新课标高考数学题型全归纳：如何由递推公式求通项公式典型例题

展开后得： an 1 3an 2n 对比得： t 1
an 1 2n 1 3(an 2n )
令 bn an 2n ,则 bn 1 3bn,且b1=a1 21 3
bn 是b1=3为首项，公比 q=3的等比数列
bn 3 3n 1 3n 即: an 3n 2n
类型四： an 1 pan r ( p 0,an 0)
an 的通项公式。
（ 2）已知数列
an 满足 a1 1,sn
(n
1)an
，求数列
an 的通项公式。
2
1
1 11
解：（ 1）由题知： an 1 an n2 n n( n 1) n n 1
an (an an 1) (an 1 an 2 ) …… +(a 2 - a1) a1
11
1
(
)(
1 ) ……
1 (
类型一： an 1 an
f (n) 或 an 1 an
g(n)
分析：利用迭加或迭乘方法。即： an (an an 1) ( an 1 an 2) …… +( a2 a1) a1
或 an
an an 1
a2
…… a1
an 1 an 2
a1
例 1.(1)
已知数列
an 满足 a1
1 , an 1 an 2
1 ，求数列 n2 n
（1） f ( x) 是多项式时转为 an 1 A( n 1) B p (an An B ) ，再利用换元法转为等比数列
（2） f ( x) 是指数幂： an 1 pan rq n 1( pqr 0)
an 1 an 若 p q 时则转化为 qn 1 qn r ，再利用换元法转化为等差数列
若 p q 时则转化为 an 1 tqn 1 p(an tqn ), 其中 t qr pq
如何由递推公式求通项公式
高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，
是一类考查思维能力的题型， 要求考生
进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；
化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。
下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。
an 1 3 2(an 3)
令 bn an 3,则 b1=a1+3=4且bn+1=2bn
bn 是以 b1=4为首项，公比为 q=2的等比数列 bn 4 2n 1 2n 1 即 an 2n 1 3 类型三： an 1 pan f (n)(其中 p为常数 )
分析：在此只研究两种较为简单的情况，即
f ( x) 是多项式或指数幂的形式。
n
类型二： an 1 pan q(其中 p, q为常数， pq( p 1) 0)
1
分析：把原递推公式转为： an 1 t p(an t ), 其中 t= q ，再利用换元法转化为等比数列 1p
求解。
例 2. 已知数列 an 中， a1 1,an 1 2an 3 ，求 an 的通项公式。 解：由 an 1 2an 3 可转化为：
例 3. （ 1）设数列 an 中， a1 1,an 1 3an 2n 1 ，求 an 的通项公式。 （2）设数列 an 中， a1 1,an 1 3an 2n ，求 an 的通项公式。
解：（1）设 an 1 A(n 1) B 3(an An B)
an 1 3an 2 An 2B A
与原式比较系数得：
2n 1 lg 1
a
a
a
也即 an a1 2 n 1
类型五： an 1
f (n)an
g(n)an h( n)
分析：这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。
3
例 5. 已知数列 an 满足： a1 1,an
an 1 ，求 an 的通项公式。
3an 1 1
解：原式两边取倒数得：
1 3an 1 1 3
1
an
an 1
an 1
设 bn = 1 , 则 bn-b n-1 =3, 且 b1=1 an
1 bn 是 b1= 为首项，公差 d=2的等差数列
3
bn 1 (n 1) 3 3n 2
即 an
1
3n 2
4
分析：这种类型一般是等式两边取对数后得： lg an 1 r lg an lg p ，再采用类型二进行求解。
例 4. 设数列 an 中， a1 1,an 1 1 an2 ( a 0) ，求 an 的通项公式。 a
解：由 an 1 1 an 2 ，两边取对数得 : a
lg an 1 2lg an lg 1 a
2A 2 2B(n 1) 1 3(an n 1)
令 bn an n 1,则 bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3
2
bn 是b1=3为首项，公比 q=3的等比数列
bn 3 3n 1 3n 即: an 3n n 1 (2) 设 an 1 t 2n 1 3(an t2n )
1 )
1
n1 n n 2 n1
12 2
31 2n （ 2） Q 2 sn ( n 1)an
2 sn 1 nan 1( n 2)
两式相减得： 2 an ( n 1)an nan 1(n 2)
即： an
n (n 2)
an 1 n 1
an an 1
a2
an
…… a1
an 1 an 2
a1
n n 1 …… 2 1 n 1n 2 1
设
lg an 1 t
2(lg an t ) 展开后与上式对比得：
t
1 lg
a
1
1
原式可转化为 lg an+1+lg
2(lg an lg )
a
a
令 bn
(lg an
1 lg ) ，则 bn 1
1 bn, 且 b1=lg
a
a
1 bn 是 b1=lg 为首项，公比 q=2的等比数列
a
bn
n1
1
1
2 lg ，即 lg an lg