2019年高一数学上期末一模试题附答案

2019年高一数学上期末一模试题附答案
一、选择题
1．设a b c ，，均为正数，且122log a
a =，12
1log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2c
c ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<
2．已知2log e =a ，ln 2b =，1
2
1
log 3
c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）
A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()10,10,10
骣琪??琪桫
C ．1,1010⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()()0,110,⋃+∞
4．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当
a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足
()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）
A ．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．21,3
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
5．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有
2121
()()
0f x f x x x -<-，则（ ）．
A ．(3)(2)(1)f f f <-<
B ．(1)(2)(3)f f f <-<
C ．(2)(1)(3)f f f -<<
D ．(3)(1)(2)f f f <<-
6．已知1
3
1log 4a =，154
b
=，136c =，则（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
7．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，
b ，
c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．
A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．a b c <<
8．若x 0＝cosx 0，则（ ）
A ．x 0∈（
3
π，
2
π） B ．x 0∈（
4
π，
3
π） C ．x 0∈（
6
π，
4
π
） D ．x 0∈（0，
6
π
） 9．用二分法求方程的近似解，求得3
()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：
则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6 B ．1.7
C ．1.8
D ．1.9
10．函数y =的定义域是( ) A ．（-1，2]
B ．[-1,2]
C ．（-1 ，2）
D ．[-1,2)
11．已知函数()0.5log f x x =，则函数(
)2
2f x x -的单调减区间为( )
A ．(],1-∞
B ．[)1,+∞
C ．(]0,1
D ．[)1,2
12．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）
A ．][(),22,-∞-⋃+∞
B ．][)
4,20,⎡--⋃+∞⎣
C ．][(),42,-∞-⋃-+∞
D ．][(),40,-∞-⋃+∞
二、填空题
13．已知函数()()2
2,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩
，则关于x 的方程()()()()200,3
f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.
14．已知函数()1
352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35
f -=，则()3f 的值为______
15．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x …
时，11
()42
x x f x =-+，则此函数的值域为__________.
16．函数y =________ 17．求值： 23
1
2100
log lg += ________ 18．若函数()()
()()
22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________．
19．0.11.1a =，1
2log 2
b =，ln 2
c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________. 20．已知正实数a 满足8(9)a
a
a a =，则log (3)a a 的值为_____________.
三、解答题
21．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()y f x =满足()()1f xy f x f y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，且函数
()f x 在(),0-∞上是减函数.
（1）求()1f -，并证明函数()y f x =是偶函数；
（2）若()21f =，解不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫
--
≤ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
. 22．计算或化简：
（1）1
12
3
021273log 161664π⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
； （2）6log 2
332log 27log 2log 36
lg 2lg 5+⋅-++.
23．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设
()()()h x f x g x =-.
(1)求函数()h x 的定义域; (2)若312f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，求使()0h x <成立的x 的集合. 24．王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个
城市中有超过2
3
的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：
年份x
2016 2017 2018 2019 包装垃圾y （万吨）
4
6
9
13.5
（1）有下列函数模型：①2016
x y a b -=⋅；②sin
2016
x
y a b π=+；
③lg()y a x b =+.(0,1)a b >>试从以上函数模型中，选择模型________（填模型序号），近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y （万吨）与年份x 的函数关系，并直接写出所选函数模型解析式；
（2）若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？（参考数据：lg 20.3010,=lg30.4771=） 25．已知函数()f x 是二次函数,(1)0f -=,(3)(1)4f f -==. (1)求()f x 的解析式;
(2)函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,试探究,是否存在()n n ∈Z ,函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点,若存在,求出一个符合题意的n ,若不存在,请说明由. 26．记关于的不等式
的解集为，不等式
的解集为．
（1）若，求集合； （2）若
且
，求的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
试题分析：在同一坐标系中分别画出2,x
y =12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，2log y x =，
12
log y x =的图
象，
2x y =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12
log y x =的图象的交点的横坐标
为b ，12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．
考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
2．D
解析：D 【解析】
分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：
2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==
∈，1222
1
log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()
()lg 1f x f <，再由函数
()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单
调性即可求出结果. 【详解】
由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()
()lg 1f x f <， 又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得110
10
x <<. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
4．C
解析：C 【解析】
当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()2
3
224f x x x x =⋅-⨯=-；
所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩
，
易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()3
4f x x =-在(]
1,2单调递增，
且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，
则()f x 在[]22-,
上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：212
23213m m m m
-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩
，解得12
23m ≤≤，故选C ．
点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()3
4,21
4,12
x x f x x x --≤≤⎧=⎨
-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,
上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．
5．A
解析：A 【解析】
由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有
()()1212
f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递
减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性
比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】
因为154b
=
，所以551
log log 104
b =<=，
又因为(1
3333
1log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 又因为131
133
336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C.
