新教材高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册

(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率． 【解】 设“甲能破译”为事件 A，“乙能破译”为事件 B，则 A，B 相互独立，从而 A 与－B 、－A 与 B、－A 与－B 均相互独立． (1)“两人都能破译”为事件 AB，则 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
(1)求相互独立事件发生的概率的步骤是 ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求乘积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式 的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
相互独立事件的应用
求：
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.
第五章 统计与概率
5．3.5 随机事件的独立性
第五章 统计与概率
考点
学习目标
在具体情境中，了解两个事件相 独立性的概念
互独立的概念
能利用相互独立事件同时发生的
独立性的应用 概率公式解决一些简单的实际应
用问题
核心素养 数学抽象
数学抽象、 数学运算
问题导学 预习教材 P114－P116 的内容，思考以下问题： 1．事件 A 与 B 相互独立的概念是什么？ 2．如果事件 A 与 B 相互独立，则－A 与 B，－B 与 A，－A 与－B 也相 互独立吗？ 3．两事件互斥与两事件相互独立是一个意思吗？
解析：选 A.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的， 其结果不受先后影响，故 A 是相互独立事件；B 中是不放回地 摸球，显然 A 事件与 B 事件不相互独立；对于 C，其结果具有 唯一性，A，B 应为互斥事件；D 中事件 B 受事件 A 的影响．
相互独立事件概率的求法
小王某天乘火车从广州到上海去办事，若当天从广州到 上海的三列火车正点到达的概率分别为 0.8，0.7，0.9，假设这 三列火车之间是否正点到达互不影响．求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
■名师点拨 两个互斥事件不可能同时发生，但相互独立的两个事件是可以同时 发生的，相互独立事件和互斥事件之间没有联系．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．(√ ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．(√ )
(3)“P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件 A 与 B 相互独立”的充要条
(2)“两人都不能破译”为事件A－B，则 P(A－B)＝P(－A )·P(－B )＝[1－P(A)]·[1－P(B)]＝1－13×1－14＝12. (3)“恰有一人能破译”为事件((A－B )∪(－A B))， 则 P((A－B )∪(－A B))＝P(A－B )＋P(－A B)＝P(A)·P(－B )＋P(－A )·P(B) ＝13×1－14＋1－13×14＝152.
事件 AB 为“既抽到 K 又抽到红牌”，即“抽到红桃 K 或方块 K”， 故 P(AB)＝522＝216，从而有 P(A)P(B)＝P(AB)，因此 A 与 B 是相互 独立事件． (2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到 K 就不可能抽到 J，抽到 J 就不可能抽到 K，故事件 C 与事件 A 不可能同时发生， A 与 C 互斥，由于 P(A)＝113≠0. P(C)＝113≠0，P(AC)＝0，所以 A 与 C 不是相互独立事件，又抽不 到 K 不一定抽到 J，故 A 与 C 并非对立事件．
P2，且在这段时间内两地下雨相互独立，
所以这段时间内两地都下雨的概率为 P＝(1－P1)(1－P2)．故选
D.
4．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、 乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概 率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不 影响．假设“星队”参加两轮活动，则“星队”至少猜对 3 个 成语的概率为________．
2．(2019·四川省眉山市期末)三个元件 T1，T2，T3 正常工作的 概率分别为12，34，34，将元件 T2，T3 并联后再和元件 T1 串联接 入电路，如图所示，则此电路不发生故障的概率为________．
解析：记“三个元件 T1，T2，T3 正常工作”分别为事件 A1，A2， A3，则 P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3)＝34. 因为电路不发生故障的事件为(A2＋A3)A1， 所以电路不发生故障的概率为 P＝P[(A2＋A3)A1]＝P(A2＋A3)P(A1)＝[1－P(－A 1)·P(－A 3)]·P(A1) ＝(1－14×14)×12＝1352.
【解】 用 A，B，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则 P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以 P(－A )＝0.2，P(－B )＝0.3， P(－C )＝0.1. (1)由题意得 A，B，C 之间相互独立，所以恰好有两列正点到 达的概率为 P1＝P(－A BC)＋P(A－B C)＋P(AB－C )＝P(－A )P(B)P(C) ＋ P(A)P( －B )P(C) ＋ P(A)P(B)P( －C ) ＝ 0.2×0.7×0.9 ＋ 0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－P(A－B－－C)＝ 1－P(－A )P(－B )P(－C )＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
三个命题：
①事件 A 与事件 B 相互独立；
②事件 B 与事件 C 相互独立；
③事件 C 与事件 A 相互独立．
以上命题中，正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选 D.P(A)＝12，P(B)＝12，P(C)＝12，P(AB)＝P(AC)＝P(BC) ＝14， 因为 P(AB)＝14＝P(A)P(B)，故 A，B 相互独立； 因为 P(AC)＝14＝P(A)P(C)，故 A，C 相互独立； 因为 P(BC)＝14＝P(B)P(C)，故 B，C 相互独立； 综上，选 D.
