(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第一单元《三角形》检测题(答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，AB 边上的高为（ ）
A ．CG
B ．BF
C ．BE
D ．AD 2．若过六边形的一个顶点可以画n 条对角线，则n 的值是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，//AB CD ，40C ∠=︒，60A ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．30°
D ．40°
4．如图，ABC 中，55,B D ∠=︒是BC 延长线上一点，且130ACD ∠=︒，则A ∠的
度数是（ ）
A ．50︒
B ．65︒
C ．75︒
D ．85︒ 5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A ．3，3，4
B ．7，4，2
C ．3，4，8
D ．2，3，5
6．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则BDC
∠的度数是（ ）
A ．65︒
B ．75︒
C ．85︒
D ．105︒ 7．如果一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长可能是（ ） A ．3
B ．4
C ．11
D ．12
8．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（ ）
A ．4cm, 5cm,9cm
B ．4cm, 5cm, 6cm
C ．5cm,12cm,6cm
D ．4cm,2cm,2cm
9．长度分别为2，3，4，5的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ） A ．8
B ．5
C ．6
D ．7
10．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A ．2cm ，3cm ，6cm
B ．3cm ，4cm ，8cm
C ．5cm ，6cm ，10cm
D ．5cm ，6cm ，11cm 11．设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是（ ）． A ．a b =
B ．180a b =+°
C ．180b a =+︒
D ．360b a =+︒ 12．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（ ）
A ．3cm,2cm,1cm
B ．3cm,4cm,5cm
C ．6cm,6cm,12cm
D ．5cm,12cm,6cm
二、填空题
13．如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，过点C 作CD ∥OB 交∠AOB 的平分线OE 于点F ，作CH ⊥OB 交BO 的延长线于点H ，若∠EFD ＝α，现有以下结论：①∠COF ＝α；②∠AOH ＝180°﹣2α；③CH ⊥CD ；④∠OCH ＝2α﹣90°．其中正确的是__（填序号）．
14．如图，若∠CGE=α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____．
15．如图，在ABC 中，CE AB ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，且3AB =，6BC =，
5CE =，则AD =_________．
16．如图，在ABC 中，点,,D E F 分别在三边上，点E 是AC 的中点，,,AD BE CF 交
于一点,283BGD
AGE
G BD DC S S
===，
，，则ABC 的面积是________．
17．如图所示，△ABC 中，∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的四等分线相交于D 、E 、F （其中∠CAD ＝3∠BAD ，∠ABE ＝3∠CBE ，∠BCF ＝3∠ACF ），且△DFE 的三个内角分别为∠DFE ＝60°、∠FDE ＝53°、∠FED ＝67°，则∠BAC 的度数为_________°．
18．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DC ，∠1、∠2、∠3、∠4分别是∠BAF 、∠AFE 、∠FED 、∠EDC 的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4＝_____．
19．如图，已知AE 是ABC 的边BC 上的中线，若8AB cm =，ACE △的周长比AEB △的周长多2cm ，则AC =______cm ．
20．如图，ABC ∆的面积是2，AD 是BC 边上的中线，1
3AE AD =
，12
BF EF =．则DEF ∆的面积为_________．
三、解答题
21．在ABC ∆中， ,AB AC CG BA =⊥交BA 的延长线于点G ，点D 是线段BC 上的一个动点． 特例研究：
()1当点D 与点B 重合时，过B 作BF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，如图①所示，通过
观察﹑测量BF 与CG 的长度，得到BF CC =．请给予证明．
猜想证明：
()2当点D 由点B 向点C 移动到如图②所示的位置时，过D 作DF AC ⊥交CA 的延长线
于点F ，过D 作DE BA ⊥交BA 于点E ，此时请你通过观察，测量DE DF 、与CG 的长度，猜想并写出DE DF 、与CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
