一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系公式有哪些
⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些
韦达定理指出了⼀元⼆次⽅程根与系数的关系，让我们⼀起来了解⼀下吧。
下⾯是由店铺编辑为⼤家整理的“⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些”，仅供参考，欢迎⼤家阅读本⽂。
⼀元⼆次⽅程根与系数的关系
韦达定理指出：⼀元⼆次⽅程中两根的和等于它的⼀次项系数除以⼆次项系数所得的商的相反数;两根的积等于它的常数项除以⼆次项系数所得的商。
设⼀元⼆次⽅程ax²+bx+c=0中(a，b，c∈R，a≠0)，设此⼀元⼆次⽅程有两根x₁、x₂，有如下关系：
由⼀元⼆次⽅程求根公式如下：
达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
⼀元⼆次⽅程的根的判别式为：△=b2-4ac(a，b，c分别为⼀元⼆次⽅程的⼆次项系数，⼀次项系数和常数项)。
根的判别式是判定⽅程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
⽆论⽅程有⽆实数根，实系数⼀元⼆次⽅程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定⼀元⼆次⽅程根的状况和特征。
韦达定理为数学中的⼀元⽅程的研究奠定了基础，对⼀元⽅程的应⽤创造开拓了⼴泛的发展空间。
已知两个根其中的⼀个，就可以代⼊韦达定理的关系式⾥求得另⼀个根，并且还可以⽤另⼀个关系式来检验。
数学一元二次方程根与系数的关系
数学一元二次方程根与系数的关系稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊数学里超有趣的一元二次方程根与系数的关系。
你知道吗？这就像一个神秘的密码，一旦掌握，就能解开好多数学难题的大门。
比如说，当我们有一个一元二次方程ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），它的两个根 x₁和 x₂之间可是有着特别的联系哦！那就是 x₁ + x₂ = b/a ，x₁ · x₂ = c/a 。
是不是感觉有点神奇？想象一下，我们不用费劲去求解方程，就能通过系数 a、b、c 大概知道根的情况。
比如说，如果b² 4ac 大于 0，那就有两个不同的实数根。
这时候，根与系数的关系就能派上大用场啦，能帮我们更快地了解根的特点。
有时候做题，看到那些复杂的方程，别害怕！想起这个关系，说不定就能找到突破口。
而且哦，这个知识在生活中也有用呢。
就像算一些增长、衰减的问题，或者设计一些东西的时候，都能靠它来帮忙。
怎么样，是不是觉得一元二次方程根与系数的关系还挺有意思的？稿子二哈喽呀！今天咱们要好好唠唠一元二次方程根与系数的关系，准备好和我一起探索这个神奇的数学世界了吗？来，先看看这个方程ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），它的根可藏着小秘密呢。
你想啊，当我们知道了 a、b、c 的值，就能算出根的和与根的积。
比如说，x₁ + x₂等于 b/a ，这就好像是数学世界里的一条隐藏规则。
还有 x₁ · x₂等于 c/a ，是不是感觉很奇妙？有时候，老师出的题目故意不给咱具体的根，就看咱们能不能用这个关系来解决问题。
就像是玩一个解谜游戏，找到关键线索，就能揭开答案的面纱。
而且哦，这可不仅仅是为了考试。
在实际生活里，像工程计算啦，经济问题啦，都可能用到它。
想象一下，你要是能熟练掌握这个关系，那在解决问题的时候，就像是有了一把超级厉害的武器，轻松打败难题怪兽。
所以呀，别小看这一元二次方程根与系数的关系，好好琢磨琢磨，它能给你带来好多惊喜呢！。
(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)
(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)21。
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4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解————————--——-—☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k—1）x+k2-1=0有(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案) 两个实数根x 1、x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足x 12+x 22=16+x 1•x 2,求实数k 的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k,x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2—2x 1•x 2=16+x 1•x 2,∴（1-2k ）2-2×（k 2—1）=16+(k 2-1），即k 2—4k —12=0，解得k=—2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式。
○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m —1=0的两个根,且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为( D ） A ．—1或2 B ．1或-2 C ．—2 D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2)x+m=0, （1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根;（2)若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值。
解：（1)△=（m+2)2—4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2)，x 1x 2=m ．∵2111x x +=2121x x x x +=—mm 2+=—2, 解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2—2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.(2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是( A ） A ．-3 B ．—2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2—4x-3=0的两个实数根,则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24。
一元二次方程的根的分布与系数的关系-高中数学知识点讲解
一元二次方程的根的分布与系数的关系
1．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如
下关系：x1+x2 =―푏
푎
，x1•x2 =
푐
푎．
