专题十一 平面向量的坐标运算及数量积2013届高考数学主干知识整合精品PPT教学课件

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【点评】 本题中 A，D 两点在移动，并且将这两点的动态 特征用三角函数表示，并由此三角函数求出 B，C 两点的坐标， 从而用三角函数求解其最值．
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已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、 B 为两切点，那么P→A·P→B的最小值为________．
方法二：如图所示，设向量 a、b 分别对应于O→A、O→B，O→C，O→D 对应于 2a、2b，则 2a＋b，a－2b 对应于向量O→E，D→A，由于△OBC ≌△OAD，故|D→A|＝|B→C|，从而由题意得|O→E|＝|B→C|，故四边形 OCEB 为矩形，从而 β－α＝π2.
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所以 Δ＝[－(1＋y)]2－4×1×(－y)≥0，y2＋6y＋1≥0， 解得 y≤－3－2 2或 y≥－3＋2 2. 故(P→A·P→B)min＝－3＋2 2.此时 x＝ 2－1.
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► 探究点三 用三角函数研究向量中的参数取值范围问题 在用坐标研究向量问题时，涉及参数取值范围时，建立参
(2)在△ABC 中，AB＝1，AC＝2，O 为△ABC 外接圆的 圆心，则A→O·B→C＝________.
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(1)π2 (2)32 【解析】 (1)方法一：由|2a＋b|＝|a－2b|得 3a2＋ 8a·b－3b2＝0，即 a·b＝0，从而 cos(β－α)＝0.又 0<α<β<π，故 0<β －α<π，所以 β－α＝π2.
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要点热点探究 ► 探究点一 平面向量的数量积基本运算
平面向量的数量积的基本运算主要包含以下几个方面：一 是用定义法或坐标法求解数量积；二是求解向量的模；三是求 解向量的夹角．
例 1 (1)设向量 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中 0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则 β－α＝________.
例 2 如图 11－1 放置的边长为 1 的正方 形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半 轴 上 ( 含 原 点 ) 上 滑 动 ， 则 O→B ·O→C 的 最 大 值 是 ________．
图 11－1
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2 【解析】 设∠OAD＝θ，则 OA＝AD·cosθ＝cosθ， 点 B 的坐标为(cosθ＋cos(90°－θ)，sin(90°－θ))，即 B(cosθ＋ sinθ，cosθ)， 同理可求得 C(sinθ，sinθ＋cosθ)， 所 以 O→B ·O→C ＝ (cosθ ＋ sinθ ， cosθ)·(sinθ， sinθ ＋ cosθ) ＝ 1 ＋ sin2θ，所以(O→B·O→C)max＝2.
(2)方法一：A→O·B→C＝A→O·(O→C－O→B)＝A→O·O→C－A→O·O→B， 又|A→B|＝|O→B－O→A|，|A→C|＝|O→C－O→A|，
|O→B－O→A|2＝O→B2－2O→B·O→A＋O→A2＝1， 所以|O→C－O→A|2＝O→C2－2O→C·O→A＋O→A2＝4， 即A→O·O→C－A→O·O→B＝32，故A→O·B→C＝32. 方法二：过 O 作 OD 垂直于 BC，垂足为 D，因为 O 是三角形 ABC 的外接圆圆心， 所以 D 为线段 BC 的中点， 所以A→O＝A→D＋D→O，则A→O·B→C＝(A→D＋D→O)·B→C＝A→D·B→C ＝12(A→B＋A→C)·(A→C－A→B)＝12|A→C|2－12|A→B|2＝32.
专题十一 平面向量的坐标运算及数量积
专题十一 平面向量的坐标 运算及数量积
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1．平面向量的数量积 a·b＝|a||b|cosθ.
2．平面向量的坐标运算
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
λa＝(λx1，λy1)
向量共线
a∥b⇔x1y2－x2y1＝0
距离公式 数量积
|A→B|＝ x1－x22＋y1－y22 a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝ x21＋y21
垂直
ห้องสมุดไป่ตู้
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
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3.核心问题 (1)有关数量积的基本运算． (2)有关数量积的定值和最值问题． (3)用三角函数研究与向量有关的问题．
从而有C→A·A→B＋A→P·A→B＝P→A·A→B－P→A·A→P，
∴－12＋2λ＝λ2，解得 λ＝1± 22.
又
0≤λ≤1，∴λ＝1－
2 2.
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► 探究点二 平面向量的数量积最值问题 与动点有关的向量数量积问题中最常见的问题是求动点构
造的向量的数量积的最值问题，此类问题一般需要建立与数量积 有关的函数，通过函数求最值．
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【点评】 (1)向量夹角的研究方法有二：一是用向量的 数量积公式 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|；二是用几何图形将角放置到 多边形中研究．
(2)本题的方法一是将所给向量之间的关系直接转化为 O→A，O→B，O→C之间的关系，方法二是利用了外接圆的几何性 质将A→O，B→C转化为用基底向量A→B，A→C表示．
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等边三角形 ABC 中，P 在线段 AB 上，且A→P＝λA→B，若 C→P·A→B＝P→A·P→B，则实数 λ 的值是________．
1－
2 2
【解析】 P 在线段 AB 上，所以 0≤λ≤1，不
妨设等边三角形 ABC 边长为 1，∵C→P·A→B＝P→A·P→B，
∴(C→A＋A→P)·A→B＝P→A·(A→B－A→P)，
－3＋2 2 【解析】 如图所示： 设 PA＝PB＝x(x>0)，∠APO＝α， 则∠APB＝2α，PO＝ 1＋x2，sinα＝ 1＋1 x2，
P→A·P→B＝|P→A|·|P→B|cos2α＝x2(1－2sin2α)＝x2xx2＋2－11＝xx42－＋x12，设P→A·P→B ＝y，则 y＝xx42－＋x12，即 x4－(1＋y)x2－y＝0，由 x2 是实数，