山西省太原市高二数学10月月考试题文

山西省太原市2017-2018学年高二数学10月月考试题 文
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1. 下列判断错误的是（ ）
A. 平行于同一直线的两条直线互相平行；
B. 平行于同一平面的两个平面互相平行；
C. 经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行；
D. 垂直同一平面的两个平面互相平行
2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ） A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 异面或相交
3. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为 2 ，点B 1到平面A 1C 1B 的距离为( ) A. 6 B. 62 C. 63 D. 2
2
4.如图1-4所示，是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
5.一个几何体的三视图如图1-5所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. 6+8 3
B. 12+7 3
C. 12+8 3
D. 18+2 3
6. 在三棱锥S--ABC 中，SB ⊥ AC ，SB= AC=1 ，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长为（ ）
A. 1
B. 2
C.
22 D. 12
7. 如图1-7是一水平放置的梯形OABC 按“斜二测画法”得到的直观图，其面积为2，
则原梯形OABC 的面积为( )
A. 2 2
B. 4 2
C. 6 2
D. 8 2
8. 若一圆锥与一球的体积相等，且此圆锥底面半径与此球的直径相等，则此圆锥侧面积与此球的表面积之比为（ ）
A. 5 : 2
B. 2 : 2
C. 3 : 2
D. 3 : 2 9.在正方体ABCD--A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（ ）
A. 直线A 1B 与直线AC 所成的角是450；
B. 直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是300
；
C. 二面角A 1--BC--A 的大小是600；
D. 直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角是300
.
10. 若两异面直线a,b 所成的角为700，过空间内一点P 作与直线a ,b 所成角均是700
的直线l ，则所作直线l 共有（ ）条. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列四个命题中正确的是（ ）
① 若α // β ，则 l ⊥ m ； ② 若α ⊥ β， 则l // m ；
③ 若l // m ，则 α ⊥ β； ④ 若l ⊥ m ，则 α // β A. ② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④
12. 已知球O 的直径SC= 4，A 、B 是该球面上的两点，且AB=2，∠ASC=300，∠BSC=450
，则三棱锥S-ABC 的体积为（ ） A. 23 B. 223 C. 423 D. 52
3
二、填空题（本大题共4 小题，每小题4分，共16分）
13.已知底面边长为 2 ,各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-ABC 的四个顶点都在同一
球面上，则此球的体积为
14.半径为R 的一个半圆卷成一个圆锥，则其表面积为
15.已知在正四面体ABCD 中，E 是AD 的中点，则CE 与平面BCD 所成角的 正弦值为
16..如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知3AB BC =，
将ABE ∆沿BE 边折起，折起后
A 点在平面BCDE 上的
• 正视图 侧视图
俯视图
图1-4
A B C D
x '
y ' o '
A '
B '
C '
图1-7
1 3
2 2 侧视图
俯视图
图1-5
A
B
E
射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述： ① AB 与DE
② AB ∥CE ；
③ 体积B ACE V -是316a ；
④ 平面ABC ⊥平面ADC ；
其中正确的有 .（填写你认为正确的序号）
三、解答题（本大题共4 小题，每小题12分，共48分） 17. （本题满分12分）如图3-17所示，
在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，EF 与异面直线AC 、A 1D 都垂直相交. （1）求证：EF ⊥平面AB 1C ； （2）求证：EF // 平面BB 1D 1D .
18. （本题满分12分）如图3-18所示，正方形ABCD 和矩形ADEF ，其中ED ⊥ AC ，G 是AF 的中点.
(1) 求证：AC // 平面EBG ；
(2) 若BE 与平面ABCD 所成角为450
，求异面直线EG 与AC 所成的角的余弦值.
19.（本题满分12分）如图2-19所示，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在平面，且PO=OB= 1.
（1）D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；
（2）当三棱锥P--ABC 的体积最大时，求异面直线PB 与AC 所成的角；
20.（本题满分12分） 如图3-19所示，四棱锥P-ABCD 中，∆PAB 是正三角形，四边形ABCD 是矩形，点E 是PC 的中点,且平面PAB ⊥ 平面ABCD ，PA= 1，PC= 2. （1）求证：PA // 平面BDE ；
（2） 若点G 在线段PA 上，且GA= λPA ，当三棱锥B-AGD 的体积为1
8 时,求三棱锥D-BGE
的体积.
