精选数学物理方法第四版梁昆淼期末总结讲义

一、留数定理：——P52
设函数 f(z)在回路 l 所围区域 B上除有限个孤
立奇点b1，b2，…，bn外解析，在闭区域 B 上除b1，
b2，…，bn外连续，则f(z)沿l正向积分 l f (z)dz 之值
等于f(z)在l所围区域内各奇点的留数和的2 i倍.
n
l
f
( z )dz
2 i
Re sf
j 1
1 cos 2 2
u v 1 sin sin
2 2
22
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u 1 cos 2 2
u sin 2 2
将上面第二式对 积分， 视作参数，有
u
u
d
R(
)
sin d R()
22
2
sin
2
d
R(
)
2 cos R()
2
其中 R() 为 的任意函数。 将上式两边对 求导，
0 arg z 2 ,
辐角：Argz arg z 2k (k 0,1,2,)
共轭复数: z x iy z* x iy
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2、复数的运算: 加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 ) (2)、乘法和除法
2kπ n
i sin
2kπ n
i 2k
n e n
( k 0, 1, 2, , n 1 )
复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式
或指数式往往比代数式来得方便。
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二、六种初等复变函数：
1. 幂函数 w z n
2 .指数函数 w e z
周期为2i，
3. 三角函数
cos z eiz eiz , 2
直角坐标系：
u x u
v y v
y x
2、解析函数性质：
u
极坐标系：
1
v
1
u
v
(1)、若 f (z) u(x, y) iv(x, y) 是解析函数，则u v 0 。
(2)、若函数 f (z) u iv 在区域 B上解析，则 u和v 必为B上的相互共轭调和函数。
(bj )
注意: 左边的积分是沿l 的正向进行的；
右边的奇点是指l 所围区域内的，并非是f(z)所有的奇点。
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二、计算留数 各孤立奇点留数的计算公式
奇点类型
Re sf (z0 )
可去奇点
m阶极点
一 普遍公式
阶 极
f (z) P(z) Q(z)
点 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0
Q(z0 ) 0
本性奇点
0
1 (m 1)!
lim
z z0
d m1 dz m1
1
2[(cos i sin)]2 C
2z C
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第二章 复变函数积分
一、复变函数积分的性质： ——P23
二、计算复变函数回路积分
1、单通区域柯西定理：P24 2、复通区域柯西定理：P25
3、重要公式应用（P28）
l
z
1
dz
0
2i
(l不包围 ) (l包围 )
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1
解:
R lim ak lim
a k
k
k 1
k! 1
(k 1)!
lim k 1 , k
收敛域: z
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二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展
成幂级数
间接展开法：根据解析函数泰勒级数和洛朗级数展开 的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展开式，通过变量变
换，结合级数的四则运算、逐项求导和积分、分解成最 简分式等方法去展开 。
（优选）数学物理方法第四版 梁昆淼期末总结
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第一章
一、复数
1、复数的定义
复变函数
z x iy ——代数式
z (cos i sin ) ——三角式
z ei ——指数式
*复数三种表示式之间的转换
实部：x Re z 虚部：y Im z
模： z x2 y 2
主辐角：
arg z arctg( y ) x
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三、有限远孤立奇点分类及其类型判定
奇点名称 0 z z0 R 的洛朗级数
可去奇点
不含负幂项
极限性质
lim f (z) 有限值
z z0
极点
含有限个负幂项
本性奇点 含无限个负幂项
lim f (z)
z z0
lim f (z)无定值
z z0
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几个名词的定义：孤立奇点，非孤立奇点，可去奇点， m阶极点，本性奇点
(2) 利用柯西公式
f (z) dz 2i f (n) ( )
l (z )n1
n!
来计算积分.
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sin( z)
例1.
4 dz, 其中c : (x 1)2 y2 1
c z2 1
sin( z)
4 dz
I c
z 1 z 1
sin z 2 i 4
z 1
z 1
2 i
2
y
o
1
2
x
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例2．下列积分不为零的是 ( C )。
1
A.
dz
z 0.5 z
C.
1 dz
z z 0.5
B.
1 dz
z 0.5 z2
1
D.
z
z2
dz 1
l
z
1
dz
0
2 i
(l不包围 ) (l包围 )
1 z2 1
1 2
(
z
1 1
z
1) 1
z
1 z2 1 dz
u 1 cos R() 2 2
1 cos 2 2
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u 1 cos R() 2 2
1 cos 2 2
R() 0 R() C
u 2 cos C
2
f (z)
2
cos
C
i
2 sin
2
2
2 (cos i sin ) C
2
2
1
2 (cos i sin)2 C
周期为2
sin z eiz eiz , 2i
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4、双曲函数
ez ez shz
2
5、根式函数
chz e z ez 2
z ei
i 2k
w n e n
k 0,1,2,(n 1)
周期为2i
6、对数函数
w ln z ln z iArgz
Argz arg z 2k k 0,1,
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3、构建解析函数：
给出一个二元调和函数作为解析函数的实部 或虚部，通过C—R条件求出该解析函数的虚部或 实部，从而写出这个解析函数。
① 算偏导
③ 求积分
② u或v 的全微分
④ 表成 f (z)
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例 3：已知解析函数 f (z的) 实部 u(x, y) x2 y2 xy, f (0) ，0 求 虚部和这个解析函数。
1
(1)k tk ,
t 1
1 t k0
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例4.
