数学沪科七年级上册2.1 代数式

《2.1 代数式》 在小学我们已经学习了用字母表示数，并用含有字母的式子反映简单的数量关系.通过对实际问题的解决，进一步理解用字母表示数的意义.本节课的教学内容是使学生了解代数式的含义，理解整式、单项式、多项式的概念，从而能够进一步体会代数式的表示作用.通过对代数式的值的认识，学会求代数式的值，能让学生把符号语言转化为文字语言，为后面列方程、列不等式解应用题、列函数表达式等内容奠定基础.
【知识与能力目标】
1. 经历用字母表示规律的过程，体会字母表示数的意义；
2. 经历代数式概念的产生过程，了解代数式的概念并学会书写法则，能用代数式表示简单的数量关系；
3. 理解单项式及单项式系数、次数的概念；
4. 掌握多项式的项及其次数、常数项的概念；
5.会求代数式的值，会利用代数式求值推断代数式所反映的规律.
【过程与方法目标】
1. 理解用字母表示规律的导出过程，培养学生观察、比较、归纳的能力；
◆ 教材分析
◆ 教学目标
2. 经历运用代数式表示和解释简单实际问题中的数量关系的过程，体会代数式的实际意义；
3. 通过学习求代数式的值，使学生认识数与形的联系，进一步渗透数形结合思想.
【情感态度价值观目标】
使学生体验用所学的知识解决实际生活中问题的乐趣，感受数学在生活中的价值，增强应用意识，培养学生初步的应用能力，激发学习数学的兴趣.
◆教学重难点
【教学重点】
1. 理解用字母表示数的意义，掌握用字母表示规律的方法；
2. 理解代数式的概念和列代数式；
3. 掌握单项式及单项式的系数、次数的概念；
4. 掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念；
5. 会求代数式的值.
【教学难点】
1. 根据现实问题中的数量关系正确列出代数式；
2. 能区别单项式的系数和次数；
3. 理解多项式的次数的概念；
4. 利用代数式求值推断代数式所反映的规律..
◆课前准备
多媒体课件.
◆教学过程
一、情境引入
问题①：“神州七号”载人飞船.它在椭圆形轨道上环绕地球飞过45周，历时68h.试求：
(1)该飞船绕地球飞行一周需________min(精确到1min)；
(2)该飞船绕地球飞行n周约需________min.
问题②：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数.
设k表示任意一个整数，用含有k的式子表示：
(1)任意一个偶数：________；
(2)任意一个奇数：________.
【设计意图】通过对实际问题的解决，进一步理解用字母表示数的意义，为进一步探究用字母表示规律做铺垫.
二、探究新知
1. 用字母表示数.
问题：上面的问题中，既有已知数，又有用字母表示的未知数，
字母表示数有什么意义？用含有字母的式子表示数量关系有什么意义？
用字母表示数，可以把一些数量关系更简明地表示出来，把具体的数换成抽象的字母，使得式子反应的规律具有普遍意义，从而为叙述和研究问题带来方便.
用字母表示运算律：
【设计意图】经历用字母表示规律的过程，使学生进一步理解用字母表示数的意义.
2. 代数式.
像这样用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，就叫做代数式.
问题：单个的数或字母是代数式吗？
单个的数或字母也是代数式.
问题：代数式中乘号怎样写？能否省略？数与字母相乘，数字写在前面还是后面？
在代数式中，如果出现乘号，可写成“∙”或不写.数字与字母相乘时，为省略乘号，数字写在字母前，如91×n写成91n. 字母与字母相乘时，相同字母写成幂的形式，如a∙a写成a2. 数字与数字相乘时，“×”号不能省.
问题：除法通常怎样写？
.
如果式中出现除法，一般写成分数形式，如s÷v写成s
v 例1 设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：
(1)甲数的3倍与乙数的一半的差；
(2)甲、乙两数和的平方.
b. (2)(a+b)2.
解：(1)3a−1
2
例2 用代数式表示：
(1)把a本书分给若干名学生，若每人5本，尚余3本，求学生数；
(2)2019年6月30日京沪高铁客运专线正式开通，从北京到上海，
高铁列车比动车组列车运行的时间缩短了约3h，假设从北京到上海列车运行全程为s km,动车组列车的平均速度为v km/h，求高铁
列车运行全程所需的时间.
解：(1)从a本书中去掉3本后，按每人5本正好分完，故学生数
为a−3
5
.
(2)因为动车组列车运行全程需要s
v
h，所以，高铁列车运行全程需
要(s
v
−3)h.
问题：4a，a2，1
3
πr2ℎ，−y，这些式子有什么特点？
这些式子都是数与字母的积.
由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一
个字母也是单项式.如4a，a2，1
3
πr2ℎ，−y，a，7等都是单项式.
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.如4a，a2，1
3
πr2ℎ，
−y，a，7的系数分别是4，1，1
3
，－1，1，7.
一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数.如
4a，a2，1
3
πr2ℎ，−y，a，7的次数分别是1，2，3，1，1，0.
例3 写出下列单项式的系数和次数：
−15a2b，xy，2
3a2b2，−a，1
2
aℎ.
解：−15a2b的系数是－15，次数是3；xy的系数是1，次数是2；
2 3a2b2的系数是2
3
，次数是4；
−a的系数是－1，次数是1；
1 2aℎ的系数是1
2
，次数是2.
问题：a+b，2k−1，x2+2x−3，这些式子有什么特点？它们与单项式有什么联系？
这些式子都是由单项式的和组成的.
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”
之后会“活用”。