【例题解析】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为 1 的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0 两根的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0 中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即 9＝x12+x22+2，
∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为 1，
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2 与x1•x2 可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．
【考点分析】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
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一元二次方程根与系数的关系
第一讲 一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a-+= (1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-； (3) 当240b ac -<时，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：∆=24b ac -.二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．例1：已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．例2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式． 例3：已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．练习：1.已知一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不等的实数根，求k 的取值范围.2.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．3.已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．图（12） 第二讲 一次函数、反比例函数、二次函数1.当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而 ；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而 ；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝ ．2.当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而 ；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而 ；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝ ．3.二次函数的三种表示方式：一般式 顶点式 交点式 注：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．例1：如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于A (1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．例2：求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）； （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．巩固练习1.若函数12-+=a ax y 在11≤≤-x 上的值有正也有负，则a 的取值范围是_________2.若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，则实数a 的取值范围是_____________．3.二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．4.把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为________________.第三讲 解不等式一、一元一次不等式（组）及其解法 :例1：（1）解关于x 的不等式组0,231x a x -<⎧⎨-+<⎩二、一元二次不等式及其解法形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式例2：解下列不等式：(1) 260x x +->； (2)(2)(3)6x x +-< (3) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+例:3：已知关于x 的不等式22(1)30kx k x -+-<的解为13x -<<，求k 的值．二、简单分式不等式的解法例4：解下列不等式： (1) 2301x x -<+； (2)2301x x x +≥-+.例5：解不等式132x ≤+.三、含绝对值不等式的解法 例6：解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；练习：1、二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是________.2、如果22()530x a b x b x x ++⋅+=--，则b =___________.3、若2是关于x 的一元二次方程23100x mx +-=的一个根，则m =________.4、若一次函数(12)y k x k =--的图像不经过第二象限，则k 的取值范围是________.5、若函数2y x b =--与24y x =+的图像交于x 轴上一点A ，且与y 轴分别交于B ，C 两点，则ABC ∆的面积为________.6、已知一个直角三角形的两个直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____________.7、当22x -≤≤时，函数223y x x =--的最大值为______.8、不等式260x x -+<的解为_______.9、已知关于x 的方程22310x x m -++-=的两个实根同号，则实数m 的取值范围为____.10、函数231y ax x =-+的最小值大于0，则实数a 的取值范围为_________.11、两个数的和为60，它们的积的最大值为___________.12、如果不等式210ax ax ++<无解，则a 的取值范围是_________.13、已知(3,2),(1,1)M N -，点P 在y 轴上，且PM PN +最短，则点P 的坐标为_______.14、解下列不等式：(1) 23180x x --≤ ； (2)31221x x +<-； (3)116x x -++>． 15、已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围．16、解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．17、已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x . （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.18、已知二次函数212y x bx c =-++的图像经过(2,0),(0,6)A B -两点. (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设该二次函数图像的对称轴与x 轴交于点C ，连接,BA BC ，求ABC ∆的面积.19、已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上. (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值.。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。
