2.2.1综合法与分析法PPT课件

1. 通过这些基本证明方法的学习，使学生 在以后的学习和生活中，能自觉、有意 识地运用这些方法进行数学证明，养成 言之有理、论证有据的习惯.
2. 培养学生观察、分析、归纳、总结的能 力.
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教学重难点
重点
结合已经学过的数学案例，了解直接证明 的两种基本方法——综合法和分析法；了解综 合法、分析法的思考过程、特点.
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证明：
因 为 （ s i n 2 θ + c o s 2 θ ）2 - 2 s i n θ c o s θ = 1 , 所 以 将 (1)(2)代 入 ， 可 得
4 sin 2α - 2 sin 2β = 1 . 另一方面要证
1 - ta n 2α = 1 - ta n 2β ， 1 + ta n 2α 2 (1 + ta n 2β ) 即证
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只需证 21<25.
因为21<25成立，所以 成立.
3+ 7<2 5，
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出 发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出 结论.但由于我们很难想到从“21<25”入 手，所以用综合法比较困难.
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请对综合法与分析法进行比较，说出 它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说 说你对这两种证明方法的新认识.
B1
E1
C
E
A F
B
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D1
C1
A1
在
直
四
棱
柱
A
B
C
D
-
A
1B
1C
1
D
中
1
，
E
1
取
A
1
B
的
1
中
点
F1，
连
接
A
1
D
，
A
得 到 直 线 C F1 .因 为 A B = 4， C D = 2
D F1
E F
B1 C
B
且 A B / /C D ， 所 以 C D 平 行 且 等 于 A 1F1，
A 1F1C D 为 平 行 四 边 形 ， 所 以 C F1 / /A 1D ，
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解： （1） 分析
要证E E 1 //平面 F C C 1 ，只需在平面 F C C 1
内找到 E E 1 的平行线，这就需要借助辅助线，
取 A 1 B 1 的 中 点 F 1 ， 连 接 A 1 D ， C F 1 . C F 1 为 得 到 的 平 行 线 .
D1
C1
A1 D F1
又
因
为
E
、
E
1
分
别
是
棱
A
D
、
A
A
的
1
中
点
，
所
以
EE1
/
/A 1D
/
/C F1，
又
因
为 EE1
平
面
F
C
C
，
1
C F1 ⊂
平
面
F
C
C
，
1
所
以
直
线
E
E
1
/
/平 面 FCC1.
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随堂练习
1.已知a，b，c为不相等正数，且abc=1,
求证： a+ b+ c<1+1+1.
abc
提示
此题采用综合法.
证明：
所以
a+b 2
a b 成立
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你能分析一下 这个证明的思考过 程和特点吗？
再来分析 一个例题.
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提示
已知a>0,b>0,求证
a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
首先，分析待证不等式的特点：不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左 端为两项之和，其中每一项都是一个数 与另两个数的平方和之积.据此，只要把 两个数的平方和转化为这两个数的积的 形式，就能使不等式左、右两端具有相 同的形式.
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证明:
∵ b2+c2 ≥ 2bc,a>0 ∴ a(b2+c2) ≥2abc.
又∵ c2+b2 ≥ 2bc,b>0 ∴ b(c2+a2) ≥ 2abc.
∴ a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
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探究
思考…
这些证明过程有什么相似点？
这些证明过程都是从已知
条件和某些数学定义、公理、 定理等出发，通过推理推导出 所要的结论.
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这类证法的特点是:
要证明结论成立，逐步寻求推证过 程中，使每一步结论成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止.
这就是另一种证 明方法——分析法.
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知识要 点
一般地，从要证明的结论出发，逐 步寻求推证过程中，使每一步结论成立 的充分条件，直至最后，把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定理、定义、公理等）为止， 这种证明的方法叫做分析法．
(a>0,b>0)的证明.
动动脑
大家想一想， 除了综合法，还有 别的证明方法吗？
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证明:要证
a
+ 2
b
ab
只需证:a+b2 ab
只需证:a+b2 ab0
只需证:( a b)2 0
因为:( a b)2 0成立
所以 a
+ 2
b
a b成立
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类比综合法， 你能分析一下这个 证明的思考过程和 特点吗？
即证
4sin 2α - 2sin 2β = 1.
由于上式与③相同，于是问题得证.
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课堂小结
1.综合法的概念：
一般地，利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等,经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立,这种证明 方法叫做综合法.
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2.分析法的概念:
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻 求推证过程中，使每一步结论成立的充分条 件，直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件（已知条件、定理、定 义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分
析法．
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36Байду номын сангаас
3.分析法的适用范围：
当已知条件与结论之间的联系不够 明显、直接，证明中需要用哪些知识不 太明确具体时，往往采用从结论出发， 结合已知条件，逐步反推，寻求使当前 命题成立的充分条件的方法.
4.在证明数学问题时，通常把综合 法和分析法结合起来使用.
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高考链接 D 1
C1
练一练
∵a，b，c为不相等正数，且abc=1,
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a+b+c= 1+ 1+ 1 bc ca ab
1+1 1+1 1+1 <b c+c a+a b
222
=
1 a
+
1 b
1
-
sin 2α co s2α
1
+
sin 2α co s2α
=
1
-
sin 2β co s2β
，
2 (1
+
sin 2β co s2β
)
（3）
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即证
c o s 2 α - s in 2 α = 1 (c o s 2 β - s in 2 β )， 2
即证
1 - 2 s in 2 α = 1 (1 - 2 s in 2 β )， 2
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Q n Q
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例题1
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的 边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列， a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三 角形．
分析
•将A，B，C成等差数列，转化为符号 语言就是2B=A+C；
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•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°；
综合法就是利用已知条件和某些数 学定义、公理、定理等,经过一系列的推 理论证,最后推导出所要证明的结论成立. 分析法最大的特点就是执果索因.
