湖北省名校联考2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题及答案

绝密＊启用前（新高考卷）
数学试卷
注意事项：
1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮拌于净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

I.设z=-2+-:-，则2在复平面内对应的点位千
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2 已知M,N均为R的子集，若存在x使得xEM，且江(RN'则
A.MnN-:;,0
B.M己N
C.N!;;;;M
D.M=N
3 已知向量a,b=(l,-1)满足a.Lb,(a-b).L(a+ 2b)，则回＝
A.石
B.✓2
C.2
4 记S,，为等差数列{a,，的前n项和，若S4=S5=20,则a尸
D.I
A.-10
B.-8
C.IO
D.8
冗
5 函数/(x)=sin(2x+－）在区间(0,5)有
6
A.I个极大值点和1个极小值点C.2个极大值点和1个极小值点
B.I个极大值点和2个极小值点D.2个极大值点和2个极小伯点
2 2
6 已知椭圆c土+?;-= l(a > b > 0)的左、右顶点分别为A l,A2'上顶点为B,左焦点为F,线段A1B的
汒b2
中点为D,直线A2D与y轴交于点E．若A1B与FE共线，则C的离心率为
I
A.一
7 在四边形ABCD中，
l
一
2
B2
一
3
c3一
4
D
AB=BC=2, AD=3,乙A＝乙CBD=90°,将丛BCD沿BD折起，使点C到达点
C的位置，且平面C'BD.L平面ABD若三棱锥C'-ABD的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A.17冗
B. 23冗
C. 25n
D. 29兀
P兀
8 已知a,/J, y E (0，乌，且a+—=－, sin 2 a =cosy+ 0.1, 2sin 4-= sin y,则
2. 2 2. 2
A.a</J<r
B./J<a<r
C.r<a</J
D./J<y<a
数学试题（新商考卷）第1页（共4页）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