解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0， 解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0， （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ， 则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值． 解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43； （2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。
一元二次方程根与系数的关系
（2）解：当a=5为底边长时，b=c 当a=5为腰长时，不妨设a=b=5， 由根与系数的关系：5+c=2k-3 2 ∴Δ = （2K-5） =0，k=2.5， 5c=2k-4 2 原方程为：x -2x+1=0 解得：c=1，k=4.5 ∴b=c=1 ∵b+c<a ∴此三角形的周长为a+b+c=11 ∴此时不构成三角形，舍去。
_年 _月 _日
星期_______
天气_____ 自我评价:___________ 悄悄话:老师我想对你说______ _______________________ _______________________ ________________________
学习课题:_____________ 知识归纳与整理:________ _____________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收获与困惑_________
分析解答
2、已知关于的方程。x2－(2k－3)x +2k－4=0 （1）求证：无论取什么实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形的一边长a=5，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根， 求这个三角形的周长？
（1）证明： ∵Δ =[-（2k-3）]2-4（2k-4） =（2K-5）2 ∴不论k取何值，（2K-5）2 ≥0， 即Δ ≥0，原方程总有实数根。
2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2， 不解方程，求：
（1） x1 x2 x2 x1 ;
分析解答
由根与系数的关系得：x1+x2=3/2 x1x2=1/2
x x ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
高中一元二次方程根与系数的关系
高中一元二次方程根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是由一个未知数的二次多项式所构成的方程。
一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知系数，a≠0，x是未知数。
在研究一元二次方程根与系数的关系时，我们可以通过求解方程的根来探讨这种关系。
一元二次方程的根可以分为以下几种情况：1. 无实根：当一元二次方程的判别式b²-4ac小于0时，方程无实根。
这意味着方程表示的抛物线与x轴没有交点，图像完全位于x 轴的上方或下方。
2. 有两个相等的实根：当一元二次方程的判别式b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实根。
这意味着方程表示的抛物线与x轴有且仅有一个交点，图像与x轴相切。
3. 有两个不等的实根：当一元二次方程的判别式b²-4ac大于0时，方程有两个不等的实根。
这意味着方程表示的抛物线与x轴有两个交点，图像在x轴上方或下方都有一段。
了解了一元二次方程根的分类情况后，我们可以进一步研究根与系数之间的关系。
下面以常见的三种情况进行讨论：1. 当判别式b²-4ac小于0时，方程无实根。
这意味着系数a、b、c的取值使得方程表示的抛物线位于x轴的上方或下方。
当我们改变系数a的值时，可以发现抛物线的开口方向发生改变，但无论怎样改变a的值，方程仍无实根。
2. 当判别式b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实根。
这意味着系数a、b、c的取值使得方程表示的抛物线与x轴相切于一个点。
当我们改变系数b的值时，可以发现抛物线与x轴相切的点发生水平移动，但无论怎样改变b的值，方程仍有两个相等的实根。
3. 当判别式b²-4ac大于0时，方程有两个不等的实根。
这意味着系数a、b、c的取值使得方程表示的抛物线与x轴有两个交点。
当我们改变系数c的值时，可以发现抛物线与x轴的交点发生垂直移动，但无论怎样改变c的值，方程仍有两个不等的实根。
一元二次方程的根的分布与系数的关系
一元二次方程的根的分布与系数的关系
1．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如
下关系：x1+x2=−b
a，x1•x2=
c
a．
【例题解析】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即9＝x12+x22+2，
∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为1，
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1•x2可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．
【考点分析】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
1 / 1。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系【基础知识精讲】1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则12b x x a+=-，a c x x =∙212．设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则：0,0)1(21>>x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙>-=+002121a c x x a b x x,0)2(21<<x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙<-=+002121a c x x a b x x,0)3(21<>x x 时，有21<=∙ac x x3．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x (x x )x x x -++=【例题巧解点拨】 1．探索韦达定理例1：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，求21x x +， 21x x ∙的值。