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注意
事实上，在解决问题时，我们把综合 法和分析法结合起来使用：根据条件的结 构特点去转化结论，得到中间结论 Q ＇ ；根 据结论的结构特点去转化条件，得到中间 结论 .P若＇ 由 可P ＇ 以推出 成Q ＇ 立，就可以 证明结论成立.
新课导入
在以前的学习中，大家已经能应
用综合法、分析法证明数学命题，但 是对这些证明方法的内涵和特点，大 家又了解多少呢？
本节课我们对综合
法和分析法这些证明方 法进行较系统的学习.
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综合法和分析法，
是直接证明中最基本的两 种证明方法，也是解决数 学问题时常用的思维方式.
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教学目标
【知识与能力】
特点：执果索因.
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类似综合法，我们也可 以后框图来表示分析法：
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
分析法的适用范围： 注意
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直
接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往
往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，
寻求使当前命题成立的充分条件的方法.
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于是尝试转化结论：统一函数名称，
即把正切函数化为正（余）弦函数.把结
论转化为
cos2α-sin2α=1(cos2β-sin2β) 2
再与 4sin2α-2sin2β=1比较，发现只要
把 cos2α-sin2α=1(cos2β-sin2β)的角的余 弦转化为正弦，2就能达到目的.
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出现角θ ，因此第一步工作可以从已知条件 中消去 θ .
观察已知条件的结构特点，发现其中蕴 含数量关系（ s in θ + c o s θ ） 2 -2 s in θ c o s θ = 1 ，于 是，由(1) ×(1)-2(2)得 4sin2α-2sin2β=1.把它 与结论相比较，发现角相同，但函数名不同.
2009年山东高考题第 18小题第（1）题
A1
E1 D E
A F
B1 C
B
如图，在直四棱柱ABCD- A1B2C3D4 中，底面ABCD
为等腰梯形， AB//CD,AB=4,BC=CD=2,
A A 1= 2 ， E 、 E 1 、 F 分 别 是 棱 A D 、 A A 1 、 A B 的 中 点 . （ 1 ） 证 明 ： 直 线 E E 1//平 面 F C C 1 ；
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其次，寻找转化的依据及证明中要 用的其他知识：应用不等式x2+y2≥2xy就 能实现转化，不等式的基本性质是证明 的依据.
最后，给出具体证明：由 b2+c2 ≥ 2ab及条件a>0，得a(b2+c2) ≥ 2abc；
类似地，得b(c2+a2) ≥ 2abc.
从而有 a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
由① ②，得 B = π .
③
3
由a，b，c成等比数列，有
b2 = ac. ④
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由余弦定理及③，可得
b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c c o s B = a 2 + c 2 - a c .
再由④，得
a2 +c2-ac=ac, 即 （a-c）2 =0.
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例题2
求 证 3+7<25.
分析
从待证不等式不易发现证明的出发 点，因此我们直接从待证不等式出发， 分析其成立的充分条件.
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证明：
因为 3 + 7和 2 5 都是正数，所以要证
3+ 7<2 5，
只需证
（3+ 7） 2< （ 25） 2.
展开得
10+2 21<20，
只需证
21 < 5，
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例题3
例 ， 已 知 α,β ≠ kπ + π (k Z),且 2
sinθ + cosθ = 2sinα （1） sinθgcosθ = sin 2β （2）
1 - tan2α 1 - tan2β 求证 1 + tan 2α = 2(1 + tan 2β) .
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分析
比较已知条件和结论，发现结论中没有
1. 了解直接证明的两种基本方法——综 合法和分析法.
2. 了解综合法和分析法的思考过程和特 点，并归纳出操作流程框图.
3. 运用综合法、分析法灵活解决数学问 题.
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【过程与方法】
通过丰富的实例，引导学生 分析这些基本证明方法的思考过 程与特点，并归纳出操作流程图.
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【情感态度与价值观】
难点
根据问题的特点，结合综合法、分析法的
思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不
同的证明方法结合使用.
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回 忆
不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
…
动动脑
运用以前学过
的数学知识，大家 自己证明试试看！
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证明:
因为: ( a b)2 0
所以 a+b2 ab0
所以 a+b2 ab
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知识要 点
一般地，利用已知条件和某 些数学定义、公理、定理等,经过 一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立,这种证明方法 叫做综合法.其特点是“由因导 果”.
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用P表示已知条件、 已有的定义、公理、定 理等,Q表示所要证明的 结论.
你能用 框图表示综
合法吗？
则综合法可用 框图表示如下：
202136一般地从要证明的结论出发逐步寻求推证过程中使每一步结论成立的充分条件直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件定理定义公理等为止这种证明的方法叫做分202137当已知条件与结论之间的联系不够明显直接证明中需要用哪些知识不太明确具体时往往采用从结论出发结合已知条件逐步反推寻求使当前命题成立的充分条件的方法
•a，b，c成等比数列转化为符号语言就是
b2 = ac.
此时，如果能把角和边统一起来，那 么就可以进一步寻找角和边之间的关系， 进而判断三角形的形状，余弦定理正好满 足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行 证明.
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证明：
由A，B，C成等差数列，有
2B=A+C. ①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以
因此
a=c.
从而
A=C.
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