江苏省南京市南京师范大学附属中学2017届高三数学考前模拟考试试题(含解析)

2017届南京师范大学附中高三考前模拟考试
数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸指定的位置上.
1. 已知集合，则 ______________
【答案】
【解析】，所以
2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模 ______________ 【答案】
【解析】因为，所以
3. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段的时速超过的车辆数为______________辆.
【答案】
【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得时速超过的汽车的频率为
；
所以时速超过的汽车辆数为．所以答案应填：77．
考点：频率分布直方图．
4. 如图所示的流程图中，输出的为______________
【答案】
【解析】由题意输出
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
5. 函数的定义域是______________
【答案】
【解析】由题意得，即定义域是
6. 袋中有形状、大小相同的只球，其中只白球，只红球，只黄球，从中一次随机摸出只球，则这只球颜色不同的概率为______________
【答案】
【解析】试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则
一次取出2只球，基本事件为、、、、、共6种，
其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种；...
所以所求的概率是．
考点：古典概型概率
7. 已知正四棱锥的底面边长为，高为，则该四棱锥的侧面积是______________【答案】
【解析】四棱锥的侧面积是
8. 设变量满足约束条件，若目标函数的最小值为，则
___________
【答案】
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中 ,因为目标函数的最小值为，所以，因此，解得
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
9. 设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，则在区间上的最大值为______________
【答案】
【解析】，由题意得
，
因此，则在区间上的最大值为1.
点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
10. 设是等比数列的前项和，若满足，则_________
【答案】
【解析】因为，所以，因此
11. 若且，则的最小值为______________
【答案】
【解析】因为，所以；因为，所以
，即
因此
当且仅当时取等号
12. 已知是圆上的一动点，是圆的一条动弦（是直径的两个端点），则的取值范围是______________
【答案】
【解析】设圆圆心为C.则，又
,因此
13. 设，对总有，则的取值范围是______________ 【答案】
【解析】由题意得当时，；当时，；当
时，；令，则，因此当
时，；当时，当时，
，综上的取值范围是
14. 在中，已知边所对的角分别为，若
，则 _________________
【答案】...
【解析】由正弦定理得，由余弦定理得
,即
因为
所以
点睛：三角形中问题，一般先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或三角函数有界性求取值范围. 最后根据等号取法确定函数值.
第Ⅱ卷（共80分）
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据正弦定理将角的关系转化为边的关系:,即得
的值；（2）根据向量数量积得,再利用余弦定理得,结合,解方程组可得，代得,即得，最后根据三角形面积公式求面积.
试题解析：解：（1）由正弦定理，；
（2），
所以，所以.
16. 如图，在四棱锥中,.
（1）若是的中点，求证：平面；
（2）若，求证：平面平面.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）取的中点，利用平几知识证明四边形是平行四边形，即
得.最后根据线面垂直判定定理得平面；（2）由平均知识计算，再由，根据线面垂直判定定理得面,最后根据面面垂直判定定理得平面
平面.
试题解析：解（1）取的中点，连接和，由因为是的中点，
所以是的中位线，所以，
由题意，所以，
所以四边形是平行四边形，所以.因为，所以
平面；
(2)由题意，在直角梯形中，经计算可证得，又面，
,面,又面，所以平面平面.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直....
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
17. 园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米圆心角为（弧度）的扇形景观水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建一圈理想的无宽度步道，要求总预算费用不超过万元，水池造价为每平方米元，步道造价为每米元.
（1）当和分别为多少时，可使广场面积最大，并求出最大值；
（2）若要求步道长为米，则可设计出水池最大面积是多少.
【答案】（1）最大值为400.（2）当时，最大平方米，此时.
【解析】试题分析：（1）步道长为扇形周长，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式，利用基本不等式将不等式转化为关于的一元不等式，解得的范围，确定最大值为400.（2）由条件得，消得
，由及，解
出，根据二次函数最值取法得到当时，最大
试题解析：解：（1）由题意，弧长为，扇形面积为，
由题意，即，
即，
所以，所以，，则，
所以当时，面积的最大值为400.
（2）即，代入可得
或，
又，
当与不符，
在上单调，当时，最大平方米，此时.
18. 平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作一直线与椭圆交于两点，过点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为
，试问直线与的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）（2）直线与过定点.