例2.（2010•毕节地区）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m-1）x+m 2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m 的取值范围； （2）当x 12-x 22=0时，求m 的值．2．已知一个根，求另一个根.例3.已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
3．求根的代数式的值例4：设x 1，x 2是方程x 2-3x ＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) x 13 x 24+ x 14 x 23； 2112)2(x xx x +4．求作新的二次方程例4：1.以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.2.已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：a+1、b+15．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系一、韦达定理（根与系数关系）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21,x x ，则=+21x x ，=21x x 。
二、应用1、求待定系数值；2、求关于根的代数式值；3、结合△，讨论根的符号特征；4、构造一元二次方程辅助解题。
三、以两个数21,x x 为根，构造一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 。
四、方程根的符号特征)0(02≠=++a c bx ax 有两根21,x x ：①若0021=⇔=+b x x ，21,x x 互为相反数； ②若c a x x =⇔=121，21,x x 互为倒数；⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ③方程两根同为正数； ⇔⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆0002121x x x x ④方程两根同为负数； ⇔⎩⎨⎧<>∆0021x x ⑤方程两根异号；⇔⎪⎩⎪⎨⎧<>+>∆0002121x x x x ⑥方程两根异号且正根绝对值大； ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<+>∆0002121x x x x ⑦方程两根异号且负根绝对值大。
五、典例讲解例1、（1）以3、2为根作一元二次方程是 。
（2）以313-，212为根作一元二次方程式 。
（3）解方程组⎩⎨⎧=+-=67y x xy（4）求作一元二次方程使它的根是方程0132=++x x 的各根的平方。
（5）不解方程0262=+-x x ，求作一元二次方程是它的一根为原方程两根和的倒数，另一根是原方程两根差的平方。
④两根立方和。
练习2、设方程03742=--x x 两根是21,x x ，求：①)3)(3(21--x x ；②；③21x x -；2112x x x x +④；⑤||21x x -；⑥3231x x +；⑦222111x x -；⑧2112x x x x -+-例3、（1）关于x 的方程2)12(22=+++k x k x 两根的平方和为11，求k 的值。
一元二次方程根与系数关系
1
一元二次方程根与系数关系
知识定位
设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。
而且这部分内容题型多样，方法灵活，触及知识面广。
知识梳理
知识梳理1：求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
知识梳理2：构造一元二次方程
如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
知识梳理3：证明等式或不等式
根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式
知识梳理4：研究方程根的情况
将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。
关于方程的实根符号判定有下述定理：
⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；
⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；
⑶方程有异号二根，ac<0；
⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；
1。
一元二次方程根与系数的关系
●
b b 2 4ac 2a
=
(b) 2 ( b 2 4ac) 2 4a 2
=
4ac 4a 2
c = a
若已知ax2+bx+c=0 (a≠o)的两个根x1,x2,
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0 (2) 2x2 3x +
1 2
x1+x2=2
3 x1+x2= 2
x1x2=-1
1 x1x2= 4
=0
(3) 2x2 - 6x =0
(4) 3x2 =4
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=0
4 x1x2= 3
例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（ 1） x 2 x 2 1 2
;
1 1 （2) ; x1 x2
2
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值。 解：设方程的另一个根为x2, 19 16 则x2+1= 3 , ∴ x2= 3 , 又x2 1=
●
m , 3
∴ m= 3x2 = 16
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1) 的值. 3 x2= 解：由根与系数的关系,得 x1+x2= - 2 , x1 · 2
x px q 0
2
x x p
1 2
x x q
1 2
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
一元二次方程组的根与系数的关系
一元二次方程组的根与系数的关系稿子一嘿，朋友！今天咱们来聊聊一元二次方程组的根与系数的关系，这可有趣啦！你知道吗，当我们面对一个一元二次方程的时候，比如说ax² + bx + c = 0 ，这里面的 a、b、c 可都有着大作用呢！根与系数之间有着神奇的联系。
假设方程的两个根是 x₁和 x₂，那么它们的和 x₁ + x₂就等于 b/a ，而它们的积 x₁ · x₂则等于c/a 。