F
9
基千小汽车的“
车均拥堵指数
“
TPJ = (I-�)x!O,其取值范围是[0,10]
，
值越大表明拥堵程度越强烈
v 化
在这个公式中，只为路段上统计时间间隔内车辆平均行驶速度，V 化为路段上自由流状态下车辆行驶速度，
且结合地图匹配算法可得到V=－c
汇
vi
，其中V i
表示浮动车巾＝l ,2,-··,n)的速度下列说法正确的是
A. n 的值越大，
1v;-Vrcl的值越小
B 若V 1< V 2 <. < v ,,，则去掉v 1后得到的TPI的值变小C若V I ＝冗，则去掉v )后得到的TPI的值不变D若V I <冗，则样本V 2,v 3,.·,V,，的方差小千样本v 1,V 加
，v n 的方差
10在正方体ABCD -A戊C 1趴中，E,F分别为AB,A 1队的中点取点B 1,C, E, F,若一条直线过其中两点，另一
条直线过另外两点
，
则
A.两条直线为异而直线是必然小件C.两条直线互相平行与互相垂直是对立邓件II 设a ,b为正数，且a -Sb -4ab = I ,则
B.两条直线互相垂直的概率为－
I
3
D.两条直线都与直线AC 1垂直是不可能亦件
A.a>I
l -4
＞ b B C. a � 2b
D. a +3 �49b 12.抛物线的光学性质是：位千抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的
对称轴平行或项合已知抛物线C:/=2p x (p >O)的焦点为F,过x轴上F右侧一点的直线交C千A,B 两点，C在A,B 处的切线交千点P,直线AP,BP交y 轴分别于点D,E,则A.乙AFB =2乙APB B.乙APB＋乙DFE=180° C.2P F I =
I AF I + I BF I IA F I _ I DF l
2
D —= --;-IB F I I
E F
「
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13 (x
－今）6
的展开式中的常数项为（用数字作答）
14已知f(x)是定义域为(-4,4)的奇函数．若以点(2,0)为圆心，半径为2的圆在x轴上方的部分恰好是y =f(x )图像的一部分，则f(x)的解析式为
数学试题（新商考卷）第2页（共4页）
15.如图，在多面体EF-ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，EFII AB, G 为
CD 的中点记四棱锥A-DEFG,F-ABCG 的体积分别为片，V 2'若EF:AB=3:4,则Vi:V 2=
A
二
c
16.设a>O,若函数f (x) = a 2ax + x －上有两个零点，则a 的取值范围是
2a
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分）
记6ABC 的内角A,B, C 的对边分别为a,b, c,已知bsi n A+
✓3acosB = J 切
(I)求A;
(2)
求
、
2b+c
的最大值．
18. C 12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E,F 分别
为AB,PD 上的点，且BE PF
—+—=1.
CD PD
(I)证明：AF II 平面PCE;
(2)若PDJ_平面ABCD,E 为AB 的中点，PD=AD=CD,LBAD =60°,求二面角P-CE-F 的正切侦．
19.(12分）
记M,，是各项均为正数的数列{a,,}的前，1项积，已知a 1=I, 2a,,M,, = M ,,+1 -M ,,.
(I)
求{a ,,｝的通项公式；
(2)证明：log石从::;;1z 2+n-2
数学试题（新商考卷）第3页（共4页）
20.(12分）
小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5
(I)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率：
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中X1次，第二组投篮2次，投中X2次，求E(X广X2):
(3)记P(i)表示小明投篮i(i= 2,3, )次，恰有2次投中的概率，记X(X=2,3,···,n)表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也
11+2
不再继续投），证明：E(X);:;::2区P(i)
i=2
21.(12分）
x2 v2
已知双曲线C:.;-�=l((I＞O,b>O)的右焦点为F(2,0)，过F且斜率为k(k出O)的丑线l交C干A,B两点，a2 b2
且当k＝丘时，A的横坐标为3
(I)求C的方程；
(2)设0为坐标原点，过A且平行千x轴的直线与直线O B交千点D,p为线段AD的中点，直线OP交l千点Q,证明IO P I ·I B QI =I P QI ·I BF卜
22.(12分）
X
已知a>()，曲线C1:y=al n x与C2:y =e；；没有公共点．
(I)求a的取他范围：
(2)设一条直线与C1,C2分别相切千点（口），（s,t)证明：
(i)i+t;,j+s;
i+s s j
(ii)0<—<－+－
e,t
数学试题（新商考卷）第4页（共4页）
绝密＊启用前（新窝考卷）
数学试卷参考答案
l 【答案】B
【解析】z =-2+.:=-2-i ,故乞＝－2+i,歹在复平面内对应的点为(-2,l)，在第二象限2.【答案】A
【解析】因为x 引压N,所以X E N'又因为X E M'所以x E M n N '故M n 肚03.【答案】C
【解析】由题设可知例＝J ；
2 , a·b=O,故（a -b) •(a +2b )=忆| 2
-2例＝0，叫＝2
4 【答案】D
【解析】由S 4= S 5 = 20,可知a 5=0,5a 3=S 5=20, a 3=4, 2a 3=a 1+a 5=a 1=8. 5 【答案】C
冗兀7亢【解析】极大值点为x =kn ＋一，其中k e Z ,则x ＝一，—-满足：极小值点为x =kn 十—-，
27t
6 6 6 3
2冗
其中keZ ，则x＝—满足，故在区间(0,5)有2个极大值点和1个极小值点．
3 6.【答案】A
【解析】方法11因为A 1B与FE共线，故A 1B II FE 过D作x轴的垂线，垂足为H,设0为坐标原点，因为D为线段A 1B 的中点，故H为线段0A 1的中点，且
I A 团队E I_IOA ,2| 2 a+c 2 c l —=—=—=－，设c 为C 的半焦距，则—-－=－，所以C 的离心率e=－=－．
IA 1A 2I IA 少1|H A 2|3
2a 3 (，3 a b b b
方法2：设A 1(-a,O),A 2(a,O), B(O,b)，则D(－一，一），直线A 2D的方程为：y=-�x+7,
2 2
3a 3 b
—b ——
—
故E(0,-)．设c为C的半焦距，则FE=(c ，一），A 1B = (a,b)，若A 1B与FE共线，则
3 3 ab c cb-—=O,所以C的离心率e=.:::.=..:..
I 3 · a 3 7.【答案】A
【解析】如图，设BD,C'D的中点分别为o.,02,则op 2II C'B,C'
因为平面C'BD..L 平面A BD ,且C'B..LBD ，所以C'B..L平面ABD,故0102..l平面ABD,由几何关系可知02C'=02A = 02B = 02D,故02为三棱锥C'-ABD 的外按球球心，易知
I
~·
I 。