拓展延伸：
()3当点D 由点B 向点C 继续移动时（不与C 重合） ，过D 作DF AC ⊥交AC 于点
F ，过D 作
DF BA ⊥交BA （或BA 的延长线）于点E ，如图③，图④所示，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立?（不用证明）
22．阅读下面内容，并解答问题
在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠的平分线与
DFE ∠的平分线交于点G ．
（1）直线EG ，FG 有何关系？请补充结论：求证：“__________”，并写出证明过程； （2）请从下列A 、B 两题中任选一题作答，我选择__________题，并写出解答过程． A ．在图1的基础上，分别作BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M ，得到图2，求EMF ∠的度数．
B ．如图3，//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．点O 在直线AB ，CD 之间，且在直线EF 右侧，BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P ，请猜想EOF ∠与
EPF ∠满足的数量关系，并证明它．
23．已知AD 是ABC 的角平分线，CE 是AB 边上的高，AD ，CE 相交于点P ，
BCE 40,APC 123∠∠=︒=︒，求ADC ∠和ACB ∠的度数．
24．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝1
3
∠CAB，∠CDP＝1
3
∠CDB”，请直接写出∠P与
∠B、∠C之间存在的数量关系．
25．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB= ，则∠ADB= ．
26．观察探究及应用．
（1）如图，观察图形并填空：
一个四边形有_______条对角线；一个五边形有_______条对角线；一个六边形有_______条对角线；
（2）分析探究：
由凸n边形的一个顶点出发，可作_______条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作_______条对角线；
（3）结论：一个凸n边形有_______条对角线；
（4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
在ABC中，过C点向AB所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段是AB上的高，由此可得答案．
【详解】
CG
解：ABC中，AB边上的高为：.
故选：.A
【点睛】
本题考查的是三角形的高的含义，掌握钝角三角形的高是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3进行计算即可．
【详解】
解：6-3=3（条）．
答：从六边形的一个顶点可引出3条对角线．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3．
3．B
解析：B 【分析】
利用平行线和三角形外角的性质即可求解． 【详解】 ∵//AB CD ， ∴60DEF A ∠=∠=︒． ∵DEF C F ∠=∠+∠，
∴604020F DEF C ∠=∠-∠=︒-︒=︒． 故选：B ． 【点睛】
本题考查平行线和三角形外角的性质，熟练利用其性质找到角的等量关系是解答本题的关键．
4．C
解析：C 【分析】
根据三角形的外角性质求解 ． 【详解】
解：由三角形的外角性质可得： ∠ACD=∠B+∠A ，
∴∠A=∠ACD-∠B=130°-55°=75°， 故选C ． 【点睛】
本题考查三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质定理并能灵活运用是解题关键．
5．A
解析：A 【分析】
看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可． 【详解】
解：A 、3+3＞4，能构成三角形，故此选项正确； B 、4+2＜7，不能构成三角形，故此选项错误； C 、3+4＜8，不能构成三角形，故此选项错误； D 、2+3=5，不能构成三角形，故此选项错误． 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
6．B
【分析】
根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵∠CEA=60︒，∠BAE=45︒，
∴∠ADE= 180︒−∠CEA−∠BAE=75︒，
∴∠BDC=∠ADE=75︒，
故选：B
【点睛】
本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
7．B
解析：B
【分析】
根据三角形的三边关系定理可得7-4＜x＜7+4，计算出不等式的解集，再确定x的值即可．【详解】
设第三边长为x，则7-4＜x＜7+4，
3＜x＜11，
∴A、C、D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握第三边的范围：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
8．B
解析：B
【分析】
三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，知：
A中，4+5=9，排除；
B中，4+5＞6，满足；
C中，5+6＜12，排除；
D中，2+2=4，排除．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
