北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 §2 2.1 向量的加法

解析:如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加
法的运算法则可知,
(1) + = + = .
(2) + = + = .
(3) + + = + + = .
答案:(1)
(2)
(3)
1.在本例条件下,求 + .
解:因为BC∥DF,BD∥CF,所以四边形BCFD是平行四边形,
所以 + = .
2.在本例图形中求作向量 + + .
解:过点 A 作 AG∥DF 交 CF 的延长线于
点 G,则 + = .作 = ,
连接,则 = + + ,
如答图 2-2-6.
答案:B
).
3.下列各式不一定成立的是(
).
A.a+b=b+a
B.0+a=a
C. + =
D.|a+b|=|a|+|b|
解析:A,B,C项满足运算律,而D项向量和的模不一定与向量模
的和相等,满足三角形法则.
答案:D
4. + + 等于(
A.
B.
C.
D.
).
A. = , =
B. + =
C. + = +
D. + + =
图2-2-11
解析:选项 A:因为平行四边形 ABCD,所以 = , = ,故
选项 A 正确;选项 B:因为 = + , 与不是相等向量,
).
解析: + + = + + = .
答案:C
5.小船以10 √ km/h的速度沿垂直于对岸的方向行驶,同时河
水的流速为10 km/h,则小船实际航行速度的大小为
km/h.
解析:根据平行四边形法则,因为水流方向与船速方向垂直,

所以小船实际航行速度为 (√) + =20(km/h).
答案:(1)
(2)0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误
的画“×”.
(1)对任意不共线向量a,b总有|a+b|<|a|+|b|成立.( √ )
(2)两个向量相加结果可能是一个数量.( × )
(3)当a与b共线且同向时,|a+b|=|a|+|b|.( √ )
(4)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( × )
提示:错解中忽略了A,B,C三点共线的情况.
正解:当A,B,C三点不共线时,
∵||=| + |,根据向量加法的三角形法则可得,A,B,C 三点
构成三角形,
∴||-||<||<||+||,
∴3<||<13.
当与同向时,||取最大值 13;
当与反向时,||取最小值 3,
行向量计算,并初步掌握向量加法的实际应用.
4.教材从几何角度给出向量加法的三角形法则
和平行四边形法则,提升直观想象、数学运算的
素养.
一、向量加法的定义
【问题思考】
1.如图2-2-1,飞机从广州飞往上海,再从上海
飞往北京,这两次位移的结果与飞机从广州
直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的
角度,实例中的位移说明了什么?体现了向量
4.化简下列各组向量:
(1)( + )+ + =
(2) + + + + =
;
.
解析:(1)原式=( + )+( + )= + = ;
(2)原式= + + + = + + = + =0.
答图2-2-6
反思感悟 进行向量的加法运算时要抓住两条主线,一是基于
“形”,通过作出向量,在图形中,运用平行四边形法则或三角形
法则求和;二是基于“式”,它是对上述操作的符号化表示,特别
要注意运用.
【变式训练2】 (多选题)如图2-2-11,在平行四边形ABCD中,O
是对角线的交点,下列结论正确的是(
图2-2-3
(2)三角形法则:
如图 2-2-4,作有向线段=a,以有向线段的终点为起点,作有
向线段=b,连接 A,C 得到有向线段,也可以表示向量 a 与 b
的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法
则.
图2-2-4
(3)互为相反向量的两个向量的和为零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.
图2-2-1
的什么运算?
提示:后面的一次位移为前面两次位移的合位移;体现了向量
的加法运算.
2.向量加法的定义:求两个向量和的运算,称为向量的加法.
3.想一想:两个向量相加就是两个向量的模相加吗?
提示:不是,向量的相加满足三角形法则,而模相加是数量的加
法.
二、向量求和的法则
【问题思考】
1.如图2-2-2,有两条拖轮牵引一艘轮
提示:相反向量.
3.(1)平行四边形法则:
已知两个不共线向量 a,b,如图 2-2-3,在平面内任取一点 A,作有
向线段=a,=b,以有向线段和为邻边作▱ABCD,则有
向线段表示的向量即为向量 a 与 b 的和,记作 a+b.这种求两
个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则.
3.在求多个向量的加法作图时,常利用向量的三角形法则.
【变式训练1】 如图2-2-9,求作下列向量的和向量.
图2-2-9
解:①如答图 2-2-4,首先作=a,然后作=b,则=a+b.
答图2-2-4
②如答图 2-2-5,作=a,=b,则=a+b,
再作=c,则 = + =(a+b)+c,即=a+b+c.
提示:∵ = + =( + )+,
∴=(a+b)+c.
又 = + = +( + ),
∴=a+(b+c),
∴(a+b)+c=a+(b+c).
向量加法满足结合律.
图2-2-6
3.(1)交换律:a+b=b+a.
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
∠AOB=90°,试作出F1和F2的合力,并求出合力的大小.
解:作出F1和F2的合力F,如答图2-2-8.
在Rt△AOC中,
|F1|=3,||=|F2|=4,
|F|2=|F1|2+||2=|F1|2+|F2|2=25,
∴|F|=5 N.
答图2-而致误
【典例】 若||=8,||=5,求||的取值范围.
错解:∵||=| + |,根据向量加法的三角形法则可得,A,B,C
三点构成三角形,
∴||-||<||<||+||,
∴3<||<13.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
(2)(方法一:三角形法则)如答图 2-2-2,首先在平面内任取一点 O,
作向量=a,再作向量=b,则得向量=a+b,然后作向量=c,
则向量=(a+b)+c=a+b+c 即为所求.
答图 2-2-2
(方法二:平行四边形法则)如答图 2-2-3,首先在平面内任取一点 O,
作向量=a,=b,=c,以 OA,OB 为邻边作▱OADB,连接 OD,则
因为四边形 OACB 为矩形,
||
||
所以||=
=||×√=5√≈8.7,||=
°
°
所以船的实际速度大小为10 km/h,
方向与河岸成30°角,水流速度大小
约为8.7 km/h.
=
√
√

