数学物理方法习题

第一章 分离变量法
1、求解定解问题：
2000000
00,(01),
||0,
,(0),|(),(),|0,(0).
tt xx x x l t t u a u x u u n h l x x l n u h l l x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪=⎨-≤≤⎪-⎪⎪⎩=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。

[提示：定解问题为
200000000,(0),
(0,)(,)0,
,(0),(,0)(),(),|0.
tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l
u =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩= ] (P-227)
3、求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20|()/t u bx l x l ==-。

[定解问题为
220200,()(0),||0,|()/.t xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩
] (P-230) 4、求解定解问题
2220,0,0220,0.03sin ,0.00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪==⎨==⎪∂⎪===⎪∂=⎩
4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。

[提示：定解问题为
20000,(0),||0,2|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪==⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩
](P-236) 5、长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。

[提示：定解问题为
2000000,(0),|0,|0,(,0),|0.tt xx x x x l x x t t u a u x l u u F u u x dx dx x YS u ===⎧-=≤≤⎪==⎪⎪⎨∂==⎪∂⎪=⎪⎩
⎰⎰] (P-238) 6、长为l 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为0v 时突然停止，求解杆的振动。

[提示：定解问题为
2000,(0),(0,)0,(,)|0,(,0),(,0)|0.tt xx x x l t t v a v x l v t v l t v x v v x ==⎧-=<<⎪==⎪⎨=⎪⎪=⎩
] (P-242) 7、求解细杆导热问题，杆长l ，初始温度均匀为0u ，两端分别保持温度为1u 和2u 。

[提示：定解问题为
201,2000,||,|.t xx x x l t u a u u u u u u u ===⎧-=⎪==⎨⎪=⎩
] (P-251)
8、在矩形区域0,0x a y b <<<<上求解拉氏方程0u ∆=，使满足边界条件
00|(),|0.
|sin ,|0.x x a y y b u Ay b y u x
u B u a π=====-===(P-265)
9、均匀的薄板占据区域0,0x a y <<<<∞，边界上温度000|0,|0,|x x a y u u u u ======，lim 0y u →∞
=。

[提示：泛定方程为：0.xx yy u u +=](P-269) 10、矩形膜，边长1l 和2l ，边缘固定，求它的本征振动模式。

[提示：定解问题为
1221200()0,(0,0),
|0,|0,
|0,|0.
tt xx yy x x l y x l u a u u x l y l u u u u ====-+=<<<<====] (P-271)
11、细圆环，半径为R ，初始温度分布已知为()f ϕ，ϕ是以环心为极点的极角，环的表面是绝热的。

求解环内温度变化情况。

[提示：其定解问题为 20,02,(),(2)().t t u a u u f u u ϕϕϕπϕϕπϕ⎧-=≤<⎪=⎨⎪+=⎩
] (P-274) 12、在圆形域内求解0u ∆=使满足边界条件
(1)|cos ,(2)|sin a a u A u A B ρρϕϕ====+。

[提示：泛定方程为
201
1
0,.02a u u u ρρρϕϕρϕπρρ<<⎛⎫++= ⎪<<⎝⎭] (P-275) 13、半圆形薄板，板面绝热，边界直径上温度保持零度，圆周上保持0u ，求稳定状态下的板上温度分布。

[提示：定解问题为
200110,(0,0),
|0,|0,(0),|,0).R u u u R u u R u u ρρρϕϕϕϕπρρϕπρρρϕπ===⎧++=<<<<⎪⎪⎪=⎨⎪=<<⎪=<<⎪⎩
] (P-276) 14、在以原点为心，以1R 和2R 为半径的两个同心圆所围城的环域上求解20u ∇=，使满足
边界条件1211|(),|()R R u f u f ρρϕϕ====。

[提示：泛定方程为
1221
1
0,.02R R u u u ρρρϕϕρϕπρρ<<⎛⎫++= ⎪<<⎝⎭] (P-282) 15、两端固定的弦在线密度为(,)()sin f x t x t ρρω=Φ的横向力作用下振动，求解其振动情况，研究共振的可能性，并求共振时的解。

[提示：定解问题为
2000()sin ,|0,|0,|0,|0.tt xx x x l t t t u a u x t u u u u ω====⎧-=Φ⎪==⎨⎪==⎩
] (P-292)
16、两端固定弦在点0x 受谐变力0(,)sin f x t f t ρρω=作用而振动，求解振动情况。

[提示：外加力的线密度课表为00(,)sin ()f x t f t x x ρρωδ=-，所以定解问题为
200000sin (),|0,|0,|0,|0.tt xx x x l t t t u a u f t x x u u u u ωδ====⎧-=-⎪==⎨⎪==⎩
](P-297) 17、在矩形域0,22
b b x a y <<-<<上求解22u ∇=-且u 在边界上的值为零。