9．C
【分析】
利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．
【详解】
解：①长度分别为5、4、5，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、7、5，不能构成三角形；
③长度分别为2、3、9，不能构成三角形；
④长度分别为7、3、4，不能构成三角形；
⑤长度分别为3、5、6，能构成三角形，且最长边为6；
⑥长度分别为2、4、8，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为6．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．
10．C
解析：C
【分析】
根据三角形三边关系解答．
【详解】
A、∵2+3<6，∴以此三条线段不能组成三角形；
B、3+4<8，∴以此三条线段不能组成三角形；
C、∵5+6>10，∴以此三条线段能组成三角形；
D、∵5+6=11，∴以此三条线段不能组成三角形；
故选：C．
【点睛】
此题考查三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．
11．A
解析：A
【分析】
根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．
【详解】
∵四边形的内角和等于a，
∴a=(4-2)•180°=360°；
∵五边形的外角和等于b，
∴b=360°，
∴a=b．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，知：
A中，1+2=3，排除；
B中，3+4＞5，可以；
C中，6+6=12，排除；
D中，5+6＜12，排除．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
二、填空题
13．①②③④【分析】分别根据平行线的性质角平分线的定义邻补角的定义直角三角形两锐角互余进行判断即可得出结论【详解】解：∵CD∥OB∠EFD＝α∴∠EOB＝∠EFD＝α∵OE平分∠AOB∴∠COF＝∠EO
解析：①②③④
【分析】
分别根据平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，直角三角形两锐角互余进行判断即可得出结论．
【详解】
解：∵CD∥OB，∠EFD＝α，
∴∠EOB＝∠EFD＝α，
∵OE平分∠AOB，
∴∠COF＝∠EOB＝α，故①正确；
∠AOB＝2α，
∵∠AOB+∠AOH＝180°，
∴∠AOH＝180°﹣2α，故②正确；
∵CD∥OB，CH⊥OB，
∴CH⊥CD，故③正确；
∴∠HCO+∠HOC＝90°，∠AOB+∠HOC＝180°，
∴∠OCH＝2α﹣90°，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
14．2【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠A+∠B∠D+∠E再根据邻补角表示出∠CGF然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解【详解】解：如图根据三角形的外角性质∠1=∠A
解析：2α
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠A+∠B，∠D+∠E，再根据邻补角表示出∠CGF，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】
解：如图，
根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠B，∠2=∠D+∠E，
∵∠3=180°-∠CGE=180°-α，
∴∠1+∠F+180°-α=180°，
∴∠A+∠B+∠F=α，
同理：∠2+∠C+180°-α=180°，
∴∠D+∠E+∠C=α，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α．
故答案为：2α
【点睛】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，准确识图是解题的关键．
15．【分析】根据三角形的面积公式列方程即可得到结论【详解】解：根据三角形面积公式可得∵AB=3BC=6CE=5∴解得故答案为：【点睛】本题考查了三角形的高以及三角形的面积熟记三角形的面积公式是解题的关键
解析：2.5
【分析】
根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】
解：根据三角形面积公式可得，
11
22
ABC
S AB CE BC AD =⨯=⨯，
∵AB=3，BC=6，CE=5， ∴
1135622
AD ⨯⨯=⨯⨯， 解得 2.5AD =． 故答案为：2.5．
【点睛】
本题考查了三角形的高以及三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键． 16．30【分析】根据部分三角形的高相等由这些三角形面积与底边的比例关系可求三角形ABC 的面积【详解】解：在和中∵∴∴∵点是的中点∴∴∴故答案为：【点睛】本题中由于部分三角形的高相等可根据这些三角形面积的 解析：30
【分析】
根据部分三角形的高相等，由这些三角形面积与底边的比例关系可求三角形ABC 的面积．
【详解】
解：在BDG 和GDC 中，
∵2BD DC =,
∴2BDG GDC S
S =，8BGD S =△，
∴4GDC S =, ∵点E 是AC 的中点，3AGE S = ∴ 3.GEC AGE S
S == ∴84315BEC BDG GDC GEC S
S S S =++=++=， ∴230.ABC BEC S S ==
故答案为：30．
【点睛】