【解析】试题分析：（1）由离心率得，由椭圆过点得，解方程组可得（2）先根据对称性得定点必在x轴上，再利用特殊位置确定定点为.最后
证明直线与皆过定点.
试题解析：解（1）由题意得，所以椭圆的标准方程为
.
（2）①当直线的斜率不存在时，准线与的交点是；
②当直线的斜率存在时，设，直线为，
由，
所以，，
所以，
联立解得，...
代入上式可得
，
综上，直线与过定点.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
19. 设为常数）.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间的极大值、极小值各有一个，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）
【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数大于零得三角不等式，解得单调增区间；同理根据导函数小于零得三角不等式，解得单调减区间，注意单调区间不可用并集连接，（2）导函数必有两个不等的零点，利用导数分析导函数图像得：先增后减再增，比较两个
端点及两个极值点知，，解不等式可得实数的取值范围.
试题解析：解：（1）当时，，令，则单调增；
令，则单调增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）设，则，
令，则，
令，则，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
故在处取得极大值，在处取得极小值，
，
所以
①若，则在上单调增，故在无极值，所以；
②若，则在内至多有一个极值点，从而，于是在区间内分别有极大值、极小值各一个，
则在内无极值点，从而
，所以的取值范围是.
20. 设是各项均不相等的数列，为它的前项和，满足
.
（1）若，且成等差数列，求的值；
（2）若的各项均不相等，问当且仅当为何值时，成等差数列？试说明理由.
【答案】（1）（2）当且仅当时，成等差数列
【解析】试题分析：（1）根据解出（用表示），再根据
成等差数列，得，代入解出的值；（2）先研究成等差数列时为何值，同（1）根据解出，（用表示），再根据
成等差数列解出的值；再证明时，成等差数列，实际上求出
这个关系式.
试题解析：解：（1）令，得，...
又由成等差数列，所以，
解得.
（2）当且仅当时，成等差数列，
证明如下：
由已知，当时，，
两式相减得，即，
由于个各项均不相等，所以，
当时，所以
两式相减可得，
①当，得，当时，所以，
，所以，
故成等差数列.
②再证当成等差数列时，，
因为成等差数列，
所以，可得
，
所以，
所以当且仅当时，成等差数列.
21. 如图，为的直径，为上一点，过作的切线交的延长线于点，若，求证：.
【答案】见解析
【解析】试题分析：根据弦切角定理得，而可得
，因此，即得，因此.
试题解析：解：连接，
因为为切线且点为切点，所以，
因为,
所以
又因为
所以
故，所以，从而.
22. 已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，...求矩阵的两个特征值.
【答案】
【解析】试题分析：由矩阵变换得，解得，再利用特征多项式求特征值
试题解析：解：，所以，即，
特征方程，因此.
23. 已知点是曲线为参数，）上一点，为原点，若直线的倾斜角，求点的直角坐标.
【答案】点的坐标为.
【解析】试题分析：先根据同角三角函数平方关系消去参数得曲线的普通方程，再根据点斜
式得直线的方程，最后联立方程组解出点的直角坐标.
试题解析：解：由题意得，曲线的普通方程为
， ，直线
的方程为，
联立得
（舍去）或
，
所以点的坐标为.
24. 已知实数满足
，求
的最小值.
【答案】 【解析】略
25. 某小组共10人，利用暑假参加义工活动，已知参加义工活动此时为
的人数分别为
，现从10人中学车2人作为该组参加座谈会.
（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件的发生的概率； （2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1）.（2）
，分布列见解析
【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用概率公式求解；(2)借助题设条件运用概率公式和数学期望公式求解. 试题解析：
由题得：
的可能取值为
，
，
∴的分布列为：
∴
考点：概率公式及数学期望的计算公式等有关知识的综合运用．
26. （1）设，求.
（2）设，求的整数部分的个位数字.
【答案】（1）（2）的个位为.
【解析】试题分析：（1）利用二项式定理分别求项系数得.（2）取对偶关系式
，的整数部分的个位数字利用二项式定理证明为整数且个位数为0，根据范围确定，从而得到
试题解析：解：(1)因为
，
所以.
（2）令，
则
,
已知为整数且个位数为0，
而，
所以，
所以的个位为.。