2019年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：2-9函数

[课时跟踪检测]
[基础达标]
1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大()
A．8元/件B．10元/件
C．12元/件D．14元/件
解析：设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)．
∴当x＝4时，y max＝340.
即单价为10元/件，利润最大，故选B.
答案：B
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.
答案：D
3．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示．则杯子的形状是()
解析：从题图看出，在时间段[0，t 1]，[t 1，t 2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t 1]上升慢，在[t 1，t 2]上升快，故选A.
答案：A
4．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )
A ．100元
B ．110元
C ．150元
D ．190元
解析：设售价提高x 元，利润为y 元，则依题意得y ＝(1 000－5x )×(100＋x )－80×1 000＝－5x 2＋500x ＋20 000＝－5(x －50)2＋32 500，故当x ＝50时，y max ＝32 500，此时售价为每件150元．
答案：C
5．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0，100.007 5≈1.017)( )
A ．1.5%
B ．1.6%
C ．1.7%
D ．1.8%
解析：设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 2
40≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.
答案：C
6．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a
8，则m 的值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
解析：根据题意知1
2＝e
5n，
令1
8a＝a e
nt，即
1
8＝e
nt，
因为1
2＝e
5n，故
1
8＝e
15n，
比较知t＝15，m＝15－5＝10.
答案：D
7．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
①买小包装实惠；
②买大包装实惠；
③卖3小包比卖1大包盈利多；
④卖1大包比卖3小包盈利多．
A．①②B．①④
C．②③D．②④
解析：大包装300 g 8.4元，相当于100 g 2.8元<3元，故买大包装实惠，②对；
卖1大包装盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3元，
卖3小包装盈利3×(3－0.5－1.8)＝2.1元，
2．3>2.1，④对，故选D.
答案：D
8．某商场在2018年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价为1 500元，则购买该商品实际付款额为1 500×0.8－200＝1 000元．设购买某商品的实际折扣率
＝实际付款额商品标价×100%，某人欲购买标价为2 700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为( )
A ．55%
B ．65%
C ．75%
D ．80%
解析：当购买标价为2 700元的商品时，实际应付2 700×0.8－400＝1 760，故实际折扣率为1 760
2 700×100%≈65%.故选B.
答案：B
9．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．
解析：设每小时的总费用为y 元，则y ＝k v 2＋96， 又当v ＝10时，k ×102＝6， 解得k ＝0.06，
所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10
v 小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥2
0.6v ×960
v ＝48，当且仅
当0.6v ＝960
v ，即v ＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．
答案：40
10．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．
解析：依题意知，20－x 20＝y －824－8
，即x ＝5
4(24－y )，
∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )·y ＝54(－y 2
＋24y )＝－54(y －12)2＋180. ∴当y ＝12时，S 有最大值为180. 答案：180
11．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t ＞1，
当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4， 由⎝ ⎛⎭⎪⎫
121－a ＝4得a ＝3. 所以y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t －3
，t ＞1.
(2)由y ≥0.25得⎩⎨⎧
0≤t ≤1，
4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧
t ＞1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t －3≥0.25，
解得1
16≤t ≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝79
16(小时)．
[能 力 提 升]
1．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a 元，为还清这笔贷款，该家长从2004年8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在m 年后还清，若银行按年利息为p 的复利计息(复利即将一年
后的贷款利息也纳入本金计算新的利息)，则该学生家长每年的偿还金额是( )
A.a
m
B.ap (1＋p )m ＋1(1＋p )m ＋1－1
C.ap (1＋p )m ＋1p m －1
D.ap (1＋p )m (1＋p )m －1
解析：设每年偿还的金额都是x 元，则
a (1＋p )m ＝x ＋x (1＋p )＋x (1＋p )2＋…＋x (1＋p )m －1，
∴a (1＋p )m ＝x ·1－(1＋p )
m
1－(1＋p )
，
解得x ＝ap (1＋p )m
(1＋p )m －1.故选D.
答案：D
2．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R )个单位的洗衣液在装有一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝k ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
248－x －1，0≤x ≤4，7－12x ，4＜x ≤14.
若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放
的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．
(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k 的值；
(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ (3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．
解：(1)由题意知k ⎝ ⎛⎭⎪⎫
248－2－1＝3，∴k ＝1.
(2)因为k ＝4，
所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
968－x －4，0≤x ≤4，28－2x ，4＜x ≤14，
当0≤x ≤4时，由96
8－x
－4≥4，解得－4≤x ＜8， 所以0≤x ≤4.
当4＜x ≤14时，由28－2x ≥4，解得x ≤12，所以4＜x ≤12. 综上可知，当y ≥4时，0≤x ≤12，
所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟． (3)在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为
2×⎝ ⎛⎭⎪⎫
7－12×12＋1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤248－(12－10)－1＝5(克/升)，又5＞4，所以在第12分
钟时洗衣液还能起到有效去污的作用．。