本题中由于部分三角形的高相等，可根据这些三角形面积的比等于底边的比例关系来求三角形ABC 的面积是解题关键．
17．72【分析】由∠CAD=3∠BAD ∠ABE=3∠CBE ∠BCF=3∠ACF 易得各角与∠ABC ∠ACB ∠BAC 之间的关系由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论【详解】解：∵∠CAD
解析：72
【分析】
由∠CAD=3∠BAD ，∠ABE=3∠CBE ，∠BCF=3∠ACF 易得各角与∠ABC 、∠ACB 、∠BAC 之间的关系，由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论．
【详解】
解：∵∠CAD=3∠BAD ，∠ABE=3∠CBE ，∠BCF=3∠ACF ，
∴∠CAD=34∠BAC ，∠BAD=14∠BAC ，∠ABE=34
∠ABC ，∠CBE=14∠ABC ，
∠BCF=3
4∠ACB，∠ACF=1
4
∠ACB．
∵∠DFE＝60°、∠FDE＝53°、∠FED＝67°，
∴
13
60 44
13
53
44
13
67 44
BAC ABC
ABC ACB
ACB BAC
⎧
∠+∠=
⎪
⎪
⎪
∠+∠=
⎨
⎪
⎪
∠+∠=
⎪
⎩
，
解得∠BAC=72°，∠ABC=56°，∠ACB=52°，
故答案为：72．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的应用，以及三角形外角的性质．解题的关键是由外角的性质列出方程组．本题属于中档题，难度不大，但在角的变化上稍显繁琐，一不注意就易失分，做形如此类题型时，牢牢把握等量关系是关键．
18．180°【分析】根据多边形的外角和减去∠B和∠C的外角的和即可确定四个外角的和【详解】解：∵AB∥DC∴∠B+∠C＝180°∴∠B的外角与∠C的外角的和为180°∵六边形ABCDEF的外角和为360
解析：180°
【分析】
根据多边形的外角和减去∠B和∠C的外角的和即可确定四个外角的和．
【详解】
解：∵AB∥DC，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B的外角与∠C的外角的和为180°，
∵六边形ABCDEF的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
故答案为：180°．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理，解题的关键是发现∠B和∠C的外角的和为180°19．10【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线可得CE=BE再根据
AE=AE△ACE的周长比△AEB的周长多2cm即可得到AC的长【详解】解：∵AE 是△ABC的边BC上的中线∴CE=BE又∵AE=A
解析：10
【分析】
依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE=BE，再根据AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．
【详解】
解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE=BE ，
又∵AE=AE ，△ACE 的周长比△AEB 的周长多2cm ，
∴AC-AB=2cm ，
即AC-8=2cm ，
∴AC=10cm ，
故答案为：10；
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
20．【分析】直接根据高相等的三角形面积之比等于底之比【详解】解：∵是边上的中线∴BD=DC 又∵的面积是2和的高相等∴∵和的高相等∴∴又∴同理：故答案为：【点睛】此题主要考查根据高相等的三角形面积之比等于 解析：49
【分析】
直接根据高相等的三角形，面积之比等于底之比．
【详解】
解：∵AD 是BC 边上的中线
∴BD=DC
又∵ABC ∆的面积是2，D AB ∆和D A C ∆的高相等
∴D DC S =S =1AB A ∆∆ ∵13
AE AD = E AB ∆和BDE ∆的高相等 ∴E BDE ABD 11S =S =S 23
AB ∆∆∆ ∴BDE 2S =3
∆ 又12
BF EF =
，∴1B 3BF E =，同理： DEF BFD BDE 24S =2S =S =39
∆∆∆ 故答案为：49
． 【点睛】 此题主要考查根据高相等的三角形，面积之比等于底之比求三角形的面积，解题的关键是正确理解高相等的三角形之间的关系．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）CG DE DF =+，证明见解析；（3）结论不变：CG DE DF =+
【分析】
（1）根据12ABC S AC BF =
⋅△，12
ABC S AB CG =⋅△， 即可解决问题； （2）结论CG DE DF =+，利用面积法证明即可； （3）结论不变，证明方法类似（2）．
【详解】
（1）证明：如图①中，
∵90F G ︒∠=∠=，
∴12ABC S AC BF =
⋅△，12ABC S AB CG =⋅△， ∴1122
AC BF AB CG ⋅=⋅， 又∵AB AC =，
∴BF AC =；
（2）解：结论CG DE DF =+，
理由：如图②中，连接AD ，
∵ABC ABD ADC S
S S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222
AB CG AB DE AC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∵AB AC =，
∴CG DE DF =+；
（3）结论不变：CG DE DF =+，证明如下：
如图③，连接AD ，
∵ABC ABD ADC S