本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小
关系. 【详解】
令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．
令12
()2log 0x
g x x -=-=，则2
log 2x x -=-． 令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22x x
x
-=
=． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数
2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，
如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．
故选:D ． 【点睛】
本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．C
解析：C
【分析】
画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数
()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间
【详解】
画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.343066f ππ⎛⎫=-≈-=-<
⎪
⎝⎭，20.7850.7070.078044f ππ
⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：C
【点睛】
本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】
根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知
1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】
不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】
由题意得：20
10x x -≥⎧⎨
+>⎩
解得：﹣1＜x≤2，
故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.
11．C
解析：C 【解析】
函数()0.5log f x x =为减函数，且0x >, 令2t 2x x =-，有t 0>，解得02x <<.
又2t 2x x =-为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以2t 2x x =-在(]
0,1上单调递增，在[
)1,2上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则函数(
)2
2f x x -的单调减区间为(]0,1.
故选C.
点睛：形如()()
y f g x =的函数为()y g x =,()
y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()
y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()
y f g x =也单增；
当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；
当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()
y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由()()2g x f x =-是奇函数，可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称，再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4，-2，0，画出()f x 的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】
由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，
()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状
结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 【点睛】
本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.
二、填空题
13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象 解析：3
【解析】 【分析】 由()()2
0f
x af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图
象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()
0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()
0,3f x a a =∈的所有
根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】
()()()2003f x af x a -=<<Q ，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.
方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：
由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.
由于函数()2
2y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，
关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且
12
22+=-x x ，3432
x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】
本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
14．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析：1-
【解析】 【分析】
由()35f -=，求得1
532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】
由题意，函数()1
35
2=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=， 所以()1
5332725f a b -=-⋅-+=，所以1
53273a b -⋅-=， 又由()1
533272321f a b -=⋅++=-+=-.
故答案为：1-. 【点睛】
本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
15．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函
解析：11,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
可求出0x ≥时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出0x ≤时的范围，合并后可得值域． 【详解】
设12x t =，当0x ≥时，21x ≥，所以01t <≤，2
21124
y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104y ≤≤
，故当0x ≥时，()10,4f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
． 因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()1,04f x ⎡⎫
∈-
⎪⎢⎣⎭
，故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
．
故答案为：11,44⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦． 【点睛】
本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出0x ≥时的函数值范围，再由对称性得出0x ≤时的范围，然后求并集即可．
16．【解析】【分析】先求得函数的定义域然后利用同增异减来求得复合函数的单调区间【详解】依题意即解得当时为减函数为减函数根据复合函数单调性同增异减可知函数的单调递增区间是【点睛】本小题主要考查复合函数的单 解析：[)1,0-
【解析】 【分析】
先求得函数的定义域，然后利用“同增异减”来求得复合函数的单调区间. 【详解】
依题意22
0.50
log 0
x x ⎧>⎨≥⎩，即201x <≤，解得[)(]1,00,1x ∈-U .当[)1,0x ∈-时，2x 为减函
数，0.5log x 为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”
可知，函数y =递增区间是[)1,0-. 【点睛】
本小题主要考查复合函数的单调区间的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题.
17．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有：
解析：3
2
-
【解析】
由题意结合对数、指数的运算法则有：
()2log 3153
2lg 3210022
=-+-=-. 18．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为 解析：15-
【解析】
根据题意，当0x <时，()()(),f x g x f x =为奇函数，
()()()()()()()()()211113(323)15f g f f f f f f f -=-=-=-=-=-+⨯=-，则
故答案为15-.
19．【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解得到答案【详解】由题意根据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以abc 从小到大的关系是故答案为：【点睛 解析：b c a <<
【解析】 【分析】
根据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，根据指数函数的性质，可得0.101.111.1a >==，
由对数函数的运算公式及性质，可得121
12
211
log log ()22
2b ===，
1
ln 2ln 2
c =>=
，且ln 2ln 1c e =<=， 所以a ，b ，c 从小到大的关系是b c a <<. 故答案为：b c a <<. 【点睛】 本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算
能力，属于基础题.
20．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题 解析：
916
【解析】 【分析】
将已知等式8(9)a a a a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解. 【详解】
8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，
16
0,7ln 16ln 3,ln ln 37
a a a >∴=-=-
Q ， ln 3ln 39
log (3)116ln 16ln 37
a a a a ∴=
=+=-.
故答案为:916
. 【点睛】
本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.