1
02=-C'B=-CB=1
2 2。

1
B = 7BD =
I JAB 2+AD 2而=—，所以球半径2 2 2
R=O戎＝Jo 10户0I B 2
而＝了
一，故球的表面积为4亢R 2= 17亢8.【答案】D
【解析】方法I:因为a,
fJ, r (0 亢
fJ 亢
冗
fJ 'y e ，一），由
a+－＝ －可知a>一：由2sin-!_:-=sin y 2'
2 2. 4 2 p
l . /J 亢
可知sin{]=sinycos 一<siny,所以/J<y;一siny=sin 7= sin(-:--a) =cosa,
2 2 2 2 . 2
2
sm r l-cos 2
y
,则sin'a=l-�=l-�=cos y+O.l,所以(cosy-2)"=1.4,
4
4 5
所以cosy=2-
✓IA
>0.8>�, r ＜王＜a ，所以/J<y<a 2 4
/J 冗/J 方法21因为a +—=-,2sin —=sin r ，所以
2cosa =sinr 因为sin 2a= cosy+O .I, 2 2 2 所以
• 2
sm
r l 1-cos r l lO －忘+cosy+—
=l'即＋cosy+—
-=l ，解得cos r = �,
4
.
10 4.
10. 5
smr J20尽－llO P
cos a =－一＝．将2sin —=sin r 两边平方后，可化简得：
2 10 2 16-2忘l3
cos/J ＝1-2cos 2 a= ，所以cos
fJ > cos r , co 矗－co 幻＝＄3－—<0,即5
2
cos a< cosy . 9.【答案】BC
亢
由千a ,/J ，y E (0，一），所以JJ<y<a
2 【解析】
E 的值与n 的大小没有必然联系，无法确定们－V
「c 1值的变化，故A 错误，若
V 1 < V 2 <.. · < V,,，则去掉V I 后
E 的值变大，因此TPI 的值变小，故B 正确；若当V
1
＝冗，
则去掉V 1后得到的TPI 的值不变，故C 正确，若V 1＜冗，无法判断样本v 2,v 3,..,, V,，的方差与样本v 1,v 扣
，v ，，的方差之间的大小关系，故D 错误
JO.【答案】ABD
【解析】因为点B l
'C,E'F 不共面，所以两条直线为异面直线，故A 正确；过四点的两条也线共有3种情况，其中仅当一条直线过B 1,F,另一
条直线过C,E 时，这两条直
线相互垂归，故相互垂且的概率为－，故B正确；两条且线互相平行的概率为0,而两条直
3
线互相垂直的概率小千I,故两条直线互相平行与互相垂直不是对立事件，C 错误：B I C,
B I E,B I F 中，只有B I
C 与AC 1垂直，且当B C 1时，EF 与AC 1不垂直，故
D 正确II.【答案】ACD
【解析】由题设可知b (5+ 4a) = a -I ,且a(l-4b)
=I + S b,因为a,b 为正数，所以5b
a -I > 0, I -4
b > 0,即a>l,O<b ＜一，故A 正确
，
B 错误：由题设可知l-—=4b+－
4
a a
气勹略则
5
（卢略－区O,
故0＜护；所以:甘即卢25b -+5
9
故C 正确：由题设可知a=——-＞O ,其中－－4>0,故－＋a =(�-4)＋——-＋5�
b b b l -－
4
.:._4 b b
2 /(�-4) 9 ·—+5=1 L 即I+ab 习lb,
由题设可知ab=a-5b-l a
-5b -l 了 1 ，所以l+> .:._
4
4 4 lib,即a+3� 49b,故D 正确12.【答案】ABD
【解析】设直线FA,FB 在C 上的反射线分别为AM,BN,则AM II BN II x 轴设G,
H 分别为线段PA,PB 延长线上的点，结合光的反射定律可知乙PAF ＝乙GAM=a,
乙PBF ＝乙HBN=fJ,由几何关系可知LAPB=a+(J
,设AB 交x 轴干M,则乙AFB ＝乙AFM ＋乙BFM= 2a +2/J,所以乙AFB =2乙APB,故A 正确：
设A(x 1,片），其中Y,>
0, C 在A 处的切线的斜率为K l =｛三：，故C 在A 处的切线方程2x 1
为y ＝巨入三）＋尽，令X = 0,则y=岳，即D(O ，拓气，故直线DF 的
互22
2x
1
斜率为k 2=-�，所以K l 伤＝－l ，故AD.lDF ,同理可知BE.lEF ．因为四边形p
PDFE 的内角和为360°'所以LAPB
+ LDFE = 180°,故B 正确设B(x 2,Y i )，其中Y 2< 0，同上可知C 在B 处的切线方程为y=-Ri(x -x 1)-.j 五百，
尽－尽2求得P(－＄言，
p （x 1十入3)+f!_，
且由抛物线的几何
)，所以IPFl
2=x心＋2
2
4
性质可知jAF I=入,+f ,IBFl=xz十争，所以IPFl 2
=IAFl·I BFI , 2IPFl=2J
石可忨可
引AF l +I BF|，当且仅当I AFl=IBF I时等号成，故C错误：
2IDF|2
2|EF|2
设0为坐标
原点，易知6AFD vo心DFO ，则jAFI=－－—，同理IBF|=－－－-，所以p p 2
I AFI _ID FI
酮＝百＇故D正确
13 【答案】135
【解析】常数项为C 扣(-3)2= 135. 14【答案】f(x )＝
{5
言，x E [0,4)，
一二，XE (-4,Q).
【解析】以点(2,0)为圆心，半径为2的圆在x 轴上方的部分的方程为y =✓-二了二百
(O<x<)，因为f(.x)是奇函数，则/(0)=0,且当XE (-,0)时，y=-✓二了二百，所
二，XE[0,4),
以f(x )的解析式为f(x)
＝{一二，XE(-4，0).
5 15.【答案】5:6（或写成－）
【解析】如图，连接AC,因为G 为CD 的中点，且EF:AB=3:4,则四边形DEFG与D.CFG的面积比为5: 2,所以V i :v A -cFo =5:2,又易知t::.ACG与丛ABC
A
／勹
的面积比为I :2,所以V A -CFG : V F -ABC = V F -ACG : V 尸ABC = ] : 2 = 2 : 4,所以v,: V 2 = v,: (V A -CFG +V F -ABC)= 5: (2 +4) = 5 :6.
16 【答案】(0,e 2)U(e 气1)（或写成（0，一－）U（一·,
)）五五
【解析】方法1:由f(x )= a 如 1 +x-—得f'(x )= (2a In a)a 2"'+ I ,
2a
f"(x) = (2a In矿a 2"'>0 (a > 0), f'(x )是单调递增函数根据题意f'(x)=0有解，所以
O<a<l.由f'(x。

