理论力学重点

于同一系统上。因此，当取系统为研究对象时，可不必考虑这些内力。
（３）物体系统的独立的平衡方程总数 设系统由 n 个物体组成。其中 n１个物体受平
面任意力系作用；n２个物体受平面汇交力系作用；n３个物体受平面平行力系作用；n４个物
体受平面力偶系作用。则系统能够列写出的独立的平衡方程的最大数目 k 为
（其中二力构件不算在内）
2．力偶的性质及等效定理
n
mO (R) mO (Fi ) i 1
（１）力偶无合力，即力偶不能与力等效，也不能与力平衡。 （２）只要保持力偶的转向和力偶矩的大小不变，力偶可以在其作用面内任意移动和转 动或者改变力和力偶臂的大小，而不改变它对刚体的作用效应。 （３）作用在同一平面内的两个力偶彼此等效的充要条件是这两个力偶转向相同和力偶 矩的大小也相同。 3．平面力偶系的合成 平面力偶系的合成结果仍然为一力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。即
第四章 空间力系
4.1 内容提要
4.1.１ 空间共点力系 １．空间共点力系的合成 （１）空间力在坐标轴上的投影 ①一次投影法 如图 4－１所示，若已知力Ｆ与三个坐标轴间的夹角分别为、和，
则力Ｆ在三个坐标轴上的投影分别为 X＝Ｆcos； Y＝Ｆcos； Z＝Ｆcos； （4－１）
如已知力Ｆ的三个投影，可以求出力Ｆ的大小和方向，即
大小：
F X 2 Y2 Y2
（4－２）
方向：
cos X ；
Y cos ；
cos Z
F
F
F
（4－３）
②二次投影法 已知力Ｆ与坐标面Ｏxy 的仰角以及力Ｆ在Ｏxy 平面上的投影Ｆxy 与 x 轴间的夹角，则力Ｆ在三个坐标轴上的投影分别为 X＝Ｆcoscos,Y＝Fcossin,Z＝F sin，如图 4－２所示。
R
R2 x

R2 y
， cos(R, x)

Rx R
， cos(R,
y)

Ry R
2．平面共点力系的合成 （１）几何法 合力矢是力多边形的封闭边，合力作用线通过力系的汇交点。
n
R F1 F2 Fn Fi i 1
（２）解析法 当两坐标轴间的夹角为 时有 2
R
R2 x
∑X＝０； ∑Y＝０； ∑Z＝０
（4－６）
4.1间力偶的等效条件 作用在同一平面内或平行平面内的两个力偶，若它们的力
偶矩的大小相等，且力偶的转向相同，则这两个力偶彼此等效。
（２）力偶对刚体作用的三要素 力偶矩的大小；力偶作用面的方位；力偶的转向。
（３）力偶矩矢 用一矢量来表示力偶对刚体作用的三要素，矢量的模表示力偶矩的大
1.1.2 静力学公理 （１）二力平衡公理 作用于刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的充分与必要条件
是：这两个力大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。 （２）加减平衡力系公理 在作用于刚体上的已知力系中，加上或减去任一平衡力系，
并不改变原力系对刚体的作用效应。 （３）力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力，其合力也作用在该点上，
（２－1）
图 2-1
图 2-2
（２）力沿坐标轴的分解 力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的 平行四边形公理。如图２－２所示。力沿坐标轴分解的分力的大小为
Fx

F sin
；
sin( )
Fy

s
F s i n i n ( )
（２－２）
当 时，有 2
k＝3n1＋2n2＋2n3＋n4 n1＋n2＋n3＋n4＝n
２．静定与静不定概念
（１）静定系统 系统中所有未知量的总数小于或等于系统独立的平衡方程的总数时，
称这系统为静定系统。这类系统仅应用刚体的静力平衡条件，就可以得到全部未知量的解。
（２）静不定系统 系统中所有未知量的总数大于系统独立的平衡方程的总数时，称这
系统为静不定系统或超静定系统。这类问题仅应用刚体的静力平衡条件，不能得到全部未知
量的解。
3．物体系统的平衡问题
常见的物体系统的平衡问题有三类，即（1）构架；（2）多跨静定梁；（3）三铰拱。
这三类问题都有其相应的求解特点，在求解过程中能总结归纳。在求解这三类问题时通常要
注意以下情况，如固定端约束、铰上受力、分布荷载计算、二力构件等。
小，矢量的方位与力偶作用面的法线方位相同，矢量的指向与力偶的转向关系服从右手螺旋
规则。力偶矩矢是一自由失量。
２．空间力偶系的合成与平衡
（１）空间力偶系的合成 空间力偶系的合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即