（2017--2018年度）高 二 数 学(文) 参考答案 一、DDCAC CBADD BC
二、13. 3π2 ； 14. 3πR 2
4 ； 15. 2
3
；16. ①③④
四、解答题
17. 证明：思路提示：
（1）EF ⊥ AC ，EF ⊥ B 1C ⇒EF ⊥平面AB 1C ； （2）只证：BD 1⊥平面AB 1C ，由（1）知：
EF ⊥平面AB 1C ，∴ EF//BD 1 ⇒ EF//平面BB 1D 1D .
18. 解：思路提示： （1）延长EG 与DA 并交于点H ，由于G 为AF 的中点，不难证明：A 为HD 的中点，AH 与
A B C D E
F
G
图 3-18 B
图 3-19
B 1 A B C
D A 1 C 1 D 1
E
F 图3-17
A B C D ⋅ E P
G 图 3-20 B A
B
C
D
A C D E
F
图3-17
A
B
C D E F
G
图
H
BC 平行且相等，
⇒ AC//HB ⇒ AC // 平面EBG ；
（2）令BC= 2 ，因为：DE ⊥DA ，DE ⊥AC ，DA 与AC 相交，⇒ DE ⊥平面ABCD ⇒ BD 是BE
是平面ABCD 内的射影⇒ ∠EBD 是BE 与平面ABCD 所成的角，⇒ ∠EBD =450
⇒ DE= BD= 2 2 ,由（1）知：∠EHB 是异面直线EG 与AC 所成的角，在∆EHB
求得：cos ∠EBD=
33
. 19. 解： 思路提示：
（1）AC ⊥ OD ，AC ⊥ PO ⇒ AC ⊥平面PDO ； （2）由题可知：PO=OB= 1. ∆ABC 为R t ∆
令AC= a, BC - b , 则a 2+b 2
= 4
V P--ABC = 13 S ∆ABC ⋅PO = 16 ab ≤ 16 ⨯ a 2
+b 2
2 = 16 ⨯ 42 = 1
3
当且仅当a= b= 2 时，三棱锥P--ABC 的体积取到最大值， ∴ A C= BC = 2 , 在圆O 内作正方形ACBC ' ,则AC //BC ' ,
∴∠PBC '就是异面直线PB 与AC 所成的角,PB= PC ' = BC ' = 2 ， ∴ ∆PBC '为正三角形，
∴ ∠PBC ' = 600
,
∴ 异面直线直线PB 与AC 所成的角为600
. 20.解： 思路提示：
（1）连AC 利用三角形中位线可证明（略） （2）过P 作PF ⊥ AB ， 垂足为F ，
因为∆PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ， 所以：PF ⊥平面ABCD ，且F 为中点，连FC ， ∴ PF ⊥ FC ，PF=
3
2
,令BC = b , 在Rt ∆PFC 中，PC 2
= PF 2
+FC 2
， 即：22
= (
32 )2 + ( 12
)2 + b 2
, 解得：b= 3 ,
又V B-ADG = V G-ADB , h G = 3
2
λ ,
∴ V G-ADB = f(1,3)
13 S ∆ADB h G = 13 ×(12 ×1× 3 )×32
λ = 18 , 解得: λ = 1
2 ，∴G 为PA 的中点，如图示连PD
方法一：（分割法）则有：V P-ABCD = V G-ABD + V E-BDC + V P-BGE + V D-BGE + V P-DGE
V P-ABCD = 13 ⋅ 1⨯ 3 ⨯ 32 = 12 , V G-ABD = V E-BDC = 1
8
不难证明：CB ⊥平面PAB ，∴E 到平面PGB ∴ V P-BGE = V E-PBG = 13 ⨯ 12 ⨯ 34 ⨯ 32 = 1
16
V P-BGE = V E-PDG = 14 ⨯V C-PAB = 14 ⨯ 12 V P-ABCD = 14 ⨯ 12 ⨯V P-DGE = V E-PGD = 14 ⨯V C-PAD = 14 ⨯ V P-ADC =14 ⨯ 12 V P-ABCD ∴ V D-BGE = V P-ABCD - V G-ABD - V E-BDC - V P-BGE - V P-DGE
= 12 - 18 - 18 - 116 - 116 = 1
8
. 方法二：设AC 与BD 相交于则四边形PGOE V D-BGE = 2V B-GEO , S ∆GOE = 1
4
S ∆∴ V B-GEO = 14 V B-PAC = 14 V P-ABC ( 13 ⨯ 1⨯ 3 ⨯ 32 )= 1
16 , ∴ V D-BGE = 2V B-GEO = 2⨯116 = 1
8 .
图 3-20
B
B
图 3-20
P
A B
C
D
E
G
图 3-20
F P
A
B
C
D
E
G
图 3-20
O
B
图3-19。