天津市和平区2016届高三三模数学(理)试题

第Ⅰ卷（共40分）
参考公式：如果事件A 、B 互斥, 那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 互斥独立, 那么()()().P AB P A P B =
柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：1
3
V Sh =
其中表S 示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的表面积公式： 24V R π=，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：34
3
V R π=
，其中表R 示球的半径. 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的. 1. 复数z 满足
1(1z
i i z
+=-为虚数单位), 则z 等于 （ ） A ．2 B
． 1
2. 设变量,x y
满足约束条件0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩
,
则目标函数z y =+的最大值为（ ）
A ．0 B
．
．3
3. 阅读下边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出S 的值为（ ）
A ．1
B ．
43 C ．5
4
D ．2
4. 设命题2:,2n p n N n *∃∈>,则p ⌝为（ ）
A ．2,2n n N n *∀∈>
B ．2,2n n N n *∃∈≤
C ．2,2n n N n *∀∈≤
D ．2,2n n N n *∃∈<
5. 如图, 在直角ABC ∆中,,AB BC D ⊥ 为BC 的中点, 以AB 为直径作圆O ,分别交
AC 、AD 于点E 、F ,若3,1AF FD ==,则AE 等于（ ）
A
6. 已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ,且2F 恰为抛物线2
8y x =的焦点, 若
A 为双曲线C 与该抛物线的一个交点, 且12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形, 则双曲线C 的离心率为（ ）
A
．1
．1
7. 已知()()22,3x
x
f x f m -=+=,且0m >,若()()()2,2,2a f m b f m c f m ===+,则
,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．c b a <<
B ．a c b <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
8. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且()()221,1
0,10
x x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≤≤⎪⎩,当函数
()()1
122
y f x k x =----(其中0k >)的零点个数取得最大值时, 则实数k 的取值范围
是（ ）
A
．(0,6 B
．(62
C ．1,64⎛ ⎝
D ．1,24⎛-
⎝ 第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9. 在5
3
x ⎛ ⎝
的展开式中,8
x 的系数为 ．
10. 一个几何体的三视图如图所示(单位cm ),则刻几何体的体积为 3
cm ．
11. 在极坐标系中, 点A 的极坐标是()1,π,点P 是曲线:2sin C ρθ=上的一个动点, 则
PA 的取值范围是 ．
12. 如图, 在边长为1的正方形OABC 内任取一点M ,则点M 恰好落在阴影内部的概率为 ．
13. 在ABC ∆中,2,3
A A
B B π
=
= 的角平分线BD =,则BC 的长为 ． 14. 在边长为2的正方形ABCD 中, 动点M 和N 分别在边BC 和CD 上, 且
1
,41
BM BC DN DC λλ==
+,则AM BN 的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. （本小题满分13分）已知函数()23sin sin ,2
f x x x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝
⎭
. （1）求函数()f x 的最小正周期的最大值；
（2）求函数()f x 在2,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的单调区间. 16. （本小题满分13分）某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏：花费10元从1,2,3,4,5,6中挑选一个点数, 然后掷骰子3次, 若所选的点数出现, 则先退还顾客10元, 然后根据所选的点数出现的次数, 每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现, 则10元不再退还.
（1）某顾客参加游戏, 求该顾客获奖的概率；
（2）计算顾客在此游戏中的净收益X 的分布列与数学期望.
17. （本小题满分13分）如图, 在三棱锥P ABC -中,PA ⊥ 底面ABC ,点D 、E 分别在棱PB 、PC 上,2,60,90PA AB ABC BCA ==∠=︒∠=︒, 且DE BC . （1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）当点D 为PB 的中点时, 求AD 与平面PAC 所成角的正切值； （3）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由.
18. （本小题满分13分）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b
+=>>,点O 为坐标原点, 点A
的坐标为(),0a 点B 的坐标为()0,b ,点M 在线段AB 上, 满足2BM AM =,直线OM 的
斜率为
10
. （1）求椭圆E 的离心率；
（2）设点C 的坐标为(),0a -,N 为线段BC 的中点, 点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为
13
2
,求椭圆E 的方程.