R2 y

( X )2 (Y )2
cos(R, x) Rx X ， cos(R, y) Ry Y
RR
RR
（２－７）
平面汇交力系的平衡
（１）平衡的几何条件 力多边形自行封闭。
（２）平衡的解析条件 力系中各力在两坐标轴上投影的代数和分别等于零，即
X 0； Y 0
３.1.3 特殊情况下的平衡方程
１．平面平行力系的平衡方程
（１）
∑mＡ（Ｆ）＝０； ∑Y＝０
y 轴不能与各力相垂直。
（２）
∑mＡ（Ｆ）＝０； ∑mＢ（Ｆ）＝０
矩心Ａ、Ｂ的连线不能与各力作用线平行。
２．平面汇交力系的平衡方程 有以下三种形式
（１）
∑X＝０； ∑Y＝０
（２）
∑mＡ（Ｆ）＝０； ∑Y＝０
y 轴不能与汇交点 O 和矩心 A 的连线相垂直。
（３）
∑mＡ（Ｆ）＝０； ∑mＢ（Ｆ）＝０
矩心Ａ、Ｂ与汇交点 O 不能共线。
３.1.4 物体系统的平衡 静定与静不定概念
１．物体系统的平衡
（１）外力 系统外任何物体作用于该系统的力称为这个系统的外力。
（２）内力 所研究的系统内部各物体间相互作用的力称为内力，内力总是成对地作用
３.1.2 平面任意力系的平衡方程
１．一矩式平衡方程
∑X＝０； ∑Y＝０； ∑mo（Ｆ）＝０ ２．二矩式平衡方程
∑X＝０；∑mＡ（Ｆ）＝０；∑mＢ（Ｆ）＝０
其中Ａ、Ｂ两点的连线不能与投影轴 x 垂直。
３．三矩式平衡方程
∑mＡ（Ｆ）＝０；∑mＢ（Ｆ）＝０；∑mC（Ｆ）＝０ 其中Ａ、Ｂ、Ｃ三点不能在同一直线上。
mO（Ｆ）＝±Ｆh＝±２△ＯＡＢ面积
图 2-4 （２）力对点之矩的解析式 设力的作用点Ａ的坐标坐标为 xA、yA，矩心Ｃ的坐标为 x Ｃ、yＣ，力Ｆ在正交坐标轴上的投影 X、Y，则力Ｆ对矩心Ｃ的矩为
mO（Ｆ）＝Y（xＡ－xＣ）－X（yＡ－yＣ） 如图 2-4 所示。
（３）合力矩定理 合力对某点Ｏ之矩等于各分力对同一点之矩的代数和，即
（１）力的可传性原理 作用于刚体上的力，其作用点可以沿作用线移动而不改变它对 该刚体的作用效应。
（２）三力平衡汇交定理 若刚体受三个力作用而处于平衡，且其中两个力的作用线汇 交于一点，则第三个力的作用线也必定汇交于同一点，而且共面。 1.1.4 约束、约束反力及常见的约束类型
（１）约束力 限制物体运动的条件称为约束。 （２）约束反力 约束对被约束物体的反作用力称为约束反力。 （ 3）常见的约束类型有：柔体约束；光滑的点、面、线约束；光滑铰链约束；轴承约 束；固定端约束。 1.1.5 物体的受力图及受力分析的步骤 （1）物体的受力图 表示物体所受全部外力（包括主动力和约束力）的简图。受力图 是求解静力学问题的依据。 （2）受力分析的步骤和注意事项 （a）明确研究对象，将研究对象从它周围物体的约 束中分离出来，单独画出其简图；（b）画出研究对象所受的一切主动力和约束反力；（c）约 束反力要符合约束的类型及其性质；（d）当分别画两个相互作用物体的受力图时，要注意作 用力和反作用力的关系；（e）通常应先找出二力构件，画出它的受力图，然后再画其它物体 的受力图。
Fx X ；
Fy Y
（２－３）
由此可见，在一般情况下，力沿坐标轴分解的分力的大小不等于力在坐标轴上投影的大小。 如图２－３所示。
图 2-3
（３）合力投影定理 合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即
Rx X ；
Ry Y
当投影轴 x 与 y 垂直时，其合力的大小与方向为
理论学习知识要点
第一章 静力学基本概念和物体的受力分析 第二章 平面基本力系 第三章 平面任意力系 第四章 空间力系 第五章 摩擦 第六章 点的运动 第七章 刚体的基本运动 第八章 点的复合运动 第九章 刚体的平面运动 第十章 质点的运动微分方程 第十一章 动量定理 第十二章 动量矩定理 第十三章 动能定理
图 4-1
图 4-2
（２）合力投影定理 合力在某轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。 即
Ｒx＝X1＋X2＋…＋Xn＝∑X 同理
Ｒy＝∑Y， Ｒz＝∑Z （３）空间共点力系的合成 空间共点力系可以合成为一个合力，该合力的作用线通过 力系的公共作用点，合力的大小和方向为