(P-303)
第二章 球函数
1、在本来是匀强的静电场0E 中放置导体球，球的半径为a ，试研究导体球怎样改变了匀强
静电场。

[提示：定解问题为
20,u ∇=（1）
000|cos ,(||.r r r a u E z E r u u C θ→∞→→≈-=-⎧⎨=⎩
设导体放入前，=0),（2）和（3）](P-369) 2、在点电荷04q πε的电场中放置导体球，球的半径为a ，球心与点电荷相距()d d a >，求解这个静电场。

[提示：定解问题为
20,,|0,|0.
r a
r v q u v D v v =→∞⎧∇=⎪⎪=+⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩] (P-370) 3、求解
220
0,(),|cos .r u r a u θ=⎧∇=<⎨=⎩(P-372) 4、在球坐标系中利用分离变量法求下列定解问题。

220
0(0)14sin cos sin 2r a r u r a u u θϕϕ==⎧∇=<<⎪⎪⎛⎫=+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩有限（08~09）
5、用一层不导电的物质把半径为a 的导体球壳分隔为两个半球壳，使半球各充电到电势为1v 和2v ，试解电场中的电势分布。

[提示：定解问题为
20120,(),|,(0)(01),2|.,()(10)2i i r i r a u r a u v x u v x πθπθπ==⎧⎪⎪⎪⎪∇=<⎪⎨⎪⎧⎪≤<≤<⎪⎪⎪=⎨⎪⎪<≤-<≤⎪⎪⎩⎩
有限，(自然边界条件)或或(P-373) 6、半球的球面保持一定温度0u ，半球底面（1）保持0C ︒，（2）绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。

[提示：定解问题为
2002
0,(),||,|0.r r a u r a u u u u πθ===⎧∇=<⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩有限，](P-375)
第三章 柱函数
1、半径为R 的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面220|(1/)t u R H ρ==-，初速为零，求解膜的振动情况。

[提示：定解问题为
2020021()0,||0,|(1),|0.tt R t t t u a u u u u u H u R ρρρ
ρρρρ====⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-=⎪⎩
有限，] (P-399)
2、利用递推公式证明2001()()()J x J x J x x
'''=-并计算41()x J x dx ⎰ 3、半径为R 的圆形膜，在00,ρϕ受到冲量K 作用，求解其后的振动。

[提示：定解问题为
220,tt u a u -∇=（1）
0|0,|R u u ρρ===⎧⎪⎨⎪⎩
（膜边缘固定）， 有限，（2） 000|0,|t t t u u δρρδϕϕρ===⎧⎪⎨⎪⎩ 00
（初位移为零），k =(-)(-)。

p （3）](P-401) 4、半径为R 的圆形膜，边缘固定，求其本征频率和本征振动。

[提示：定解问题为
22000,(0,0),||0,||0.tt R u a u R u u u u ρρϕϕπϕπρ====⎧-∇=≤≤≤≤⎪=⎨⎪==⎩
有限，] (P-403) 5、半径为R 而高为H 的圆柱体下底和侧面保持零度，上底温度分布为2()f ρρ=，求柱体内各点的稳恒温度。

[提示：定解问题为
2200
0,|0,|,||0.Z Z H R u u u u u ρρρ====⎧∇=⎪==⎨⎪=⎩有限，] (P-404)
6、圆柱体半径为R ，高为H ，上底有均匀分布的强度为0q 的热流流入，下底有同样热流流出，柱侧保持为0C ︒，求柱内的稳恒温度。

[提示：定解问题为
20
00,|()|()|0.
Z Z H
R u u q z z R q u z z R u ρ===⎧∇=⎪∂⎪=⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎪=⎩热流方向与轴反向，热流方向与轴同向，] (P-409) 7、确定球形铀块的临界半径。

[提示：铀块厚度超过临界厚度，则中子浓度奖随着时间而增长以致铀块爆炸，其定解问题为
22,|0.t r R
u a u u u β=⎧-∇=⎨=⎩] (P-422) 8、均质球，半径为0r ，初始温度分布为()f r ，把球面温度保持为零度而使它冷却，求解球内各处温度变化情况。

[提示：定解问题为
02200,|0,|().
t r r t u a u u u f r ==⎧-∇=⎪=⎨⎪=⎩] (P-424) 9、半径为0r 的球面径向速度分布为0
1(3cos 21)cos 4t υυθω=+⨯，试求解这个球在空气中辐射出去的声场中的速度势，设0()r λ
波长。

本题径向速度对空间中的方向的依赖性由因子1(3cos 21)4
θ+即2(cos )P θ描写，因而是轴对称四级声源。

[提示：三维波动方程为20.tt v a v -∆=其中200p a γρ=
，0p 是初始压强，0ρ是初始密度，γ是定压比热与定容比热
的比值。

](P-431)
10、设有静电场的圆柱域(半径为a )的上、下底接地，侧面电位为0U ，求域内电位分布。

00
10(,0)
|0
zz z z h a u u u a z h u u u U ρρρρρρ
===⎧++=<<<⎪⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩
（08~09）。