问题8.2 求圆锥曲线离心率或离心率范围-2020届高三数学成功在我之优等生提分精品(学生版)

专题八 解析几何
问题二：求圆锥曲线离心率或离心率范围
一、考情分析
离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难,本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.
二、经验分享
离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解.(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c 的运用
三、知识拓展
1.在求椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>离心率范围时常用的不等关系：,x a y b ≤≤，a c FP a c -≤≤+，
b OP a ≤≤（P 为椭圆上一点）
2.在双曲线()222210,0x y a b a b +=>>中，2
1c b e a a ⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
，
四、题型分析
(一) 借助平面几何图形中的不等关系
【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】已知两定点()1,0A -和()1,0B ,动点(),P x y 在直线
:3l y x =+上移动,椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ,则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）
A ．55
B ．105 C. 255 D ．210
5
【小试牛刀】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b
+=>>与圆222
2:C x y b +=,若在椭圆1C 上存在点P,使得由点
P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直,则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1
[,1)2 B ．23[
,]22 C ．2[,1)2 D ．3[,1)2
(二) 借助题目中给出的不等信息
【例2】 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点,若,
AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦则椭圆离心率的取值范围是 .
【小试牛刀】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆
()2222:10x y a b a b Ω+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，则椭圆Ω离心率的取值范围
是（ ） A. 13,
2
3⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭ B. 32,32⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭ C. 13,43⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D. 11,43⎛⎫
⎪⎝⎭
(三) 借助函数的值域求解范围
【例3】已知椭圆
22
1
:1
2
x y
C
m n
-=
+
与双曲线
22
2
:1
x y
C
m n
+=有相同的焦点,则椭圆
1
C的离心率e的取值
范围为（）
A．
2
(,1)
2
B．
2
(0,)
2
C．(0,1)D．
1
(0,)
2
【小试牛刀】【2017届福建连城县二中高三上学期期中】已知二次曲线
22
1
4
x y
m
+=,则当[]
2,1
m∈--时,
该曲线的离心率e的取值范围是（）
A．
23
22
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，B．
26
,
22
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C．
56
,
22
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
D．
36
,
22
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
(四) 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围
【例4】【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】设12,F F 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦
点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得2
12||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A ．12
B ．1
3 C ．22 D ．33
【小试牛刀】【2016届黑龙江省大庆实验中学高三12月月考】已知12,F F 分别为双曲线
)
0,0(12
2
22
>>=-b a b y
a x 的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点,若2
12PF PF 的最小值为8a ,则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．(]1,3
B ．(
1,3⎤⎦ C ．3,3⎡⎤⎣⎦
D ．[)3,+∞
四、迁移运用
1．【湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量检测】设椭圆
22
22
:1
x y
E
a b
+=(0
a b
>>)的一个焦点
()
2,0
F点()
2,1
A-为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P，使得8
PA PF
+=，则椭圆E的离心率的取值范围是（）
A.
44
,
97
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
B.
44
97
⎛⎫
⎪
⎝⎭
， C.
22
,
97
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭ D.
22
,
97
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
2．【广东省珠海一中等六校2018届高三第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线
与交于两点，若,设,且，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．【广东省六校2018届高三下学期第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线
与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
4．【浙江省镇海中学2018届高三上学期期末】已知点P在以为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点Q在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（）
A. B. C. D.
5．【福建省宁德市2018届高三上学期期末】已知1F 、2F 分别是椭圆C ： 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、
右焦点，若椭圆C 上存在点A ，满足1223AF AF a -=，则椭圆的离心率取值范围是（ ） A. 1,12⎛⎫
⎪⎝⎭ B. 1,15⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ C. 2,15⎛⎫
⎪⎝⎭ D. 2,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭
6．【2017届湖南长沙一中高三月考五】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为1F ,2F .这两条曲线在第一象限的交点为P ,12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若1||10PF =,记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ,则12e e 的取值范围是（ ）
A.1(,)9+∞
B.1
(,)5+∞
C.1
(,)3
+∞ D.(0,)+∞
7．【2017届湖南湘中名校教改联合体高三12月联考】过双曲线22
221x y a b
-=（0a >,0b >）的右焦点且
垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,与双曲线的渐近线交于C ,D 两点,若3
5
AB CD ≥,则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
8.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ,B
两点．若|AF |＋|BF |＝4,点M 到直线l 的距离不小于4
5,则椭圆E 的离心率的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎦⎤
0，
32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭
⎫3
2，1 D.⎣⎡⎭⎫
34，1
9．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F 为椭圆的右焦点,且满足
AF BF ⊥,设ABF α∠=,且[,]126
ππ
α∈,则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）
A ．313[
,]22- B ．316
[,]23
- C ．6[31,]3- D ．3
[31,]2
-
10．已知12,F F 是双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左、右两个焦点,以线段12F F 为直径的圆与双曲线的
一条渐近线交于点M,与双曲线交于点N （点M,N 均在第一象限）,当直线1MF 与直线ON 平行时,双曲线离心率取值为0e ,则0e 所在区间为（ ）
A ．(1,2)
B ．(2,3)
C ．(3,2)
D ．(2,3)
11.F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2＝90°,则椭圆的离心率的取值范围是________．
12.【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知P 是椭圆22
22111x y a b +=11(0)a b >>和双曲线22
2222
1x y a b -=22(0,0)a b >>的一个交点,12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率,1223
F PF π∠=,则1211e e ⋅的最大值为
13.在平面直角坐标系中,已知点(2,2)F 及直线:20l x y +-=,曲线1C 是满足下列两个条件的动点
(,)P x y 的轨迹：①2,PF d =其中d 是P 到直线l 的距离；②00
.225x y x y >⎧⎪>⎨⎪+<⎩
(1) 求曲线1C 的方程;
(2) 若存在直线m 与曲线1C 、椭圆22
222:1(0)x y C a b a b +=>>均相切于同一点,求椭圆2C 离心率e 的取值范围.
14.椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点．
(1)求1
a2＋
1
b2的值
(2)若椭圆的离心率e满足
3
3
≤e≤
2
2,求椭圆长轴的取值范围．。