高数数学必修一《3.2.2.1奇偶性的概念》教学课件

(1)这两个函数的图象有何共同特征？
(2)对于上述两个函数， f(1) 与 f(－1) , f(2) 与 f(－2)，f(a) 与 f(－a) 有什么关系？由此可得到什么一般性的结论？
提示：(1)都关于y轴对称． (2)f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，f(a)＝f(－a)．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，当自变量任取定 义域中的一对相反数时，对应的函数值相等．即f(－x)＝f(x)，满足这种性质的函数叫作偶函数．
(2) 已 知 f(x) ＝ ax2 ＋ bx 是 定 义 在 [a － 1 ， 2a] 上 的 偶 函 数 ， 则 a ＋ b ＝
() A．1 C．－1
B．13 D．3
答案：B
解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a－1＋2a＝0，解得a＝13， 且有－2ba＝0，可得b＝0，因此，a＋b＝13.故选B.
2．下列函数既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x
B．y＝－x2
C．y＝|x|
D．y＝1x
答案：C
解析：对于A，y＝x为奇函数，所以A不符合题意；
对于B，y＝－x2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，所以B不符合题意；
对于C，y＝|x|既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增，所以C符合题意； 对于D，y＝1x为奇函数，所以D不符合题意．故选C.
第1课时 奇偶性的概念
预学案
共学案
预学案
函数的奇偶性❶
奇偶性
定义
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有_f(－__x)_＝_f(_x)___，那么函数f(x)是偶函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有_f(_－_x_)＝_－__f(x_)___，那么函数f(x)是奇函数
3．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则2f(－1)＋3f(－2)的值为
()
A．－7
B．7
C．5
D．－5
答案：A
解析：依题意，f(x)是奇函数， 结合图象可知2f(－1)＋3f(－2)＝－2f(1)－3f(2)＝－2×1－3×53＝－7.故选A.
4 ． 若 函 数 f(x) ＝ x3 － bx2 ＋ ax 在 [3a ， 2 ＋ a] 上 为 奇 函 数 ， 则 a ＋ b ＝ ___－_12____．
(4)f(x)＝ x2 − 4 + 4 − x2.
题后师说
判断函数奇偶性的3种方法
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x22+x3； (2)f(x)＝x2x−4 1.
解析：(1)函数定义域为R，且f (－x)＝ −−x22x+3＝x−22+x3＝－f (x)，故该函数是奇函数． (2)函数定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，且f (－x)＝ −−xx2−41＝x2x−41＝f (x)，故该函数是偶函数．
C．y＝2x
D．y＝|x|
答案：D
解析：A：f(－x)＝−1x＝－1x＝－f(x)且定义域为{x|x≠0}，为奇函数； B：f(－x)＝(－x＋2)2≠±f(x)，为非奇非偶函数； C：f(－x)＝－2x＝－f(x)且定义域为R，为奇函数； D：f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)且定义域为R，为偶函数． 故选D.
f(－1)＝－f(1)，即
−1+1 −1+a −1
＝－
1+1 1+a 1
，
整理得a＝－1(经检验满足题意)．
一题多变
(1)
将
本例
(2)
中
的
函
数
改
为
f(x)
＝
x+a x2+1
是
奇
函
数
，
则
a
＝
____0____．
解析：∵f(x)＝xx2++a1是奇函数， ∴f(0)＝1a＝0， ∴a＝0， 检f(x验)＝，x2当x+1a是＝奇0时函，数f．(－x)＝x2−+x1＝－f(x)，
【问题探究2】 观察下列两个函数的图象，据此回 答下列问题：
(1)这两个函数的图象有何共同特征？
(2)对于上述两个函数， f(1) 与 f(－1) , f(2) 与 f(－2)，f(a) 与 f(－a) 有什么关系？由此可得到什么
一般性的结论？
题型 1 函数奇偶性的判断 例1 (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|； (3)f(x)＝x2＋ x；
2．已知函数的奇偶性求参数的2种方法
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋2，
则f(0)＋f(3)＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
答案：C
解析：因为函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋2， 所以f(3)＝－f(－3)＝－(－3＋2)＝1. 而f(0)＝0，∴f(0)＋f(3)＝1.故选C.