把f (z)
z
2
(
1 z
i)
在圆环1
zi
展成幂级数.
解： f (z) 1 1 1 1 d (1) z2 (z i) z i z2 z i dz z
1 z
i
1 (z
i)
z
1 i
1
1
i
zi
1
(1)k (
i
)k
z i k0
解：
u 2x y, u x 2 y
x
y
根据C-R条件，
v u 2 y x, v u 2x y
x y
y x
v
v x
dx
(
y)
(2
y
x)dx
(
y
)
2
xy
1 2
x
2
(
y)
第11页，共84页。
v
v x
dx
(
y
)
(2
y
x)dx
(
y
)
2
xy
பைடு நூலகம்
1 2
x
2
(
y)
v 2x ( y)
y
( y) y
1 2
(
1 dz z z 1
1 dz)
z z 1
1 (2 i 2 i)
2
0
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第三章 幂级数展开
一、收敛半径
ak (z z0 )k a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2
k 0
ak (z z0 )k
方法1：比值判别法
方法2 ：根值判别法 收敛圆： z z0 R
e 1 i(12 ) 2
两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。
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(3) 复数的乘方和开方
z n (ei )n
nein
( n为正整数的情况)
或 n (cos n i sin n )
棣莫弗公式： (cos i sin)n cos n i sin n
n
z
1
n
cos
z i
(i)3k (z i)k1
k 0
1
(1)k tk , t 1
1 t k0
f (z) 1
d [ (i)3k (z i)k1] 1
(i)3k (k 1)(z i)k2
z i dz k0
z i k0
3
(k 2)i3(k3) (z i)k , (1 z i ) k
( z )
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例3. 把f (z) arctgz在z0 0邻域展成泰勒级数.
解：
arctgz
1 1 z2
dz
1
1 z2
(1)k z2k ,
k 0
z
1
arctg (1)k z2k1 c k0 2k 1 arctg0 0 c 0
arctgz (1)k z 2k1, z 1 k0 2k 1
f (0) 0 C 0
f (z) z2 i 1 z2 2
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例4：已知解析函数 f (z)的虚部 v(x, y) x x 2 y 2 ，
求实部 u(x, y)和这个解析函数 f (z) 。
提示：当给定的 u 或 v 中含有因子x2+y2，这种情 况下采用极坐标处理比较方便，即令 2 x2 y 2 。
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例1：已知 z 2 3i ，则 zz 13
。
zz 2 x2 y2 13
例2：复数ez 的模为 ex ，辐角为 y 2k , k 0, 1, 2,
.
ez exiy exeiy
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三、解析函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 1、柯西-黎曼方程
4、柯西公式
l
f z
(z)
dz
2
if
(
)
高阶导数的柯西公式
f (z)
l (z )n1
dz
2 i
n!
f
(n) ( )
第18页，共84页。
当被积函数在积分区域内有奇点时的回路积
分，可利用柯西公式来计算,
(1)把被积函数写成 f (z) 的形式，f(z)在积
(z )n1
分区域上解析, 为积分区域内一点；
第25页，共84页。
常见函数的泰勒展开式:
1) ez zk k0 k !
2)
1
zk
1 z k0
3)
1
(1)k zk
1 z k0
( z ) ( z 1) ( z 1)
4) sin z (1)k
z 2k 1
k 0
(2k 1)!
( z )
5) cos z (1)k
z2k
k 0
(2k)!
解：
v cos 2
cos
(1 cos)
2sin 2
2
2 sin
2
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v 2 sin
2
v
2
sin
1
1 2
1 sin
22
2 2
v 2 cos 1 cos
22 2 2
u
1
v
1
u
v
u 1 v
1
cos
22
R lim ak a k
k 1
R lim 1 a k k
k
收敛域：z z0 R
第22页，共84页。
例1 求幂级数 k(z 的i)k 收敛圆. k 0
解
ak k
R lim ak a k
k 1
lim k 1
k k 1
收敛圆: z i 1
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例2 幂级数 ez zk 的收敛域。 k0 k !
( y) 1 y2 C 2
v 2xy 1 ( y2 x2 ) C 2
f (z) u iv x2 y2 xy i[2xy 1 ( y2 x2 )] iC 2
(x iy)2 i 1 (x iy)2 iC 2
z2 i 1 z2 iC 2
v 2 y x, x v 2x y y
极限判定法来判定可去奇点，极点，本性奇点。
f
(z)
z 2i z5 4z3
的极点为 :
______0_,_2__i _______ .
f
(z)
z
e1/ z 2
9
的极点为
:
___3_i_, __3_i_____; 本性奇点为 :
_______0__________ .
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第四章 留数定理
(2)、乘法和除法
z1 1(cos1 i sin 1) 1ei1
z2
2 (cos2
i sin2 )
ei2
2
z1z2 12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
ei(12 ) 12
• 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;
z1 z2
1 2
[cos(1
2
)
i
sin(1
2
)]
z1z2 (x1 iy1 )(x2 iy2 )
(x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 )
z1
z1
z
* 2
z2
z2
z
* 2
(x1 iy1 )(x2 iy2 ) x22 y22
x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
x22
y
2 2
x22
y
2 2
第3页，共84页。