判断两个事件是否相互独立的方法 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影 响． (2)定义法：如果事件 A，B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率 与事件 B 发生的概率的积，则事件 A，B 为相互独立事件．
下列事件 A，B 是相互独立事件的是( ) A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面” B．袋中有 2 个白球，2 个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球， 事件 A 为“第一次摸到白球”，事件 B 为“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” D．A 为“甲灯泡能用 1 000 小时”，B 为“甲灯泡能用 2 000 小时”
答案：152
相互独立事件的判断
从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，设事件 A＝ “抽到 K”，事件 B＝“抽到红牌”，事件 C＝“抽到 J”，那么 下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ (1)A 与 B； (2)C 与 A.
【解】 (1)由于事件 A 为“抽到 K”，事件 B 为“抽到红牌”，故 抽到红牌中有可能抽到红桃 K 或方块 K，即有可能抽到 K，故事件 A，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事 件． 以下考虑它们是否为相互独立事件： 抽到 K 的概率为 P(A)＝542＝113， 抽到红牌的概率为 P(B)＝2562＝12，
两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和 34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一 个一等品的概率为________． 解析：记两个实习生把零件加工为一等品分别记为事件 A 和 B. 则 P＝P(A－B )＋P(－A B)＝23×1－34＋1－23×34＝152.
解决此类问题的关键是弄清相互独立的事件，还要注意互斥事 件的拆分，以及对立事件概率的求法的运用，即三个公式的联 用：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B 互斥)，P(A)＝1－P(－A )，P(AB) ＝P(A)P(B)(A，B 相互独立)．
某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每 个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶 段竞赛，否则被淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概 率分别是34，12，14，且各阶段通过与否相互独立．求该选手在复 赛阶段被淘汰的概率．
[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
解：恰有一列火车正点到达的概率为 P3 ＝ P(A B－C ) ＋ P( －A B －C ) ＋ P( A－B C) ＝ P(A)P( －B )·P( －C ) ＋ P( －A )P(B)P( －C ) ＋ P( －A )P( －B )P(C) ＝ 0.8×0.3×0.1 ＋ 0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
解析：记事件 A：“甲第一轮猜对”，事件 B：“乙第一轮猜 对”， 事件 C：“甲第二轮猜对”，事件 D：“乙第二轮猜对”，事 件 E：“‘星队’至少猜对 3 个成语”． 由题意知，E＝ABCD＋－A BCD＋A－B CD＋AB－C D＋ABC－D . 由事件的独立性与互斥性，得
P(E) ＝ P(ABCD) ＋ P( －A BCD) ＋ P(A －B CD) ＋ P(AB －C D) ＋ P(ABC－D ) ＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(－A )P(B)P(C)P(D)＋ P(A)P(－B )·P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(－C )P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(－D )
件．(√ )
国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概
率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内
至少有 1 个人去北京旅游的概率为( )
59
3
A.60
B.5
C.12
D.610
解析：选 B.因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此， 他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有 1 个人去 北京旅游的概率为 P＝1－23×34×45＝35.
＝34×23×34×23＋2×14×23×34×23＋34×13× 34×23＝23. 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为23. 答案：23
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答案：1352
3．在某段时间内，甲地不下雨的概率为 P1(0<P1<1)，乙地不下
雨的概率为 P2(0<P2<1)，若在这段时间内两地下雨相互独立，
则这段时间内两地都下雨的概率为( )1(1－P2)
D．(1－P1)(1－P2)
解析：选 D.因为甲地不下雨的概率为 P1，乙地不下雨的概率为
解：记“该选手通过初赛”为事件 A，“该选手通过复赛”为事 件 B，则 P(A)＝34，P(B)＝12， 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率 P＝P(A－B )＝P(A)P(－B )＝34×1－12＝38.
1．分别抛掷 2 枚质地均匀的硬币，设“第 1 枚为正面”为事件 A，
“第 2 枚为正面”为事件 B，“2 枚结果相同”为事件 C，有下列
随机事件的独立性 1．一般地，当__P_(_A_B__)＝__P_(_A_)_P_(_B_)__时，就称事件 A 与 B 相互独 立(简称独立)．如果事件 A 与 B 相互独立，那么－A 与 B，A 与－B ， －A 与－B 也相互独立． 2．两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A1， A2，…，An 相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同 时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”．