R ( X )2 (Y )2 ( Z)2
该附加力偶矩等于原力对该平移点之矩。 2．力系的主失和主矩 （１）力系的主失 力系中各力的失量和称为力系的主矢，即
n
R Fi i 1
（２）力系对简化中心的主矩 力系中各力对简化中心 O 的矩的代数和称为力系对简 化中心 O 的主矩。即
n
M o mo (Fi ) i 1
在一般情况下，主失不随简化中心改变而变化，而主矩将随简化中心的位置改变而变化。 3．平面任意力系向一点简化 根据力线平移定理，可将作用在刚体上的平面任意力系向力系所在的平面内任一点 O （简化中心）简化，得到一个作用在简化中心的平面共点力系和一平面力偶系，进而可以合 成为一个力和一个力偶，该力失等于原力系的主失，该力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。 4．平面任意力系的简化结果 （１）Ｒ =０，Ｍo≠０，此种情况下主矩与简化中心无关。 （２）Ｒ≠０，Ｍo＝０。 （ 3）Ｒ≠０，Ｍo≠０，此种情况可进一步简化为第二种情况。 （ 4）Ｒ =０，Ｍ0＝０，此种情况为平面任意力系的平衡条件。
第二章 平面基本力系
2.1 内容提要
平面基本力系包括平面汇交力系和平面力偶系。 2.1.1 平面汇交力系的合成与平衡
1．力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴的分解 （１）力在坐标轴上的投影 力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹 角的余弦，如图 2-1 所示，它是一标量，即
X F cos ； Y F s i n
第一章 静力学基本概念和物体的受力分析
1.1 内容提要
1.1.1 基本概念 （１）力 物体间相互的机械作用，这种作用使物体的形状和运动状态发生改变。 （２）刚体 任何情况下都不会发生变形的物体。刚体是力学中的一种理想化模型。 （３）平衡 物体相对于惯性参考系静止或作匀速直线运动。 （４）等效力系 作用于物体且效应（外效应或内效应）相同的力系。
上式称为平面汇交力系的平衡方程。 2.1.2 平面力偶系的合成与平衡
1. 力对点之矩 （１）力对点之矩的概念 力对点之矩（简称力矩）是力使物体绕矩心转动效应的度量， 它在平面问题中是一代数量，其绝对值等于力的大小与力的作用线到矩心的垂直的乘积。其 正负规定为：若力使物体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。如图 2-4 所示，力矩可表示 为：
（4－４）
X
Y
Z
cos（Ｒ，x）＝
；cos（Ｒ，y）＝
；cos（Ｒ，z）＝
（4－５）
R
R
R
２．空间共点力系的平衡 （１）空间共点力系的平衡条件 空间共点力系平衡的充要条件是合力Ｒ等于零，即
R ( X )2 (Y )2 ( Z)2 0
（２）空间共点力系的平衡方程 根据平衡条件，可得到空间共点力系的平衡方程为
n
M m1 m2 mn mi i 1
4．平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的充要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即
m 0
上式称为平面力偶系的平衡方程。
第三章 平面任意力系
３.1 内容提要
３.1.1 平面任意力系向一点简化 1. 力线平移定理 作用在刚体上的力的作用线向刚体上某点平移时，必须附加一力偶，
至于合力的大小和方向则由以这两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示，而该两个 力称为合力的分力。
（４）作用与反作用定律 两物体间相互作用的力总是等值、反向、共线且分别作用在 这两个物体上。
（５）刚化公理 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体置换为刚体，则平 衡状态保持不变。 1.1.3 两个推论