《飞行力学》8横侧近似开环操纵

起主要作用，如：大展弦比阻尼力矩大，滚转阻尼大，该模态收敛快。
2) 双自由度近似
在Mode1和Mode2中两模态的 变化都很小，可近似认为 0 ，并设
侧向气动力 Yp 0,Yr 0,Yv v 0
Dynamics of Flight -----Stability and Control 第十八讲

Nij (s) f (s)
纵向： f (s) (s2 2 phphs ph2 )(s2 2sss s2 )
横侧：
f
(s)

(s

s
)(s

R
)(s2

2 DRDR s

2 DR
)
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其中
C u0 Nv , D u0 (Lv N p Lp Nv ) gLv
E g(Nr Lv NvLr )
对算例飞机和状态， 近似解： = -0.00734 =-0.597
S
R
（精确解：1 = -0.0072973 2 =-0.56248）
由此看出，这种近似结果较好，当 与 合成一个振荡模态时（ 12
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类似于纵向模态分析的思路，通过简化分析，来突出各模态的物理性质。
1．Mode 1 螺旋模态
方法：根据特征根进行简化。螺旋模态的特征根比起其它两个模态的
根小得多（二个量级），因此特征方程中关于的高阶项可以忽略， 只取后两项： D E 0
得近似解 E / D 0.00725 （精确解：-0.0072937）
响，故近似方法不可能太简单。
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传递函数矩阵 频率响应 动态响应
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前章研究了飞机的扰动运动特性，微分方程组是齐次的。本章分析有 操纵面输入的情况，有操纵输入的问题属控制问题；开环控制时，控制面 的输入形式是给定的，典型的输入为：脉冲，阶跃，正弦。
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1.典型输入下的响应（稳定系统）
a，脉冲fig7.2(1)；
b，阶跃fig7.2(2)；
c，正弦输入下的稳态响应：为相同频率的响应，但幅值和相位与输入
不同。幅值比和相位差是频率特性。fig7.2(3)。
X (s) G(s)C(s)
2
xi (s) Gij (s)c j (s)
(sI A)1 adj(sI A) det(sI A)
j 1
因此传递函数分母为系统的特征多项式 f (s) det(sI A) ，分子
（伴随矩阵)是多项式用
Nij (s)表示：Gij (s)
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（图Fig7.5)
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我们知道，X AX BU 的解由两部分组成，一部分是齐
次方程 X AX 的通解，另一部分是一个特解，通解的形式是由
固有模态组成的（固有模态的线性组合）。
系统稳定时，当 t 时，通解消失（趋于零）。特解的
形式（稳态解）与输入信号的稳态形式一样，在阶跃输入下，稳 态输出是常值；当输入为正弦时，稳态输出也是同频率的正弦输出 ，只是幅值和相位不同于输入，输出幅值与输入幅值的比及相位差 就是系统的频率特性，下面讨论频率响应。
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3. Mode 3荷兰滚(振荡模态)
而由前面模态2的简化方法得：
R
S


D C
nDR

1 2
Yv

Nr

Lv Nv
(Np

g u0
)
nDR 0.0330
(精确解：0.033011)
这是荷兰滚阻尼的一个很好的近似。
总的来看由于Mode 3的根中等大小,特征向量表现为多个变量的影
180，方程式近似为 p 0, 0 ，忽略Yr ，此时降为二阶微分方程:
v Yvv u0r
特征行列式
r Nvv Nrr
展开得
Yv u0 0 Nv Nr
2 (Yv Nr ) (Yv Nr u0Nv ) 0
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2. Mode2 滚转收敛模态
即 u0 Nv2 u0 (Lv N p Lp Nv ) gLv g(Nr Lv Nv Lr ) 0 写成标准形式 C 2 D E 0
2) 用于实部阻尼近似的另一种近似方法。在高阶(四阶)特征方程中，
次高阶(三阶)项的系数代表了系统的总阻尼，三阶项的系数为
(Yv Lp Nr ) (A的对角线元素之和)，即
2nDR R S Yv Lp Nr
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3. Mode 3荷兰滚(振荡模态) 1) 作为频率近似
对算例飞机和状态，得
近似解 DR 0.1008 0.9157i 精确解 DR 0.033011 0.94655i
可见频率近似结果可以，但实部阻尼项相差较大。
近似模态参数 T 6.86(sec) N1/2 1.0
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为什么飞机受到横航向扰动后，飞机首先 表现出滚转运动，然后是荷兰滚运动，最 后才是螺旋运动？
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0
展开
Lv g Nv
0
Lp
Np 1
Lr
0
Nr Lv
0
Nv
0
Lp
Np
u0 Lr 0
Nr
g(Nr )Lv gNv Lr u0 (Lp )Nv u0Lv N p u0 Nv 2 u0 (Lv N p Lp Nv ) gLv g(Nv Lr Nr Lv )

