1.4全称量词与存在量词

全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”可用符号简记为：
x M，p( x),
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
例1 判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数； （2） （3）对每一个无理数x，x2也是无理数。
解：（1）假命题； （2）真命题；（3）假命题。
小 结：
判断全称命题"x M,p(x)"是真命题的方法：
.
练习：
1． 已知命题“∀x∈R， 不等式 ax2－ax＋1＞0 恒成立”的否定为 假命题，则实数 a 的取值范围是________．
0a4
(
2．已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2＋ 2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为
1.4全称量词与存在量词
• 德国的著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题 “任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和， 比如77，77=53+17+7，同年欧拉首先肯定了哥德 巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个 质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的， 但是还需要证明。这就是当今人们称之为哥德巴赫 猜想，并誉为数学皇冠上的明珠。200多年来我国 著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一 个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上 两个质数相乘，或者表示成一个加上一个质数.从陈 景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥,它是一个 迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推 翻的命题”
表 述 方 法
①所有的x∈A，p(x)成 立 ②对一切x∈A，p(x)成 立 ③对每一个x∈A，p(x) 成立 ④任意一个x∈A，p(x) 成立 ⑤凡x∈A，都有p(x)成 立
①存在x∈A，使p(x)成 立 ②至少有一个x∈A，使 p(x)成立 ③对有些x∈A，p(x)成 立 ④对某个x∈A，p(x)成 立 ⑤有一个x∈A，使p(x) 成立
求参数范围问题
1 例3、已知：对x R , a x 恒成立，则a x a<2 的取值范围是 .

变式1：已知：对x R , x ax 1 0恒成立，
2

则a的取值范围是
2
.
变式2：已知：对x R, x ax 1 0恒成立， 则a的取值范围是
-2<a<2
∀
含有 全称量词 的命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简 “∀x∈M，p(x)” 记为 .
• 2.存在量词和特称命题
存在量词 符号表示 特称命题 形式 含有 存在一个 、至少有一个 有的 . ______ 、 有些 、
∃
存在量词 的命题
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可用符 号记为 “∃x0∈M；p(x0)” .
探究1：
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)x>3；
(2)2x+1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。 语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 常见的全称量词还有 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。 “一切” “每一个”
• 3.全称命题、特称命题真假的判断方法。
通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示，变量x 的取值范围用M表示，那么，
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ”可用符号简记为：
x0 M，p( x0 ),
读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
例2 判断下列特称命题的真假：
（1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0； （2）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3）有些整数只有两个正因数。
解：（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题。
小 结：
——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0) 成立即可 （举例说明） 判断特称命题"x0 M,p(x0 )"是假命题的方法： ——需要证明集合M中，使p(x)成立的元素x不存在。
练习2存在量词、特称命题定义： “某个”“有的”等 。
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量 词， 并用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
特称命题举例：
命题：有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数。
特称命题符号记法：
全称命题 (假)
• 将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示， 并判断真假． • (1)实数的平方是非负数； ∀x∈R，x2≥0（真） • (2) 方程 ax2＋2x＋ 1＝0(a<1) 至少存在一个负根； 2 2＋ • (3)对于某些实数 xax ，有 x ＋ 1<0 ∃x<0，有 2 x ＋ 1＝； 0(a<1)（真）
（2）至少有一个正整数，它既不是合数，也不是素数； （ 3）
解：（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题。
• • • • •
判断下列语句是全称命题还是特称命题， 并判断真假． (1)有一个实数α，tan α无意义； 特称命题 (真) (2)任何一条直线都有斜率吗？ 不是命题 (3) 所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； 全称命题 (真) (4)每一个四边形，其对角互补；
——需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立
判断全称命题"x M,p(x)"是假命题的方法：
——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可 （举反例）
练习1 判断下列全称命题的真假： （1）每个指数函数都是单调函数；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3） 对任意x∈R，x2＋2x＋3>0.
A
)
A．a≤－2或a＝1
C ． a≥ 1
B．a≤－2或1≤a≤2
D．－2≤a≤1
【解析】 由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1， 由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.
小结：
• 1．全称量词和全称命题
所有的 全称量词 符号 全称命题 形式 、 任意一个 、 一切 、 任给 .
解：（1）真命题； （2）假命题； （3）真命题。
探究2：
(1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x0∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除。
语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 常见的存在量词还有 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。 “有些”“有一个”
2＋1<0（假） ∃ x ∈ R ，有 x • (4)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α（真）
• [题后感悟]
同一个全称命题或特称命题，可能有不 同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵 活选择： 特称命题“∃x∈A，p(x)”
命题 全称命题“∀x∈A，p(x)”
全称量词、全称命题定义： “任给” “所有的”等 。
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并 用符号“ ”表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。
全称命题举例：
命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。
全称命题符号记法：
通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示，变量x 的取值范围用M表示，那么，