)＝0得x。

=
ln(-2alna)
．当x<x。

时，
f'(x )<
0, f(x)单调递减；-2alna
当X>X 0时，f'(x)> 0, f(x )单调递增，故．（（x )m,n =.f (x 。

)＝I + In
a + In(-2a In a )一2alna
设g(a )=I+ Ina+ ln(-2alna)(O <a< 1)，则g'(a )飞咕＋2).由g'(a。

)＝0得a。

=
e i"，当x<e 了时，
g'(a)> 0, g(a)单调递增；当x>e 了时，g'(a)< 0, g (a )单调递减所
-.!.
以g(a)
叩X
= g(e 2) = 0 再结合当x➔-oo时，f(x)➔位），当x➔心时，f(x)➔+oo 知
a的取值范围为(0
I
I
, e 2)U(e气I)I n 一a x ....!.l l lna 2 ln x l -方法2:令f(x)= a 2ax
+ x-—=O ,则—丘＝，设g(x)＝－户则g'(x)= �,2lnx 2a -.,.. 1r
a 2ax 一I .--o ,--, X 2.,.. o,.., X ＂
当Q < X < e 2时，g'(x)> 0, g(x)单调递增，当x>e 2时，g'(x)< 0, g(x)单调递减，又因为当x>I时，g(x)>O ，且当x 今＋oo时
，
g(x)➔o
，
所以若f(x)有两个零点，只需满足
I . I I I I - 1 -1 ＜一＜e 2或－＞e 2,所以a 的取值范围是(0,e 2)U(e气I).
a
a 17.(JO分）
【解析】(I)方法1I 由bsinA+✓3a cosB= ✓3c 及正弦定理可得：
sin B sin A + ✓3 s in A c os B = ✓3 s in C = ✓3 s in(A + B ),所以sin B sin A + ✓3 sin A c os B = ✓3 sin A cos B + ✓3 cos A s in B,
故sin Bsin A= ✓3 cos A s in B,
因为sinB > 0,故sin A=✓J
cosA>O,
所以tanA=石，所以A=.:.::...
亢
3
方法2:由bsinA＋五acosB = ✓3c 及余弦定理可得：
bsinA+
✓3a (a 2王－b 2)2a c
＝拉，
寂b 2
+c 2-a 2)所以sinA = �
=
✓3 c os A > 0,
2bc
所以tanA =
✓3,
······2分
······3分
······4分······5分
······2分
······4分
所以A = －.
冗
3
(2)由正弦定理可知
2b+c 2sinB+sinC
a
sinA 2b+c 讨5
加2五5
石即一
一一＝二一[2si n B+si n (—-B)］＝一一（一si n B+－一cosB)a
3
3
3 2
2
2、历si
n (B+(fJ ），
其中tan(fJ ＝一－－，
｀月7t 3
5 佪＜）
2
冗
2b+c
2妇
故当B+(fJ ＝一时，——－的最大值为一—-2 a 3
······5分
······7分
...... 9分
······10分
18.(12分）
【解析】(I )如图，在CD 上取一点G,使得CG =AE,连接AG,FG.因为BE PF
—+—=l
CD PD
且ABCD 是平行四边形，
PF _ BE CG
所以一一＝1-－－＝一一，故FGII PC.
PD
CD
CD
又因为PCc:平面PCE,FG 立平面PCE ,所以FGII 平面PCE.
……2分
...... 1分
因为ABCD 是平行四边形，且CG=AE,所以AECG 是平行四边形，故AG/I EC. ……3分
又因为ECc 平面PCE,AG 立平面PCE,所以AG/／平面PCE.
因为AGnFG=G,且AGc 平面AFG,FGc 平面AFG,所以平面AFG/／平面PCE.A
/
/
／ y
x
······4分······5分
因为AFc 平面AFG,所以AFII 平面PCE .
······6分
(2)方法1:当E 为AB 中点，PD=AD=CD ,LBAD=60°时，易知D E.LCD,F 为PD
中点，又因为PD.L 平面ABCD,则以D 为坐标原点，DE 为x 轴，D C 为y 轴，DP 为z 轴建立坐标系，设PD=AD=CD=2,则C(0,2,0),£(✓3