19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足12...,n
b n a a a n N *=∈,若{}n a 为等
比数列, 且1322,6a b b ==+. （1）求3a 及数列{}n b 的通项公式； （2）设11
,n n n
c n N a b *=-∈,记数列{}n c 的前n 项和为n S . ①求n S ；
②若k n S S ≥恒成立，求正整数k 的值.
20. （本小题满分14分）已知函数()()2
1,x
f x x ax
g x e =++=(其中e 为自然对数的底数).
（1）若1a =,求函数()()y f x g x =在区间[]2,0-上的最大值；
（2）若1a =-,关于x 的方程()()f x k g x =有且仅有一个根, 求实数k 的取值范围； （3）若对任意[]1212,0,2,x x x x ∈≠,不等式()()()()1212f x f x g x g x -<-均成立, 求实数a 的取值范围.
天津市和平区2016届高三三模数学（理）试题参考答案
一、 选择题（每小题5分，共40分） 1-4.DCAC 5-8.BBDC 二、填空题（每小题5分，共30分）
9.
52 10.23π 11.1⎤⎦ 12.34
1- 三、解答题 15. 解：（1）
()
22
3sin sin cos sin 2f x x x x x x x π⎛
⎫=-
= ⎪⎝
⎭
1sin 22sin 223x x x π⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭,
()f x ∴的最小正周期22T ππ=
=,()f x 的最大 值为22
. （2）由（1）可知, ()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间511,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减. 而5552511,,,,,61212121231212ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⊂-⊂⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增, 在区间52,123ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减. 16. 解：（1）设“顾客所选点数出现” 为事件A ,“顾客所选点数不出现”为事件B ,因为事
件A 与事件B 互为对立, 所以该顾客获奖的概率为：()()3
591116216
P A P B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.
（2）依题意, 随机变量X 的所有可能取值为10,10,20,30-.
()()32
13512515752510,10,62166621672P X P X C ⎛⎫⎛⎫=-====== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ ()()2
2
23151551120,3066216726216P X C P X ⎛⎫⎛⎫
=======
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. X ∴的分布列为：
()(
)101020302167272216108
E X ∴=-⨯+⨯+⨯+⨯=-.
17.解：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系, 依题意可得
()()()30,0,0,0,2,0,,0,0,0,222A B C P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则()33,,0,0,0,222AC PA ⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭.设平面
PAC
的一个法向量为(),,n x y z =,则00
n AC n PA ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即3022
20x y z +=⎪
⎨⎪=⎩
,不妨设1y =-,可得(
)
3,1,0n =
-,311
,,0,,22BC
n BC n BC ⎛
⎫=-=∴∴⊥ ⎪ ⎪⎝⎭
平面
PAC .
（2）
D 为PB 的中点,()()()
0,1,1,0,1,1
,cos ,D AD AD
n ∴=∴=
=. 设AD 与平面PAC 所成角为θ,则
2sin sin cos ,tan 44cos AD n θθθθθ==
==∴==
（3）设存在着点E ,
且33,22PE PC λλλ⎛⎫
==- ⎪⎪⎝⎭
,则()0,2,2,PD PB λλλ==- ()()3,22,0,2,22,0,12E D λλλλλ⎫
∴=--∈⎪⎪⎝⎭
,
333,,22,,022AE DE λλλλλ⎛⎫⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭,设平面ADE 一个法向量为(),,u x y z =,
则
u AE
u DE
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
,
即
(
)
3
220
2
1
2
x y z
x y
λλ
λ
++-=
-=
,取1
y=,得
3
,1,
31
u
λ
λ
⎛⎫
= ⎪
⎪
-
⎝⎭
,
同理可得平面PDE 一个法向量为
3
,1,1
v
⎛⎫
= ⎪⎪
⎝⎭
,由
1
10
31
u v
λ
λ
=++=
-
,
解得()
4
0,1
7
λ=∈,则
66
,
77
E
⎫
⎪⎪
⎝⎭
,∴存在点E使得二面角A DE P
--为直二面角.