三、解答题
21．（1）()10f -=，证明见解析；（2）[1,2)(2,3]⋃ 【解析】 【分析】
（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到()f x 与
()f x -之间的关系，进而证明；
（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可. 【详解】
（1）令10y x =≠，则()111f x f x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫
⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭
，
得()()()10f f x f x =-=，
再令1x =，1y =-，可得()()()111f f f -=--， 得()()2110f f -==，所以()10f -=， 令1y =-，可得()()()()1f x f x f f x -=--=，
又该函数定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数，即证.
（2）因为()21f =，又该函数为偶函数，所以()21f -=. 因为函数()f x 在(),0-∞上是减函数，且是偶函数 所以函数()f x 在()0,∞+上是增函数.又
412f f x x ⎛
⎫⎛⎫--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2424x f x f x x -⎛⎫
=⋅=- ⎪⎝⎭， 所以()()242f x f -≤，等价于240,242,x x ->⎧⎨-≤⎩或240,
242,x x -<⎧⎨-≥-⎩
解得23x <≤或12x ≤<. 所以不等式4121f f x x ⎛
⎫⎛⎫
--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的解集为[1,2)(2,3]⋃. 【点睛】
本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式. 22．（1）1
2
-（2）3 【解析】 【分析】
（1）根据幂的运算法则计算；
（2）根据对数运算法则和换底公式计算． 【详解】
解：（1）原式1
3
13
2
49314164⎡
⎤
⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎢⎥+⎣⎦
73
1444
=
++- 12
=-.
（2）原式3
3log 312lg10=+-+
3121=+-+ 3=. 【点睛】
本题考查幂和对数的运算法则，掌握幂和对数运算法则是解题关键． 23．(1)1,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭;(2)1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
(1)由真数大于0列出不等式组求解即可； (2)由312f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
得出14a =，再利用对数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】
(1)要使函数有意义，则120
20x x +>⎧⎨->⎩
，
即122x -
<<，故()h x 的定义域为1,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭. (2)∵312f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，∴log (13)log 41a a +==-， ∴14
a =， ∴
114
4
()log (12)log (2)h x x x =+--，
∵()0h x <，∴0212x x <-<+，得1
23
x <<， ∴使()0h x <成立的的集合为1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查了求对数型函数的定义域以及由对数函数的单调性解不等式，属于中档题.
24．（1）①，2016
342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
；（2）2022年
【解析】 【分析】
（1）由题意可得函数单调递增，且增长速度越来越快，则选模型①，再结合题设数据求解即可；
（2）由题意有2016
34402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭
，再两边同时取对数求解即可.
【详解】
解：（1）依题意，函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型①符合，
设2016
x y a b
-=⋅，将2016x =，4y =和2017x =，6y =代入得
2016201620172016
46a b a b --⎧=⋅⎨=⋅⎩；解得4
32a b =⎧⎪
⎨=⎪⎩
. 故函数模型解析式为：2016
342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
.
经检验，2018x =和2019x =也符合.
综上：2016
342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；
（2）令2016
34402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，解得2016
3102x -⎛⎫
≥ ⎪
⎝⎭
，两边同时取对数得：
2016
3lg lg102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，3(2016)lg 12x ⎛⎫
-≥ ⎪⎝⎭
，
11
(2016)3lg 3lg 2lg 2x -≥
=
-⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 1
20162021.7lg3lg 2
x ∴≥
+≈-.
综上：从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨. 【点睛】
本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力及对数据的处理能力，属中档题. 25．(1)2
()(1)f x x =+;(2)存在,1-. 【解析】 【分析】
（1）由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 由(1)0f -=可设出抛物线
的解析式为2
()(1)f x a x =+，再利用(1)4f =求得a 的值；
（2）利用零点存在定理，证明(0)(1)0h h ⋅<即可得到n 的值. 【详解】
(1)由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 又因为(1)0f -=,所以(1,0)-是()f x 的顶点, 所以设2
()(1)f x a x =+，
因为(1)4f =,即2
(11)4a +=，
所以设1a = 所以2
()(1)f x x =+
(2)由(1)知2
()(1)ln(||1)h x x x =+-+
因为2
(1)(11)ln(|1|1)ln(2)0h -=-+--+=-<
2(0)(01)ln(|0|1)10h =+-+=>
即(0)(1)0h h ⋅<
因为函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断, 由零点存在性定理,所以函数()h x 在(1,0)-上存在零点. 所以存在1n =-使得函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点. 【点睛】
本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理，考查函数与方程思想考查逻辑推理能力和运算求解能力.
26．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）当时，利用分式不等式的解法，求得；（2）根据一元二次不等式的求解方法，解得，由于，故
.，则.
试题解析：（1）当时，原不等式为：
集合（2）易知：
，；由，则，∴的取值范围为。