2020届吉林省吉林市高三第三次调研测试(4月)数学(理)试题
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A． B． C． D．
4．已知 为两条不重合直线， 为两个不重合平面，下列条件中， 的充分条件是（）
A． ∥ B． ∥
C． ∥ ∥ D．
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B．
C． D．
6．函数 的对称轴不可能为（）
A． B． C． D．
7．已知 为定义在 上的奇函数，且满足 当 时， ，则 （）
【详解】
由 ，得 ，
所以， .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.
3．A
【分析】
投影即为 ，利用数量积运算即可得到结论.
【详解】
设向量 与向量 的夹角为 ，
由题意，得 ， ，
所以，向量 在向量 方向上的投影为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.
19．如图所示，在四棱锥 中， ∥ ， ，点 分别为 的中点.
（1）证明： ∥面 ；
（2）若 ，且 ，面 面 ，求二面角 的余弦值.
20．已知倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点 ，与抛物线 相交于 、 两点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设 为抛物线 上任意一点（异于顶点），过 做倾斜角互补的两条直线 、 ，交抛物线 于另两点 、 ，记抛物线 在点 的切线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，求证： 与 互补.
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
4
19
线上学习时间不足5小时
合计
45
（1）请完成上面 列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是 ，求 的分布列（概率用组合数算式表示）；
23．已知 均为正实数，函数 的最小值为 .证明：
（1） ；
（2） .
参考答案
1．B
【分析】
求出集合 ，利用集合的基本运算即可得到结论.
【详解】
由 ，得 ，则集合 ，
所以， .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合 是解决本题的关键，属于基础题.
2．B
【分析】
利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.
21．已知函数
（1）若 ，试讨论 的单调性；
（2）若 ，实数 为方程 的两不等实根，求证： .
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）设 为曲线 上位于第一，二象限的两个动点，且 ，射线 交曲线 分别于 ，求 面积的最小值，并求此时四边形 的面积.
4．D
【分析】
根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.
【详解】
对于A，当 ， ， 时，则平面 与平面 可能相交， ， ，故不能作为 的充分条件，故A错误；
对于B，当 ， ， 时，则 ，故不能作为 的充分条件，故B错误；
对于C，当 ， ， 时，则平面 与平面 相交， ， ，故不能作为 的充分条件，故C错误；
15．若点 在直线 上，则 的值等于______________.
16．已知数列 的前 项和 且 ，设 ，则 的值等于_______________.
三、解答题
17．在 中，角 的对边分别为 ，若 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 外一点， ，求四边形 面积的最大值.
18．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占 ，统计成绩后得到如下 列联表：
2020届吉林省吉林市高三第三次调研测试（4月）数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 =（）
A． B．
C． D．
3．已知向量 ，则向量 在向量 方向上的投影为（）
②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
（下面的临界值表供参考）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式 其中 ）
对于D，当 ， ， ，则一定能得到 ，故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.
5．A
【分析】
根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.
【详解】
由题意，该几ห้องสมุดไป่ตู้体如图所示：
该几何体的体积 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．
A． B．
C． D．
12．已知 分别为双曲线 的左、右焦点，点 是其一条渐近线上一点，且以 为直径的圆经过点 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在 的展开式中， 项的系数是__________（用数字作答）．
14．已知两圆相交于两点 , ，若两圆圆心都在直线 上，则 的值是________________.
A． B． C． D．
8．已知数列 为等比数列，若 ，且 ，则 （）
A． B． 或 C． D．
9．椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，则 的大小为（）
A． B． C． D．
10．已知 ，则 的大小关系是（）
A． B． C． D．
11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由 个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设 ，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）
4．已知 为两条不重合直线， 为两个不重合平面，下列条件中， 的充分条件是（）
A． ∥ B． ∥
C． ∥ ∥ D．
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B．
C． D．
6．函数 的对称轴不可能为（）
A． B． C． D．
7．已知 为定义在 上的奇函数，且满足 当 时， ，则 （）
【详解】
由 ，得 ，
所以， .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.
3．A
【分析】
投影即为 ，利用数量积运算即可得到结论.
【详解】
设向量 与向量 的夹角为 ，
由题意，得 ， ，
所以，向量 在向量 方向上的投影为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.
19．如图所示，在四棱锥 中， ∥ ， ，点 分别为 的中点.
（1）证明： ∥面 ；
（2）若 ，且 ，面 面 ，求二面角 的余弦值.
20．已知倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点 ，与抛物线 相交于 、 两点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设 为抛物线 上任意一点（异于顶点），过 做倾斜角互补的两条直线 、 ，交抛物线 于另两点 、 ，记抛物线 在点 的切线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，求证： 与 互补.
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
4
19
线上学习时间不足5小时
合计
45
（1）请完成上面 列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是 ，求 的分布列（概率用组合数算式表示）；
23．已知 均为正实数，函数 的最小值为 .证明：
（1） ；
（2） .
参考答案
1．B
【分析】
求出集合 ，利用集合的基本运算即可得到结论.
【详解】
由 ，得 ，则集合 ，
所以， .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合 是解决本题的关键，属于基础题.
2．B
【分析】
利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.
21．已知函数
（1）若 ，试讨论 的单调性；
（2）若 ，实数 为方程 的两不等实根，求证： .
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）设 为曲线 上位于第一，二象限的两个动点，且 ，射线 交曲线 分别于 ，求 面积的最小值，并求此时四边形 的面积.
4．D
【分析】
根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.
【详解】
对于A，当 ， ， 时，则平面 与平面 可能相交， ， ，故不能作为 的充分条件，故A错误；
对于B，当 ， ， 时，则 ，故不能作为 的充分条件，故B错误；
对于C，当 ， ， 时，则平面 与平面 相交， ， ，故不能作为 的充分条件，故C错误；
15．若点 在直线 上，则 的值等于______________.
16．已知数列 的前 项和 且 ，设 ，则 的值等于_______________.
三、解答题
17．在 中，角 的对边分别为 ，若 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 外一点， ，求四边形 面积的最大值.
18．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占 ，统计成绩后得到如下 列联表：
2020届吉林省吉林市高三第三次调研测试（4月）数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 =（）
A． B．
C． D．
3．已知向量 ，则向量 在向量 方向上的投影为（）
②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
（下面的临界值表供参考）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式 其中 ）
对于D，当 ， ， ，则一定能得到 ，故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.
5．A
【分析】
根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.
【详解】
由题意，该几ห้องสมุดไป่ตู้体如图所示：
该几何体的体积 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．
A． B．
C． D．
12．已知 分别为双曲线 的左、右焦点，点 是其一条渐近线上一点，且以 为直径的圆经过点 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在 的展开式中， 项的系数是__________（用数字作答）．
14．已知两圆相交于两点 , ，若两圆圆心都在直线 上，则 的值是________________.
A． B． C． D．
8．已知数列 为等比数列，若 ，且 ，则 （）
A． B． 或 C． D．
9．椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，则 的大小为（）
A． B． C． D．
10．已知 ，则 的大小关系是（）
A． B． C． D．
11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由 个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设 ，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）