S S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222
AB CG AB DE AC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∵AB AC =，
∴CG DE DF =+；
如图④，连接AD ，
∵ABC ABD ADC S
S S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222
AB CG AB DE AC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∵AB AC =，
∴CG DE DF =+．
【点睛】
本题考查三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法证明线段之间的关系．
22．（1）EG ⊥FG ，证明见解析；（2）A ．45；B .2EOF EPF ∠=∠（在A 、B 两题中任选一题即可）
【分析】
（1）由AB ∥CD ，可知∠BEF 与∠DFE 互补，由角平分线的定义可得
90GEF GFE ∠+∠=︒，由三角形内角和定理可得∠G ＝90︒，则EG FG ⊥； （2）A ．由（1）可知90BEG DFG ∠+∠=︒，根据角平分线的定义可得
45MEG MFG ∠+∠=︒,故135MEF MFE ∠+∠=︒，根据三角形的内角和即可求出EMF ∠=45︒；
B ．设OEF α∠=，OFE β∠=，故EOF ∠=180αβ︒--，再得到
180BEO DFO αβ∠+∠=--︒，根据角平分线的定义可得
190122PEO PFO αβ︒-∠+∠=-，则119022
PEF PFE αβ∠+∠=︒++，再求出
EPF ∠，即可比较得到结论．
【详解】
解：（1）由题意可得，求证：“EG ⊥FG”，证明过程如下
∵//AB CD
∴∠BEF ＋∠EFD=180° EG 平分BEF ∠，FG 平分DFE ∠，
12GEF BEF ∴∠=∠，12
GFE DFE ∠=∠， 1111()180902222
GEF GFE BEF DFE BEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=∠+⨯︒∠==︒． 在EFG 中，180GEF GFE G ∠+∠+∠=︒，
180()1809090G GEF GFE ∴∠=-∠+∠=-︒=︒︒︒，
EG FG ∴⊥．
（2）A ．由（1）可知=90BEG DFG GEF GFE ∠+∠=∠+∠︒，
∵BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M
∴∠MEG=12∠BEG ，∠MFG=12
∠DFG ∴()111190452222
MEG MFG BEG DFG BEG DFG ∠+∠=
∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ 则4591350MEF MFE ︒+∠︒=+∠=︒， ∴EMF ∠=180135︒-︒=45︒
故答案为：A ，45；
B.设OEF α∠=，OFE β∠=，
∴EOF ∠=180αβ︒--，
∵//AB CD
∴∠BEF ＋∠EFD=180°
则180BEO DFO αβ∠+∠=--︒
∵BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P ∴190122
PEO PFO αβ︒-
∠+∠=-, ∴111190902222PEF PFE αβαβαβ∠+∠=︒--++=︒++， ∴EPF ∠=111809022αβ⎛
⎫︒-︒++ ⎪⎝⎭=121902
αβ︒--， ∵EOF ∠=1118029022αβαβ⎛
⎫︒--=︒-
- ⎪⎝⎭， 故2EOF EPF ∠=∠
故答案为：B ，2EOF EPF ∠=∠．（在A 、B 两题中任选一题即可）
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
23．∠ADC 83=︒，∠ACB 64=︒．
【分析】
由CE 是AB 边上的高，可得∠AEC=90︒，再利用三角形的外角性质可得∠ADC ，∠EAP ，∠B 的度数，再根据AD 是ABC 的平分线，可得∠BAC 的度数，再利用三角形的内角和定理即可得到∠ACB 的度数．
【详解】
∵CE 是AB 边上的高，
∴CE ⊥AB ，即∠AEC=90︒，
∵∠APC=∠BCE+∠ADC=123︒，∠BCE=40︒，
∴∠ADC=123︒-4083︒=︒，
∵∠APC=∠AEP+∠EAP=123︒，
∴∠EAP=1239033︒-︒=︒，
∵AD 是ABC 的角平分线，
∴∠BAC=2∠EAP=23366⨯︒=︒，
∵∠ADC=∠BAD+∠B ，
∴∠B=833350︒-︒=︒，
∵∠B+∠BAC+∠ACB=180︒，
∴∠ACB=180665064︒-︒-︒=︒，
即∠ADC 83=︒，∠ACB 64=︒．
【点评】
本题考查了三角形的角平分线、高线，三角形的外角性质和三角形的内角和定理．熟记性质并准确识图是解题的关键．
24．（1）∠A+∠C ＝∠B+∠D ；（2）①3，4；②110°；③3∠P=∠B+2∠C ．
【分析】
（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①以线段AC 为边的“8字型”有3个，以点O 为交点的“8字型”有4个； ②根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP ，∠BDP=∠CDP ，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P ，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B ，两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B ，即∠P=12