Clr Cnr
tg0Clp tg0Cnp
Cn
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1．Mode 1 螺旋模态
结论：(Cn 0)当航向静稳定性过大，而滚转静稳定性不足时，出现螺旋
模态不稳。螺旋模态是一个慢变化模态，一般在飞行包线内有些状态允许 该模态发散。如图：
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1、纵向控制
但性能课中根据推力曲线图知：推力增加，飞机爬升，因为sin T D
W
；拉杆（即升降舵上偏），速度减小，正常情况下，轨迹变化不大。
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所以要求
cos0
Lv
Nv
Lr Nr
sin0
Lv Nv
Lp 0 Np
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1．Mode 1 螺旋模态
即 (Lv Nr Lr Nv ) cos0 (Lv N p Lp Nv ) sin0 0
称为横侧“沉浮”模态），也可采用此近似方法，第一种单自由度
近似只适合于 2 1 的情况。
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3. Mode 3荷兰滚(振荡模态) 1) 作为频率近似
该模态可近似为一个没有滚转的平面运动，偏航 / 侧滑相位接近
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2. Mode2 滚转收敛模态 1) 单自由度滚转近似
该运动模态以绕X轴转动为主，v r 0 ，单自由度滚转运动方程为
p Lp p 特征值 r Lp Lp / Ix Izx N p 0.434 （精确解 -0.562） 虽然近似程度一般，但反映出了该模态主要特征：滚转阻尼 Lp (Clp )
飞机有多个控制面，主操纵量包括：升降舵、副翼、方向舵、油门。 其它控制量有襟翼，扰流片，阻力板（伞），推力矢量，起落架，后 掠角等等。 研究方法：采用小扰动线化方程，只考虑主操纵面的作用。 1、纵向控制 纵向需要控制对称面内的航迹，也就是速度的大小和方向。纵向控制 量是油门和升降舵。定性看推力控制速度，升降舵改变迎角，从而增加 升力，升力在轨迹的法线方向，所以使轨迹角变化。
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2.传递函数矩阵
X AX BC
(SI A)X BC
SX AX BC
X (SI A)1 BC
传递函数矩阵 G(s) (SI A)1 B
矩阵元素 Gij , i 1, 2,3, 4；j 1, 2
可见取后两项能得到与精确解非常接近的结果。
螺旋模态的稳定边界： E 0
横侧状态变量 v p r ，引入缩写符号的矩阵A写成：

Yv
0
Yr
g
cos
0

A


Lv Nv
Lp Np
Lr Nr
0
0
பைடு நூலகம்
0 1 tg0
0
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1、纵向控制
这就是所谓的“油门控制高度，升降舵控制速度”的说法，是否矛盾？
不矛盾！因为：
推力增加，开始的响应是速度增加，然而稳态的结果是爬升。
升降舵上偏（拉杆），一开始飞机速度基本不变，抬头增加迎角，升力增
加 , 0 ,稳态时轨迹变化不大，速度一般减小。
所以性能课讨论的是阶跃输入下（油门或升降舵阶跃输入）的稳态结果，
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2. Mode2 滚转收敛模态
此时侧力方程为平衡方程，运动方程组为二阶：
0 u0r g, p Lvv Lp p Lrr r Nvv N p p Nrr, p
特征方程
00
u0 g
Lv Lp Lr Nv Np Nr
0 0
0
01
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3、有控（开环）情况下的小扰动方程
X AX BC
纵向：状态变量 u w q T ，
控制变量 C e p T ；
横向：状态变量 v p r T , 控制变量 C a r T
所以纵、横向具有相同的方程形式。
练习：思考B中的元素哪几个重要？为什么？（主要的力 和力矩）
取:
Lv

Lv Ix
,
LP

Lp Ix
,
Lr

Lr Ix
;
Nv

Nv Iz
,
NP

Np Iz
,
Nr

Nr Iz
化为无量纲系数形式为：
ClCnr ClrCn cos0 ClpCn ClCnp sin0 0
令其等于零，得稳定边界: Cl 与 Cn 的关系
Cl
而没有涉及动态响应过程。
2、横侧控制 （相对复杂！）
横侧控制的目的:
（1）多发动机飞机在不对称推力情况下的配平；（2）侧风着陆，大气扰动；
（3）转弯机动。副翼控制转弯，方向舵进行协调操纵，
a L sin 的作用下横向转弯 （角速度控制）
r 协调消除转弯过程中的侧滑。
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1．Mode 1 螺旋模态
其中
Lv

Lv
I
' x

I
' zx
Nv

Lv（近似惯性主轴时），其他符号定义类似。 Ix
特征方程： I A 0
0 时 得稳定边界，对应于 E=|A|=0,
Lv LP
Lr
即当 E g cos0 Nv NP Nr 0 时稳定,
0 1 tg0