=10.
答图2-2-7
反思感悟 1.向量的加法在物理学中的应用较为广泛,如力的
C, + + = + = ≠ ;
D, + + = + = .
答案:C
2.边长为 1 的正方形 ABCD 中,| + |等于(
A.2
B.√
C.1
D.2√
解析:由已知|AC|=√,故| + |=||=√.
= + =a+b.再以 OD,OC 为邻边作▱ODEC,连接 OE,则
= + =a+b+c 即为所求.
答图 2-2-3
反思感悟 1.用三角形法则求和时,关键要抓住“首尾相接”,并
且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.
2.用平行四边形法则求和向量时,应注意“共起点”.
探究一 利用向量的加法法则作和向量
【例1】 (1)如图2-2-7,求作向量a+b;
(2)如图2-2-8,求作向量a+b+c.
图2-2-7
图2-2-8
分析:用三角形法则或平行四边形法则画图.
解:(1)首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b.
如答图 2-2-1.
答图 2-2-1
故选项 B 错误;选项 C:因为 + = , + = ,所以
+ = + ,故选项 C 正确;选项 D:因为 + +
= + = ,故选项 D 错误.故选 AC.
答案:AC
探究三 向量加法的应用
【例3】 一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,航
合成、速度的合成等,解决这类问题的关键是结合图形,利用
平行四边形法则或三角形法则解决.
2.实际问题的向量解法的步骤:把实际问题转化为向量问题
→解决向量问题→把向量问题转化为实际问题.
【变式训练3】 如图2-2-12,两个力F1和F2同时作用
在一个点O上,且F1的大小为3 N,F2的大小为4 N,且
最大值3.
当三个向量两两成120°角时,它们的和为0,故|p|的最小值为0.
答案:[0,3]
1.对任意四边形 ABCD,下列式子中不等于的是(
A. +
B. + +
C. + +
D. + +
).
解析:A, + = ;B, + + = + = ;
§2
从位移的合成到向量的加减法
2.1 向量的加法
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.通过位移、力的合成了解向量加法定义的由
来.
2.掌握向量加法的定义,会用向量加法的三角形
法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
3.了解向量加法的交换律和结合律,会用它们进
船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度和船的实际
速度.(保留小数点后1位数字)
分析:该问题属于实际应用题,其中船速和水的流速及两者间
的方向关系明确——垂直,因此解答本题可借助向量知识及
直角三角形的边角关系求解.
解:如答图 2-2-7,表示水流速度,表示船垂直于对岸方向的
速度,表示船实际航行的速度,其中∠AOC=30°,||=5.
4.如图 2-2-5,在平行四边形 ABCD 中, + =
图2-2-5
解析:由平行四边形法则可知 + = .
答案:
.
三、向量加法的运算律
【问题思考】
1.实数加法有哪些运算律?
提示:交换律和结合律.
2.如图2-2-6,根据四边形ABCD,验证向量加法是否满足结合律.
(注:=a,=b,=c)
答图 2-2-5
探究二 向量加法的运算
【例1】 如图2-2-10,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F
为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横
线上只填上一个向量):
(1) + =
;
(2) + =
;
(3) + + =
.
图2-2-10
∴3≤||≤13,即||的取值范围是[3,13].
防范措施 在解决向量的长度问题时,注意各向量的共线情况.
当两向量长度一定,共线同向时,两向量和的长度最大,共线反
向时,两向量和的长度最小.
【变式训练】 设单位向量a,b,c,若p=a+b+c,则|p|的取值范围
为
.
解析:因为a,b,c是三个单位向量,所以当三个向量同向时,|p|取
船,它们的牵引力分别是|F1|=3 000
N,|F2|=2 000 N,牵引绳之间的夹角
θ=60°,若只用一条拖轮来牵引,则怎
样产生跟原来相同的效果?上述实例
图2-2-2
中求力的和运算运用了什么法则?
提示:牵引力沿方向,大小为|F1+F2|.平行四边形法则.
2.实数a的相反数为-a,向量a与-a的关系应叫作什么?