（∠C+∠B ），然后把∠C=120°，∠B=100°代入计算即可； ③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C ．
【详解】
（1）证明：在图1中，有∠A+∠C=180°-∠AOC ，∠B+∠D=180°-∠BOD ，
∵∠AOC=∠BOD ，
∴∠A+∠C=∠B+∠D ；
（2）解：①以线段AC 为边的“8字型”有3个：
以点O为交点的“8字型”有4个：
故答案为：3，4；
②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP，
∴2∠P=∠B+∠C，
∵∠B=100°，∠C=120°，
∴∠P=1
2（∠B+∠C）=
1
2
（100°+120°）=110°；
③3∠P=∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP=1
3∠CAB，∠CDP=1
3
∠CDB，
∴∠BAP=2
3∠CAB，∠BDP=2
3
∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP ∴∠C-∠P=∠CDP-∠CAP=1
3
（∠CDB-∠CAB），
∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=2
3
（∠CDB-∠CAB）．
∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，
∴3∠P=∠B+2∠C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
25．（1）35°；（2）90°-1
2
α；（3）
1
2
β
【分析】
（1）由角平分线的定义得到∠DCG=1
2
∠ACG，∠DBC=1
2
∠ABC，然后根据三角形外角的
性质即可得到结论；
（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=1
2
∠ABC，∠CBE=1
2
∠CBF，于是得到
∠DBE=90°，由（1）知∠D=1
2∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-1
2
α；
（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=1
2
∠ABC，∠DAM=1
2
∠MAC，再利用三角形外
角的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG=1
2∠ACG，∠DBC=1
2
∠ABC，
∵∠ACG=∠A+∠ABC，
∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，
∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，
∴∠D=1
2
∠A=35°；
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，
∴∠DBC=1
2∠ABC，∠CBE=1
2
∠CBF，
∴∠DBC+∠CBE=1
2
（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，
∵∠D=1
2
∠A，∠A=α，
∴∠D=1
2
α，
∵∠DBE=90°，
∴∠E=90°-1
2
α；
（3）如图，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴AD平分∠MAC，∠ABD=1
2
∠ABC，
∴∠DAM=1
2
∠MAC，
∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，
∴∠ADB=1
2∠ACB=1
2
β．
故答案为：1
2β．
【点睛】
本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．
26．（1）2；5；9；（2）(n-3)；n(n-3)；（3）
(3)
2
n n-
；（4）54
【分析】
（1）根据图形数出对角线条数即可；
（2）根据所画图形可推导出凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，进而可得共可作n(n-3)条对角线；
（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条
(3)
2
n n-
，即可解答；
（4）把n=12代入（3）计算即可．
【详解】
解：（1）根据图形数出对角线条数，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9对角线；
故答案为：2；5；9；
（2）∵从凸4边形的一个顶点出发，可作1条对角线，
从凸5边形的一个顶点出发，可作2条对角线，
从凸6边形的一个顶点出发，可作3条对角线，
从凸7边形的一个顶点出发，可作4条对角线，
…
∴从凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，若允许重复计数，共可作n(n-3)条对
角线；
故答案为：(n-3)；n(n-3)．
（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条
(3)
2
n n-
，
故答案为：
(3)
2
n n-
．
（4）把n=12代入
(3)
2
n n-
计算得：
129
2
⨯
=54．
故一个凸十二边形有54条对角线．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，解题关键是n边形从一个顶点出发的对角线有(n-3)条．。