3．以下函数图象中为奇函数的一项是( )
答案：A 解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以只有选项A符合，故选A.
共学案
【学习目标】
(1)理解奇函数、偶函数的定义． (2)了解奇函数、偶函数的图象特征． (3)能用定义判断函数的奇偶性．
【问题探究1】 观察下列两个函数的图象，据此回答下列问题：
随堂练习 1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
答案：B 解析：选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于 原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.
2．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝1x
B．y＝(x＋2)2
【即时练习】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)f(x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 若 f( － 1) ＝ f(1) ， 则 f(x) 一 定 是 偶 函 数．( × ) (2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定 是奇函数.( × ) (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函 数．( × )
跟踪训练2 已知奇函数f(x)定义域为[－5，5]且在[0，5]上的图象如 图所示，求使f(x)<0的x的取值范围．
题型 3 利用函数的奇偶性求值
例3 (1)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝( )
A．26
B．18
C．10
D．－26
答案：D
(2)设函数f(x)＝
(2)将本例(2)中的函数改为函数f(x)＝x2－(2－m)x＋3为偶函数，则m 的值是____2____．
解析：方法一 f(－x)＝(－x)2－(2－m)(－x)＋3＝x2＋(2－m)x＋3，由函数y＝f(x)为偶函数，知f(－x)＝f(x)， 即x2＋(2－m)x＋3＝x2－(2－m)x＋3，∴2－m＝－(2－m)，∴m＝2.
方法二 由f(－1)＝f(1)得4＋(2－m)＝4－(2－m)，解得m＝2.
题后师说
1．利用函数奇偶性求值的方法 (1)未知的值不在已知的范围内，可利用函数的奇偶性将未知的值或 区间转化为已知的值或区间； (2)有些函数虽然是非奇非偶函数，但观察表达式可以发现其间存在 奇偶性的表达式，所以可用奇函数或偶函数表达出此函数，从而间接 地求值．
图象特点 关于_y_轴__对称
关于_原_点__对称
微点拨❶ (1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体” 性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝ f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数． (2)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关 于原点对称．若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数是非 奇非偶函数．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在 区间[－1，2]上无奇偶性可言． (3)若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，这 样的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数 集．若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)是非奇非偶函数．
解析：因为函数f(x)＝x3－bx2＋ax在[3a，2＋a]上为奇函数， 所以3a＋2＋a＝0，得a＝－12， 又f(－x)＝－f(x)，即(－x)3－b(－x)2－12(－x)＝−x3＋bx2＋12x，即2bx2＝0恒成立， 所以b＝0，所以a＋b＝－12.
课堂小结 1.函数的奇偶性 (1)定义域特点：关于原点对称； (2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称； (3)解析式特点：偶函数满足f(－x)＝f(x)或f(x)－f(－x)＝0，奇函数满 足f(－x)＝－f(x)或f(x)＋f(－x)＝0. 2．判断函数奇偶性的方法 (1)定义法；(2)图象法． 3．利用函数奇偶性求值的方法 (1)定义法；(2x
为奇函数，则a＝___－_1____．
解析：方法一(定义法) 由已知f(－x)＝－f(x)，
即
−x+1 −x+a −x
＝－
x+1 x+a x
.
显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.(经检验满足题意)
方法二(特值法) 由f(x)为奇函数得
题型 2 奇、偶函数的图象及应用 例2 已知函数f(x)为定义在[－3，3]上的偶函数，其部分图象如图 所示． (1)请作出函数f(x)在[0，3]上的图象； (2)根据函数图象写出函数f(x)的单调区间及最值．
学霸笔记：
利用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对 称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大 小及解不等式问题．