是不是感觉有点神奇？想象一下，就好像这几个数字之间在悄悄地传递着秘密信号。
比如说，给你一个方程x² 5x + 6 = 0 ，那两个根是 2 和3 。
算一下，2 + 3 正好等于 5 ，也就是 (5)/1 ；2×3 呢，正好是6 ，也就是 6/1 。
掌握了这个关系，解起方程来可就多了一条捷径呢！有时候，就算方程的根不好直接求出来，通过这个关系也能大概知道根的一些情况。
怎么样，是不是觉得一元二次方程组的根与系数的关系很有意思呀？稿子二亲爱的小伙伴，咱们来唠唠一元二次方程组的根与系数的关系哈。
你看哈，这一元二次方程就像是一个藏着宝藏的小盒子，而根与系数的关系就是打开这个盒子的小钥匙。
比如说一个方程像这样：2x² + 3x 5 = 0 。
这里面的系数 2 、3 、5 ，和它的根有着特别的关联呢。
两个根假设是 x₁和 x₂，那它们相加，也就是 x₁ + x₂，结果就是 3/2 哟，是不是有点意外？这其实就是 b/a 啦。
再看看它们相乘，x₁ · x₂等于 5/2 ，也就是 c/a 。
这就好像是数学世界里的小魔法，是不是很神奇？咱举个实际的例子，假如有个方程x² + 2x 3 = 0 ，很快就能算出根是 1 和 3 。
然后你验证一下，1 + (3) 正好是 2 ，1×(3) 就是 3 。
这种关系在解题的时候可好用啦，能让咱们更快更准地找到答案。
所以呀，别小看这一元二次方程组的根与系数的关系，它能帮咱们在数学的海洋里畅游得更欢快呢！。
第三讲 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系1、一元二次方程的根的判别式综上所述，一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有： （1）当0>∆时，方程有两个不相等的实数根； （2）当0=∆时，方程有两个相等的实数根； （3）当0<∆时，方程没有实数根。
2、一元二次方程的根与系数的关系如果()002≠=++a c bx ax 的两个根是21x x 、，那么ab x x -=+21，ac x x =⋅21。
[例1]已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．[例2]设方程22630x x --=，的两个根是12,x x ，求2221x x +、3231x x +、21x x -的值；[练1]若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．[练2]已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．类型三：利用韦达定理和根的判别式，判断方程根的情况[例]当m 取什么实数时，关于x 的方程()()05242=-+-+m x m x 分别有：（1）两个正实数根；（2）一正根和一负根；（3）正根绝对值大于负根绝对值；小知识：利用根的判别式和韦达定理，可以判定方程()002≠=++a c bx ax 的正根、负根情况：（1）方程有两个正根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅>-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b ；（0=∆时，两正根相等）（2）方程有两个负根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅<-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b ；（0=∆时，两负根相等）（3）方程有一正根和一负根⎪⎩⎪⎨⎧<=⋅>-=∆⇔004212a cx x ac b ； 此时又可进一步分为三种情况：①021>-=+ab x x 时，正根大于负根的绝对值；②021<-=+ab x x 时，正根小于负根的绝对值；③021=-=+ab x x ，即0=b 时，两根互为相反数。
一元二次方程根与系数的关系
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
k 1 由根与系数的关系得x1+x2= 2
∴(
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
一元二次方程根与系数的关系
阜宁丰唐实验学校
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
2 4ac b b 2a
X=
(b2-4ac≥ 0)
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理） 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 , 那么X1+x2=
-
b a
●
m 3
,
∴ m= 3x1 = 16 x1+x2= - 2 , x1 · 2= 3 x
2 5 2 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
由根与系数的关系，得 解：
∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( 3 )+1=
2 3
, x1 · 2=-3 x
2 3 3
=
x1 x 2 x x2 1
=
=
2 9
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22
＝(x1＋x2 -2x x )2
4 2 2 1 2 ＝(- 3 ) -2×(-3)＝6 9
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-3 。（还有其他解法吗？） 一个根是___，m=____
14 X12+X22 = ( X1+X2)2 - 2X1X ___ = ___ 2
X 1+X 12 ( X1-X2)2 = ( 2 ___ )2 - 4X1X 2 = ___
3、判断正误： 以2和-3为根的方程是X －X-6=0
2
（× ）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 2和-1 _____ 。
5、以方程X2+3X+2=0的两个根的相反数为根的方
基 础 练 习
程是（ B A、y2+3y-2=0 C、y +3y+2=0
2
） B、 D、 y2－3y+2=0 y －3y-2=0
2
此题还有其他解法吗？
换元法： 设y=-x，则x=-y，将其代入X2+3X+2=0， 得y2－3y+2=0 ，即为所求方程。
k 2 0 2 2 (2k 1) 4k 0 2k 1 x1 x源自 2 0 k 解得:
所以,不存在这样的k值
求未知系数的取值范围
例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.
(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?
已知，二次函数y=aX2+bX+c（a≠0）过点（1，2） 和点（0，3），又知X1、X2是方程aX2+bX+c=0的两
个根，且 式。
+
=2，求此二次函数的解析
想一想
口答练习：
下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴、X2－3X+1=0 ⑶、2 X +3X=0
2
⑵ 、3X2－2X=2 ⑷ 、3X =1
2 x2 2x2 3x2 __________
知一根，求另一根与未知系数的值
例题：已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根
