高一数学二面角

AB AC BC 2a ，
那么BAC 为等边三角形,
所以BAC 600 .
解:(略)
课堂小结
从一条直线出发的两个半
1、二面角的定义：
平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面
角1的、棱二。面这角两的个平半面平角面叫
2、二面角的画法和记法：做二的面大角小的与面。其顶点 画法：在直棱立上式的和位平置卧无式关
角就是所求的则平由面三垂角线, 定最理后得求A出D这⊥个l .角的大小。
ADO 就是二面角 － l － 的平面角.
A.

AO 2 3, AD 4 在Rt△ADO中，
D
O
∵sin∠ADO= AO 2 3 AD 4
l

∴ ∠ADO=60°.
∴二面角 － l－ 的大小为60 °.
垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的
平面角。
AOB =?=AOB
O l
A
B
注无量一同等:个，关的（（角角那，，12定））的么只一理二二两这与个：面面边两二二如角角分个面面果的是别角角角一平用平相的的个面它行等张平角角的，。角面的与平并）大角两点面且小多边的角方有大和位来向关，另置度相。就
O
B
A
说这个二面角是多少度的二面角。 （3）平面角是直角的二面角叫做
直二面角。
（4）二面角的取值范围一般规定
为（0,π）。
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二面角的 平面角的定义、范围及作法
2、二面角的平面角的作法： 1、定义法： 根据定义作出来。
2、作垂面： 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到。
3、应用三垂线： 应用三垂线定理或其逆定理作 出来。
那是么求点DGD⊥到A水B,平∠面DGH 就的是距坡离面DH和.已地知平二面面所角成-AB- A C
G
是60度, 只要过D点在平面内作 DGAB , G是垂
的足,二再面连角结的H平G,面则角根,据所三以垂∠线DG定H=理60,0可. 得HGAB ,
则 DDGHH D就G s是in 6该00 二 面 角 的 平 面 角 , 即
二面角的应用举例2
例2、如图，山坡倾斜度是60度， 山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角. 沿这条路向上走100米,升高了多少?
解分析:因:为此CD例G 是是一坡个面实,设际D应H 用是题地,平可面先的抽垂象线出数学
段模型,D,H 就如是图所求示的. 本高题度要.作求HG“⊥升A高B了,垂多足少为米G？, ” 即
问题
1、在平面几何中“角”是怎样定义的？
答：从平面内一点出发的两条射
o
线所组成的图形叫做角。
2、等角定理？
A
答：如果一个角的两边和另一个 角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等。
B
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想一想 B
B B B
O
A
B
B B
? 两个面组成的图形


角

半平面及二面角的定义
做二面角。
构成 表示法
边—点—边 （顶点）
∠AOB
面—直线—面 （棱）
二面角—l— 或二面角—AB—
二面角的应用举例1
例1、已知二面角－ l － ，A为面内一点，A到 的
距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4。求二面角 － l － 的大小。
分解析：：过首A先作应AO找⊥到于或O作，出过二O作面O角D的⊥ 平l 于面D，角连,然AD后，证明这个
DGH CD6 s0in0 .30再0 s根in据600 DCH 300 及直角三角形

DGH和DC1G0的0si边n 3角00关 si系n 6,00 就可以求出DH .
25 3 43.3(m)

答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.
AC G
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注意：二面角的平面角必须满足： （1）、角的顶点在棱上。 （2）、角的两边分别在两个面内。 （3）、角的边都要垂直于二面角的棱。

l
A

o
B


o
B
A
ll

A
o
B
l
角与二面角的比较
图形
角
顶点 O
A 边
边B
二面角 A 棱a 面 B面
定义
从一点出发的两条射线 从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做角。 半平面所组成的图形叫