18. 解：（1）由题设条件, 可知点M的坐标为
21
,
33
a b
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,
由
OM
k=,
得
2
b
a
=.整理得a=,面
设点N关于直线AB的对称点S
的坐标为
1
13
,
2
x,则线段NS的中点T的坐标为1
13
,
2444
x b
⎛⎫
-+
⎪
⎪
⎝⎭
,
因为点T在直线AB上
, 且1
NS AB
k
k=-,
则有
1
13
441
13
x b
b
b
⎧
+
⎪
=
⎨
-
⎪
=
,
解得
1
3
x b
==,
故a=所以椭圆E的方程为
22
1
459
x y
+=.
19. 解：（1）由题意，332
2
12323
...,,6,8
n
b b b b n b a a a n N b b a -*
=
∈-=∴===.
由132,8a a ==,得2
3
1
4a q a ==,解得公比2q =或2q =-(不合题意, 舍去), 则数列{}n a 的通项公式为
2,n n a n N *
=∈,则有()
()112 (2)
12 (2)
2
n
n n b n n a a a ++++===
,所以数列{}n b 的通项公式为
()1,n b n n n N *=+∈.
（2）①可知11111,21n n n n c n N a b n n *
⎛⎫=
-=--∈ ⎪
+⎝⎭
,则21111111111...1...,,222223112n n n n
S S n N n n n *
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--+-++-∴=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. ②12341110,0,0,0122480c c c c ==>=>=>,当5n ≥时,()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦
, 而
()()()1
121022n n
n n n n ++++-<,故5
(1)5(51)1512216
n
n n ++≤=<,即5
n ≥时,()()11
1012n n
n n c n n +⎡⎤=-<⎢⎥+⎣⎦
, 综上所述, 对任意4,n n N S S *∈≥恒成立, 故正整数k 的值为4.
20. 解：（1）当1a =时,()()
()()221,'3221x x x
y x x e y x x e x x e =++=++=++, 故
()()y f x g x =在[]2,1--上单调递减, []1,0-上单调递增, 当2x =-时,2
3
y e =
, 当0x =时,1y =, 故在区间[]2,0-上max 1y ==.
（2）当1a =-时, 关于x 的方程为2
1x
x x ke -+=有且仅有一个实根, 则21
x
x x k e
-+=有且仅有一个实根, 设()21
x
x x h x e
-+=,则
()()()()
()()222
2111232'x x
x x
x x e x x e x x x x h x e e e ---+---+-=
==
, 因此()h x 在(],1-∞和[)2,+∞上单调递减, 在 []1,2上单调递增,()()213
1,2h h e e
==, 如图所示, 实数k 的取值范围是21
30,,e e ⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
.
（3）不妨设12x x <,则()()12
2112x
x x x f x f x e e
e e -<-=-恒成立. 因此
()()122112x x x x e e f x f x e e -<-<-恒成立, 即()()1212x x e f x e f x -<-恒成立, 且 ()()1212x x e f x e f x +<+恒成立, 因此()x e f x -和()x e f x +均在[]0,2上单调递增,
设()()()()2
2
1,1x
x
x
x
u x e f x e x ax v x e f x e x ax =+=+++=-=---,
则()'20x
u x e x a =++≥在上[]0,2上恒成立, 因此2x
a e x ≥--在[]0,2上恒成立因此
()
max
2x a e x ≥--,而2x
e x --在[]0,2上单调递减, 因此0
x =时,(
)
max
21,1x
e x
a --=-∴≥-. 由()'20x v x e x a =--≥在[]0,2上恒成立, 因此
2x a e x ≤-在[]0,2上恒成立, 因此()
min
2x a e x ≤-,设()()202x
x e x x ϕ=-≤≤,则
'2x e ϕ=-.当()'0x ϕ=时,ln 2x =, 因此()x ϕ在()0,ln 2内单调递减, 在()ln 2,2内单
调递增, 因此()()min ln222ln2,22ln2x a ϕϕ==-∴≤-.综上所述,[]1,22ln 2a ∈--.。