x1,x2,问是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在, 求出k的值;如果不存在,请说明理由.
一元二次方程 两个不相等的实数根 两根互为相反数
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
K2-2k-8=0
解得：k=4 或k=-2
2 2 、方程 2 X -mX+m-1=0有一个正根，一个负根， 提 求m的取值范围。 高 C 练 习
一正根，一负根
△＞0
两个正根
△≥0
两个负根
△≥0
X1X2＜0
X1X2＞0 X1+X2＞0
X1X2＞0 X1+X2＜0
提 高 练 习
一个根是___，m=____ -3 。（还有其他解法吗？） 基 础 练 2 3 、甲乙两生解方程 X +pX+q=0 ，甲看错了一次项 习 系数，得根为2和7，乙看错了常数项，得根为1和 -10，则p、q的值为（ ） A、p=9 q=14 B、p=14 q=-9 C、p=-9 q=14 D、p=-14 q=-9
分析:
k 2 0 2 2 (2k 1) 4k 0 2k 1 x1 x2 2 0 k
k 0 1 k 4 1 k 2
k 0 1 k 4 1 k 2
解:由题意得:
即(X1+ X2)2 - 2 X1X2=4 K2- 2（k+2）=4
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
K2-2k-8=0
解得：k=4 或k=-2
提 1、已知两圆的半径是一元一次方程2X -14X+m=0 的两个根，两圆的圆心距等于7，则这两圆的位置 高 C 练 关系是（ ） 习 A、外离 B、相交 C、外切 D、内切 2、方程2X2-mX+m-1=0有一个正根，一个负根， 求m的取值范围。 一正根，一负根 两个正根 两个负根
△＞0 △≥0 △≥0
2
X1X2＜0
X1X2＞0 X1+X2＞0
X1X2＞0 X1+X2＜0
提 高 练 习
3、已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD， AD⊥DC，AD=10cm， A B 以AD 为直径的⊙O切另 E 一腰于E，以AB、CD为 O 根的方程是X2-12X+m=0， 求m的值。
2
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴、不是一般式的要先化成一般式； ⑵、在使用X1+X2=－ 时，
注意“－ ”不要漏写。
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的两个根，则另
基 础 2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则 练 4 1 _， X1+X2 = ___ 习 ,X1X2 = ___
4、设X1、X2是方程2X2-3X+1=0的两个根…… 5、分析题： 已知方程X2+kX+k+2=0的两个根是X1、X2， 且X12+X22 = 4，求k的值。 解：由根与系数的关系得： X1+X2=-k， X1.X2=k+2 ∵ △= K2-4（k+2） 当k=4时， △＜0
又X12+ X2 2 = 4
解:(略)
设x1,x2是方程x2-4x+2=0的两根,则 1 1 2 2 ________ x1 x2 x1x2 __________ x1 x2
( x1 1)( x2 1) __________ | x1 x2 | _________
x1 __________ x2
分析: (1)列出△的代数式,证其恒大于零
(2)(x1-1)(x2-1)<0 解:(1)∵△=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+36>0
m7 x x 1 2 9 m3 13 x x 解得: m (2)由题意得: 1 2 9 2 ( x1 1)( x2 1) 0 13 当 m 时方程的一根大于1,另一根小于1 2
一元二次方程的根与系数的关 系的运用
口答练习：
下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴、X2－3X+1=0 ⑶、2 X +3X=0
2
⑵ 、3X2－2X=2 ⑷ 、3X =1
2
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴、不是一般式的要先化成一般式； ⑵、在使用X1+X2=－ 时，
注意“－ ”不要漏写。
• 不解方程,求方程两根的对称式的值; • 知一根(两根关系)，求另一根及未知 系数的值； • 求未知系数的取值范围。
5、分析题： 已知方程X2+kX+k+2=0的两个根是X1、X2， 且X12+X22 = 4，求k的值。 解：由根与系数的关系得： X1+X2=-k， X1.X2=k+2 ∵ △= K2-4（k+2） 当k=4时， △＜0
又X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 - 2 X1X2=4 K2- 2（k+2）=4
C D
达标检测题： 1、已知X1、X2是方程X2－2X=1的两个根， . -1 则X1+X2=________ X 2 1 X2=_______ 2 2、设X1、X2是方程X －4X+3=0的两个根， 则( X1+1)(X2+1)=8 _____ 2 3、以4和-7为根的一元一次方程是_____ _____ X +3X-28=0 4、已知两个数的和为3，积是-10，则这两个数 5和 -2 ___ 是___ ___
求方程对称式的值
例题:已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数
式的值
1 1 (1) (2) 2 2 (3)
分析:
(2) 2 2 ( )2 2
(1) 1 1
(3) ( ) 2 ( ) 2 4
达标检测题： 1、已知X1、X2是方程X2－2X=1的两个根， . -1 则X1+X2=________ X 2 1 X2=_______ 2 2、设X1、X2是方程X －4X+3=0的两个根， 则( X1+1)(X2+1)=8 _____ 2 3、以4和-7为根的一元一次方程是_____ _____ X +3X-28=0 4、已知两个数的和为3，积是-10，则这两个数 5和 -2 ___ 是___ ___
3和2
C. 1－ 3 和－2
D. 3 -1和－2
B
1 1 的值是 （ 2、设x1、x2是方程 2x2-3x-1=0的两根，则 x1 x2 B 3 3
A.3 B.-3 C. ） D.
4、已知方程7x2+20x+5=0,
2
7x2+10x+5=0,
2
7x2+20x-5=0,
7x2+10x-5=0中，两根均为负数的方程的个数为（ A.1 填空题： B.2 C.3 D.4
A
）
1、若方程2x2-5x+k=0的两根之比是2：3，则k=______ 3
10 2、若方程2x2-4x-3=0的两根为x1、x2，则x12-2x1x2+x22=______
2、已知关于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0, 问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56， 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
1.当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0,只有正实 数根?