二面角的 画法与记法
2、二面角的记法： 面1－棱－面2
（1）、以直线l 为棱，以 , （2）、以直线AB 为棱，以,
为半平面的二面角记为：
为半平面的二面角记为：
l
AB

l


B

A
二面角的 平面角的定义、范围及作法
1、二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引
1、半平面：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。
2、二面角：从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面。
半
半
平
l平
面
面
面 面
棱l 观看动画演示
二面角的 画法与记法 1、二面角的画法：
（1）、平卧式
（2）、直立式
3、二面角的平面角：
记2法、：二二面面角角的大－小A用B－
它二的面平角面角－的大l－
4、二面角的平面角的作法：12小、、来根利度据用量定直义线作和出平来面垂
直作出来
3、应用三垂线定理或
其逆定理作出来
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哇！”耿正“兄弟”三人听了大吃一惊。耿直脱口而出问道：“消失了！为什么啊？”年轻的船工说：“住在黄河边上，还能是为什么啊，黄 河决堤了呗！”耿正赶快问道：“全都没啦？”年轻的船工又叹了一口气说：“唉，全都没啦！仅一夜之间啊，全村近三百口子人哪，还有所 有的房舍院落，全部不见了。洪水过后，整个滩头村，人们只能看到一人多厚的淤泥和村口的半截子椿树了。村子周围的几百亩土地，也都变 成了烂河滩了！这黄河，造孽啊！俺姑姑家就是那个村儿的，全家老少三代十多口子呢，无影无踪喽！”说完，不无伤心地摇着头。耿正说： “对不起啊，勾起了大哥的伤心事！”年轻船工却说：“没事儿，黄河边儿上的人，这一类事情司空见惯了。你们要过河啊？这就进码头去吧， 下一趟渡船再过一刻钟就要起锚了呢！”说完，不等耿正言谢，就径自走了。看着年轻船工落落寡欢地走了，耿正“兄弟”三人尽管心情复杂， 但为了赶上很快就要起锚的这趟渡船，一点儿也不敢怠慢，赶快加快步伐进码头去了。顺利渡过黄河后，已经是吃午饭的时间了。抬头望去， 一出码头就有一个门面不大的饭店。耿正说：“咱们就去那个小饭店里吃点儿饭吧，顺便打听一下去那个已经消失了的‘滩头村’还有没有路 了；如果有，咱们就抓紧时间去祭奠一下。还有，顺便问一问那里的伙计，去稷山怎么走。”耿英和耿直都点点头。“兄弟”三人也不坐车， 很快就来到小饭店前。耿正把骡车停在门前，将大白骡的拴在旁边的拴马桩上，给它喂些草料。三人脱了孝服，照例将招魂幡拔了一起放回车 内，再用红色篷布将车棚蒙上系好。然后，耿正提起软皮箱，“兄弟”三人走进小饭店内。进得门来才发现，这个饭店虽然很小，但还比较干 净整洁，并且闻着饭菜味儿就让人很有食欲。一个伙计热情地上来招待。耿正先向他讨了半盆儿温热的清水让弟弟端了去饮大白骡，然后又点 了三大碗炝锅刀削面、一个炒豆芽、一盘熟肉，外加一盘炒鸡蛋。没有等多长时间，伙计就将饭菜全部上齐了。“兄弟”三人吃着，感觉饭菜 相当对口味。一会儿吃完了，耿正招呼伙计过来结算饭钱，顺便问他：“请问‘滩头村’现在还去得了吗？还有，从这里去稷山怎么走啊？” 伙计说：“‘滩头村’早没了，还去干啥啊？”耿正只说：“听说村口还有半截子椿树呢！”伙计说：“哦，是想去看那半截子椿树啊！去得 了，当然去得了啊！听口音，你们就不是外地人哩！要去稷山？真是奇怪啊，你们怎么找不着回家的路了？”耿正不便与这个热情而又有些多 嘴的伙计细说什么，只简单地告诉他：“俺们‘兄弟’三人有几年没有回来了，这里变化不小呢，连‘滩头村’也没了。”伙计这才说：“你 们回稷山去还是走原来的路哇！从这里往
D H
B
D H B
课堂练习
1、如图，将等腰直角三角形纸片沿
A
斜线BC上的高AD折成直二面角.
求证: BDCD,BAC的 定 义 可 知 , BDC
为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所
D
以 BDCD .
C
若设 AD a ,则 BD CD a ,即可求得: B