)
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信号与系统
15
四、已知网络结构建立离散 系统数学模型
网络结构图：
x(n)
1 a
1 E
y(n)1y(n1)x(n) a
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信号与系统
16
1 x(n1)
E
b1
y(n)a1y(n1) b0x(n)b1x(n1)
x(n) b 0
1 E
a1 y(n1)
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信号与系统
(n)
0
n
(nn0)
0
n0
n
2
离散单位阶跃信号
u(n)10
(n0) (n0)
离散矩形序列
1
01234..... n
1 Gn(n) 0
(0nN1) (n0ornN)
1
u(n)u(nn0)
012 3 4
n
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信号与系统
3
斜变序列
R(n)n(un)
y(n )a(n y 1 )x(n )
a1
E
例2：
y(n1)
后向差分方程 多用于因果系统
y(n 1 )a(n y )x(n ) y(n)1[y(n1)x(n)]
x(n)
1
a
E
a
前向差份方程 多用于状态方程
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信号与系统
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三、从常系数微分方程得到 差分方程
在连续和离散之间作某种近似
y(t)y(n) d(yt)1[y(n1)y(n)]
dt Ts
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信号与系统
14
x(t)
y(t)
RCdy(t)y(t)x(t) dt
取近似： y(t)y(n) RC d(yt)RC [y(n1)y(n)]
dt Ts R[C y(n1)y(n) ]y(n)x(n) Ts
y(n1)(1T)y(n)Tx(n) RC RC
M
yi(n)
i0
M
ai yi (n)
i0
时不变性 xi(nm)
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信号与系统
yi(nm)
9
连续系统的数学模型
dnr(t) dn1r(t)
d(rt)
C0 dnt C1 dnt1 ..C .n1 dtCnr(t)
E0ddmem (tt)E1ddm1m te(1t)..E.m1dd(ett)Eme(t)
第七章 离散系统的时域分析
卷积积分 拉氏变换 连续傅立叶变换 卷积定理
差分方程 卷积和 Z变换 离散傅立叶变换 卷积定理
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信号与系统
1
§7.1 离散时间信号
单位样值信号（Unit Sample)
(n) 01
(n0) (n0)
(nn0)01
(nn0) (nn0)
信号与系统
17
x(n)
y(n)a1y(n1)
a2y(n2)x(n)
1 E
a1 y(n1)
1 E
a2
y(n2)
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信号与系统
18
y(n)a1y(n1)a2y(n2) b0x(n)b1x(n1)b2x(n2)
b0
x(n)
1 E
x(n1) b 1
a0
1 E
a1 y(n1)
1 E
基本运算：各阶导数，系数乘，相加
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信号与系统
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二、离散系统的数学模型
输入是离散序列及其时移函数
x(n)x ,(n1)x ,(n2),....
输出是离散序列及其时移函数
y(n)y ,(n1)y ,(n2),....
系统模型是输入输出的线性组合
系数乘，相加，延时单元
N
M
y(n) aky(nk) brx(nr)
x(n2) b 2
1 E
a2 y(n2)
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信号与系统
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y(n)a1y(n1)a2y(n2) b0x(n)b 0b1x(n1)b2x(n2)
a0
x(n)
1 E
a1
b1
1 E
a2
b2
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信号与系统
20
§7.3常系数差分方程的求解
迭代法 时域经典法 离散卷积法：利用齐次解得零输入
7
§7.2 离散时间系统数学模型
离散线性时不变系统
离散系统的数学模型 从常系数微分方程得到差分
方程 已知网络结构建立离散系统
数学模型
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信号与系统
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一、离散线性时不变系统
线性： xi (n)
h(n)
yi (n)
1。可加性：M x i ( n ) i0
2。均匀性：M ai xi (n ) i0
k
k0
齐次解： 非重根时的齐次解
N
y(n) Ckkn k0
L次重根时的齐次解
l
y(n)
Clnlk
n k
k1
共轭根时的齐次解 C 1(j)nC 2(j)n
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信号与系统
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特解：
自由项为 n k 的多项式
则特解为 D 1nkD 2nk 1 D k 1
k1
r0
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信号与系统
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延时 加法器
乘法器
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x(n) 1
Z
y(n) 1
Z
x(n1) y(n1)
x(n)
y(n ) y(n 1 ) x(n )
y(n1)
x(n)
y(n)a(xn)
a
信号与系统
12
例1： y(n )x(n ) a(n y 1 )
x(n)
解，再利用卷积和求零状态解。 变换域法（Z变换法） 状态变量分析法
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信号与系统
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一、迭代法
当差分方程阶次较低时常用此法
y(n) ay (n 1) x(n) x(n) (n)
n 0 y(0) ay (1) x(0) 0 (n) 1
n 1 y(1) ay (0) x(1) a 0 a
0
2N0Ts
0 fs
x(n)Acon s0
01234
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信号与系统
N 1
n
6
复指数序列
x(n)Acon s0jBsin0
x(n)ejarg x(n [)]x(n)ej(n0)
任意离散序列
x(t)
x(n)x(m)(nm) m
(n m)
m
加权表示
x(n)
05.10.2020
信号与系统