,0,0), F(0,0,1), P(0,0,2), ···7分
所以百＝（五－2,0)，百＝（✓3,0，一l)'死＝（✓
3
,0,-2)
设平面FCE 与平面PCE 的法向益分别为m =(X i ,Y 1,z 1)'"=(x 2,Y 2,z 2)，则
｛岛－2yI
=0
,
｛觅－2y 2
=0
,
石入'l -z l =0
＄凸
－2z 2
=0 ······8分
不妨取x产.J3• 2 =.J3 3 3，则,,,=(✓3，一，3),
II = 3 3
, X 2 = 2
（五－，一）
，
2'2
······10分111·11
13 所以cos <111,11>＝——=－—-111111111諒
＇
故二面角P-CE-F的正弦如
�f勹
三』互，
正切值为可鄂二』互
190邓
13-13.
方法2：过D作DM..l EC,垂足为M,分别连接PM,FM, E D.
因为PD..l平面ABCD,所以PD..l EC .
ECc平面ABCD,······7分
因为PD,DM是平面PDM内两相交直线，······11分
······12分
所以EC..l平面PDM.
因为PMc平面PDM, C
8分
，
L;』:
A
E
FMc平面PDM,所以EC..l PM,EC..l FM,即L.PMF就是
二面角P-CE-F的平面角．设乙PMF =a,乙PMD=乙l,乙Fl\1D ＝乙2.……9分
因为E 为AB 的中点，所以F 是PD中点．
BE PF
—+—=l ，
底面ABCD是平行四边形，
CD PD
设PD=AD=CD=2,
因为L BAD =60°
,易知D E .l CD,且ED =✓3,
所以EC=fci;;ii}＝石．ED
✓2i
所以si n 乙E CD =－－＝一一
，
EC
7 所以DM= 2si n L EC D=—一．
打
P D 打FD 石所以t an乙1=——=—-,tan 乙2=——=——
DM $DM 25 所以tana= tan（乙l－乙2)=
tan乙I-tan乙2
石
=-,
l+tan乙l·tan乙2
13 妇
即二面角P-CE-F的正切值为——-．
13
······10分
..,..,JI分
······12分
19.(12分）
【解析】（I )因为数列{a ,，}的各项均为正数，故M n >O,由2a.M ,,= M n +I -1\,f 可得，M
“2a,, ＝—二－I,即2a ,,= a n+I -I
……2分M “
所以有2(a ,,+I )=
a .. 1 + I ,故｛a,.+I}是公比为2,酋项为a 1+1=2的等比数列，……4分
所以a ,.+l =(a 1+I)x2n 一
I
,a,. =2" -1.
(6)
分(2)方法1：由（I)可知，M.=(2-1)(22
-I)…（2" -I)
(7)
分
I < －x 2l x 22 x · ·
·x 2'I ……9分2 2 ”“I l =22 2.
······10分2 ”“ I l
所以log M 2 2
n n 石，,�log 石2
=（—-－
－……12分2 2
+ I)log 石2=n 2+n -2. 方法2:由（I)可知，log ..fi M,,＝区log ..fi （2;-1)
……7分i=I
＝L log 石(2;-1)
i=2
······8分
＜汇log芷＝2区i=2
”(2+n )（n-l)
勹
= n " +n-2. 心
i=2
2
当n=l 时，l og .Ji 从＝n 2+n-2,所以log 扛M,'幻n 2+n-220.(12分）
······JO 分
······11分······12分
【解析】（I )设事件A ,表示共有n (n = 0,1,2,3,4)次投中，事件B 表示第二次没投中，……1分则P(B 队）＝
P (B A 2)
P(A 2)
l l l -xC扣一X-= 2 22 2 =」
c 2 J J 2 X 一
X 一2
2.. 22(2)方法1,根据题意有X 1= 0,1,2,3, X 2 = 0,1,2, X 广凡＝－2，一1,0,1,2,3,I I
则P(X 广戊＝－2)=P(X 1=0)P(X 2 =2)=:;r x �=�
l 2 2 32
······2分······3分
P(X 1一凡＝－I )=P(X 1 = O )P(X 2 =I)+ P(X 1 =
l )P(X 2 = 2) 5
32