不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。

日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。

几个单项式的和叫做多项式.如：a+b，2k−1，2+ 2x−3等都是多项式.
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，多项式的每一项都包括它前面的符号.其中不含字母的项，叫做常数项.如3x2+2x−3的项是：3x2、2x、−3，其中常数项是−3，而不是3.
一个多项式含有几项，这个多项式就叫做几项式.一个多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.如3x2+2x−3是二次三项式.
单项式与多项式统称为整式.即单项式、多项式都是整式.例4 下列多项式分别是几次几项式？
2 3x−1
2
y，4a2−ab+b2，x2y2−1
3
xy−1.
解：2
3x−1
2
y是一次二项式；
4a2−ab+b2是二次三项式；
x2y2−1
3
xy−1是四次三项式.
【设计意图】通过具体的实例，使学生理解并掌握单项式的系数、次
数，多项式的项、项数、次数等概念，从而能够判定单项式与多项式.
3. 代数式的值.
一项调查研究显示：一个10~50岁的人，每天所需的睡眠时间t h
与他的年龄n岁之间的关系为t=110−n
10
.
例如，30岁的人每天所需的睡眠时间为：t=110−30
10
=8(h).
问题：算一算，你每天需要多少睡眠时间？
像这样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.
例5 当x=−3，y=2时，
(1)2−y2；(2)(x−y)2.
解：当x=−3，y=2时，
(1)x2−2
=(−3)2−22
=9−4
=5.
(2)(x−y)2
=(−3−2)2
=(−5)2
=25.
【设计意图】由实际问题引出代数式的概念，使学生会求代数式的值.
三、巩固练习
1. 下列代数式：2x，a+b，－10，3x−1
2，2
R
，x2−3x+4，6−1
x
，
3
2
ab，其中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训
导”。

于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

2. 某堤坝的横截面是梯形，测得梯形上底a ＝18m，下底b＝36m，高ℎ＝20m，求这个横截面的面积.
四、课堂总结
问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？
1. 代数式的定义：
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。

其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。

可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。

看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。

称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。

像这样用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，就叫做代数式.单个的数或字母也是代数式.
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。

“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。

唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。

至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。

至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。

2. 代数式的书写规范：
(1)在代数式中，如果出现乘号，可写成“∙”或不写.数字与字母相乘时，为省略乘号，数字写在字母前. 字母与字母相乘时，相同字母写成幂的形式. 数字与数字相乘时，“×”号不能省.
(2)如果式中出现除法，一般写成分数形式.
3. 单项式的定义：
由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数.
4. 多项式的定义：
几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，多项式的每一项都包括它前面的符号.其中不含字母的项，叫做常数项.
一个多项式含有几项，这个多项式就叫做几项式.一个多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
5. 整式的定义：
单项式与多项式统称为整式.即单项式、多项式都是整式.
6. 代数式的值的定义：
像这样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.
◆教学反思
略.。