P<_X 1-X 2 =O)=P(凡＝O)P(从＝O )+P(凡＝l)P(斗＝l)+P凶＝2）P(兑＝2）＝—
5
16 P(从－丛＝I)=
P (X 1 = l )P(X 2 = 0) + P (X 1 = 2}P(斗＝I)+P(X 1=3)P(X 2 =2)＝— 5
16
P(X 1－丛＝2)=P(X 1=2)P(X 2 =0)+P(X 1 =3)P(X 2 =l)＝—
5
32
1 I
P(X 1－丛＝3)= P(X 1 = 3)P(X 2 = 0)＝寸x 亏＝—
l 2 2 32
l 5 5 5 5 l l
所以E(X 1-X 2)
= (-2)x 一＋（－J )x 一＋O x 一＋I x 一＋2x 一＋3x 一＝－．32''32 16 16 32 32 2
l
l
方法2：因为X l ~B(3，一），X 2~B(2，一），2
2
1 3 l
所以E(X 1)＝3x -=－,E (X 2)＝2x -. 2 2 2
又因为X 1,X 2互相独立，
所以E(X,-X 2)=E(X 1)-E(X 2)=-:­
I 2
(3)根据题意可知P(i)=C奴I i(i -I) '2'2'十
I .
k-1 P(X =k)＝一一，k=2,3,··,n-1,2
k ······5分······7分······4分······5分
······7分······8分······9分I 2 11 -2. n -1.. I 2 n -I P(X =n)=l-（亏＋－＋4—)=—+l-(—+—+· +—, 22'2''2'／l
2”22 2 2” ） 记S l 2 n-I l l l l l n n+1 '，=+i,+�+...+—，则S,,= 2(S,, -::;-S,,)＝—+—+...+—-＋—-—= 1-—一2 23 2”2”21 22 2忙
I,2" 2". 2"
n -1 n+I n 故P (X =n )＝——+——
=—.2". 2" 2
"一1所以E (X )＝:�p(X =k)+nP (X = n ) =2f 坐寻丛n (n I :l )2
2 k=2 i=2 n(n+ 1)
叫2n 2n 又因为
2 ＝一一，且当n ;;:::2时，一一习，
2P(n +2) 11+2
n+2 n +1 i (i -l) n(n + l ) n+1
,1+2 所以E (X)=2I �+江LP(i)+ 2P(n
+ 2) = 2 LP(i) i =2
2让I • 211+1 i=2 i=2 21.(12分）
9 2
将A 代入C的方程有，下－7＝l@,
a
b
分分O l ． ······12分
【解析】(I )当k ＝丘时，l:y =.J2(x-2)，把x =3代入得y =［;，即A(J ,.J历，···I 分
······2分
且由双曲线的几何性质可知a 2+b 2=4®,X
2
由＠，＠得，a 2
=3, b
2
=I,故C 的方程为一--
y 2 = l
3
(2)设A(x 1,Y 1),B (x 2,Yi)，且/: y = k (x
-2), I与C的方程联立有：12k ' 12k 2 +3 (1-3k 2)x 2 + 12k 坛－12k 2-3=0,则x 1+x产，平产，＠3k 2-l
, -n -3k 2-l ······3分
······4分
······6分4k k
2
所以Y 1+ Y i = k (x, + x 2)-4k =－——, Y必＝炉［x凸－2(x 1+x i )+4]=-�. ®3k 2
-l 3炉－l
直线OB 的方程为y＝业X ,故D （上丘，y l ),P (Y 凸＋
M,Y 1)
y 2
2y 2 x, ······7分
······8分
OP
的方程为y =2片Y2
x ，与l方程联立有：x =2k (y凸＋y凸）2[x 凸－（X i +X 2)]Y 1-ti +YiAi
k (y 凸＋y 凸）－2y l y 2x 1 ＋X 2 -4
3 3 k 将CD 代入得x =－，即Q （一，一一）……9分
2 2 2
I O P I _ Y 1 I BF I _ -y 2 方法1：所以＝ ——
=······10分
|PQ| k , |B Q | k
.
y 1 +－
2 y 2
+－ 2
要证IO Pl ·8QI =|叨|BF ，只需证y l = -y 2
y 1 ＋色k
，即证4Y 1Y 2=-k(y l + Y 2)'® 2 y 2+－
2 由＠知＠成立，所以1。

叶IBQI = IPQI. IB F I
······ 12分
方法21由题设可知A ,B
, F , Q四点共线，3
3 7 42k 2 24k 2+6 l坎2_6且(x 1-�)(2飞）－（x l -2)（x 2--）＝－（x 1飞）－2x 凸－6＝－ － =0,2
2 2 3K
3 -l 3k 2 -l 3k 2 -I 3
I AQ ·I B FI _ (x , -t )(2-x 2) 故＝ 2 同·|B Q| 3 =l ，
即四匕腔l
IAFI IBFI
(I)
(x 1 -2)(x 2 -·:) 2 由OF /I AP 可知，E 釭µg ，
故忙g ＝巳g =包g IOPI IAFI , � IOP
IAFI IBFI
'I OP ·I BQ =I P Q ·I BF I …
…12分
22.(12分）
三a I ：：
【解析】（I )设/(x)=alnx -e ",则f ＇（x)＝－－－e °
X a
······I 分
曲线C ，与C
2没有公共点等价千f(x)没有零点当a�c时，／（l ）＝－妒＜0，且／（a)=alna -c�O ,f(x)存在零点，不合题意；
…···2分
2
a a l —,
a 2 3-e 3 当O<a<e时，0<一<a,f'(x)＝--－它在(0，伈))单洞递减，且J （一）
＝一—-＞O ,3
x a 3 a a 2 a l 立f'(a)=l -.:<0，则存在唯一
x 0E(—,a)，使得f '(x 。

)＝0'即—－-e -;;=0,a 3均a
兰
a 2
进
一
步可知，e
＂
＝—,lnx0 =2lna -立.
……3分
X 。

a
当O<x<x。

时，f'(x)> 0, f(x)单调递增，当x>x。

时，f'(x)<O,f(x)单调递减，
X。

a-G
2
故f(x)� f(x。

)＝a(21n a -—)
－—-=2a l na-(x。

+—-）＜2a(ln a -I)< 0,符合题意
综上，a 的取值范围是(0
,e )a
X。

入户。

(2)(i)记题设的直线为I,由题意可知l 与x 轴不垂启．
j-t
假设i+t =j+s ，则l 的斜率k ＝一一＝I.
i -s
由y =alnx 得y '=:!..,:!_=I ,即i=a,J=alna
X
三I'!.I !.
由y=e"得y '＝－e a ,－e a = l ，即s = a I n a , t = a.
a a 所以K=上二＝alna-a =－
l ，矛盾．
i-s a-alna 综上，i+tctj+s.
······4分
...... 5分
...... 6分
······7分
土e ”“ s -句）由K=—=－及(1-.:'...)e"= a (ln i-1)，可得a-s=i(ln,一l)若i=e,则a-s=i(lni-1) =0,
a
a a =s, 2
且由竺．＝己可得竺＝巴，故a=e,这与O<a<e矛盾，故i*e.
a , a e
易知，,＞0,t>O,当O<i<e 时，s-a=i(l-lni)>O,故．f>a>O,i+s>O. 2 I - a a a a
当i>e时
，
由K=－e °=-，得s=aln —-＝a(2ln .'.:..+ l ni) > a (2 I n .'.:..+ I ),
a l
a ....2a . a a
所以i + s > i + a(2 l n !: + I)＝/.（—ln-＋－＋l)，其中0<!:<l
I
I
l
I
I
诊t g(x) = 2xlnx+
x + 1(0 < x < I )，贝I]g'(x) = 2lnx+3 立立
······8分
当O<x<e 2时，g'(x)< 0, g(x)单调递减，当e 2<x<I时，g'(x)>
0, g(x)单调递增，3 所以g(x)� g(e 2)=1-2e 2 >l-2e 一l
>0，此时也有i + s > (l -2e 2)i > 0
由a-s= i (lni-1)可得i+s =a+/.(2-lni)，设h(x)=x(2-ln x)，则h'(x)=l-ln x,
当O<x<e时
，
h'(x)> 0, h(x)单调递增，当x>e时
，
h'(x)< 0, h(x)单调递减，
······9分
所以当X'Fe时，h(x)<h(e)=e,故i+s < a +e< 2e ，
兰2
＜
2
e
······10分
另有
王
s.j ai ln i+sc•
一十一＝
I t ·'
ie°
＿土as
设ailni+ s e" -2矿＝a(i l ni+=-2a)，将s= a-i(lni-1)代入
I
-－．a. （l
有ailni+se• -2如＝a(a-i)(�-ln i)，当O<i<c,由上可知i<a<e，有a(a-i)(�-lni) > 0,
当i>e,
a
由上可知a<e<i,也有a(a-i)(:::.-lni)>O,
l
综上，
i+s s..I
0<—<2<.:.+.:....
e l f
故斗j_> 2.
i t
······12分。